Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie
EGZAMIN MATURALNY 2010
MATEMATYKA
POZIOM ROZSZERZONY
Klucz punktowania odpowiedzi
MAJ 2010
2 Egzamin maturalny z matematyki
Klucz punktowania odpowiedzi poziom rozszerzony
Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą niż przedstawiona w schemacie
przyznajemy maksymalną liczbę punktów.
Zadanie 1. (0 4)
Obszar standardów Sprawdzane umiejętności
Użycie i tworzenie strategii Rozwiązanie nierówności z wartością bezwzględną
I sposób rozwiązania (wyróżnienie na osi liczbowej przedziałów)
Wyróżniamy na osi liczbowej przedziały: -2 , -2,1 , 1, " .
(- ",
) ) )
Rozwiązujemy nierówności w poszczególnych przedziałach i w każdym przedziale bierzemy
część wspólną tego przedziału z otrzymanym zbiorem rozwiązań nierówności.
x " -2 x " -2,1)
(- ",
) x " 1, "
)
- 2x - 4 - x +1 d" 6 2x + 4 - x +1 d" 6 2x + 4 + x -1 d" 6
- 3x d" 9 x d" 1 3x d" 3
x e" -3 W tym przypadku x d" 1
W tym przypadku rozwiązaniem nierówności W tym przypadku
rozwiązaniem nierówności jest -2 d" x < 1 rozwiązaniem nierówności jest
jest -3 d" x <-2 x = 1
Aącząc otrzymane rozwiązania, podajemy ostateczną odpowiedz: -3 d" x d" 1 lub zapisujemy
odpowiedz: Zbiorem rozwiązań nierówności jest -3,1 .
II sposób rozwiązania (zapisanie czterech przypadków)
2x + 4 e" 0 2x + 4 e" 0 2x + 4 < 0 2x + 4 < 0
ńł ńł ńł ńł
Zapisujemy cztery przypadki:
ł ł ł ł
x -1e" 0 x -1< 0 x -1e" 0 x -1< 0
ół ół ół ół
2x + 4 e" 0 2x + 4 e" 0 2x + 4 < 0 2x + 4 < 0
ńł ńł ńł ńł
ł ł ł ł
x -1e" 0 x -1< 0 x -1e" 0 x -1< 0
ół ół ół ół
2x + 4 e" 0 2x + 4 e" 0 2x + 4 < 0
ńł ńł ńł
łx -1e" 0 łx -1< 0 niemożliwe łx -1 < 0
ł ł ł
ł2x + 4 + x -1 d" 6 ł2x + 4 - x +1 d" 6 ł
ół ół ół-2x - 4 - x +1d" 6
x e"-2 x e"-2 x <-2
ńł ńł ńł
łx e"1 łx <1 łx < 1
ł ł ł
ł3x d" 3 łx d"1 ł
ół ół ół-3x d" 9
x e"-2 x <-2
ńł ńł
łx e"1 łx <1
x " - 2,1)
ł ł
łx d"1 łx e"-3
ół ół
x = 1
x " -3, - 2
)
Aącząc otrzymane rozwiązania, podajemy ostateczną odpowiedz: -3 d" x d" 1 lub zapisujemy
odpowiedz: Zbiorem rozwiązań nierówności jest -3,1 .
Egzamin maturalny z matematyki 3
Klucz punktowania odpowiedzi poziom rozszerzony
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp ..................................................................... 1 pkt
Zdający wyróżni na osi liczbowej przedziały -2 , -2,1 , 1, " .
(- ",
) ) )
albo
2x + 4 e" 0 2x + 4 e" 0 2x + 4 < 0 2x + 4 < 0
ńł ńł ńł ńł
" zapisze cztery przypadki:
ł ł ł ł
x -1e" 0 x -1< 0 x -1e" 0 x -1< 0
ół ół ół ół
Pokonanie zasadniczych trudności zadania ................................................................... 2 pkt
Zdający zapisze nierówności w poszczególnych przedziałach, np.
I. x "
(- ",-2 - 2x - 4 - x +1 d" 6
)
II. x " -2,1 2x + 4 - x +1 d" 6
)
III. x " 1, " 2x + 4 + x -1 d" 6
)
Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają
poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) ........................................................ 3 pkt
" zdający poprawnie rozwiąże nierówności i wyznaczy części wspólne otrzymanych
wyników z poszczególnymi przedziałami tylko w dwóch przypadkach, popełni błąd
w trzecim przypadku i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca
albo
" zdający poprawnie rozwiąże nierówności tylko w dwóch przedziałach i wyznaczy
części wspólne otrzymanych wyników z poszczególnymi przedziałami i konsekwentnie
doprowadzi rozwiązanie do końca
albo
" zdający rozpatrzy cztery przypadki, poprawnie rozwiąże nierówności i wyznaczy części
wspólne otrzymanych wyników z poszczególnymi przedziałami tylko w dwóch
przypadkach, stwierdzi, że jeden jest niemożliwy, popełni błąd w trzecim przypadku
i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca
Rozwiązanie pełne ............................................................................................................. 4 pkt
Zdający zapisze odpowiedz: x " -3,1 .
III sposób rozwiązania (graficznie)
Rysujemy wykresy funkcji f x = 2x + 4 + | x -1| i prostą o równaniu y = 6.
( )
Wyróżniamy na osi liczbowej przedziały: -2 , -2,1 , 1, " .
(- ",
) ) )
Zapisujemy wzór funkcji f w poszczególnych przedziałach bez wartości bezwzględnej, np.
ńł-3x - 3 dla x " -2
(- ",
)
ł
łx
f x = + 5 dla x " -2,1)
( )
ł
ł
)
ł3x + 3 dla x " 1, "
ół
Rysujemy wykres funkcji f i prostą o równaniu y = 6
4 Egzamin maturalny z matematyki
Klucz punktowania odpowiedzi poziom rozszerzony
y
10
9
8 f x
( )
7
y = 6
6
5
4
3
2
1
7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-1
Odczytujemy odcięte punktów przecięcia się wykresu funkcji f i prostej o równaniu y = 6:
x = -3 i x = 1.
Podajemy argumenty, dla których f x d" 6 : x " -3,1 .
( )
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania ......................................................................................................................... 1 pkt
Zdający wyróżni przedziały: -2 , -2,1 , 1, " .
(- ",
) ) )
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp ..................................................................... 2 pkt
Zdający zapisze wzór funkcji f w poszczególnych przedziałach, np.
I. x " -2 f x = -3x - 3
(- ",
) ( )
II. x " -2,1) f x = x + 5
( )
III. x " 1, " f x = 3x + 3
) ( )
lub
ńł-3x - 3 dla x " -2
(- ",
)
ł
łx
f x = + 5 dla x " -2,1)
( )
ł
ł
)
ł3x + 3 dla x " 1, "
ół
Pokonanie zasadniczych trudności zadania..................................................................... 3 pkt
Zdający narysuje wykres funkcji f i prostą o równaniu y = 6.
Rozwiązanie pełne .............................................................................................................. 4 pkt
Zdający zapisze odpowiedz: x " -3,1 .
Egzamin maturalny z matematyki 5
Klucz punktowania odpowiedzi poziom rozszerzony
Zadanie 2. (0 4)
Obszar standardów Sprawdzane umiejętności
Użycie i tworzenie strategii Rozwiązanie równania trygonometrycznego
Rozwiązanie
Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja
trygonometryczna:
2
2(1- sin x)- 5sin x - 4 = 0
Porządkujemy to równanie i wprowadzamy niewiadomą pomocniczą:
-2sin2 x - 5sin x - 2 = 0 , t = sin x , gdzie t " -1,1 . Równanie przyjmuje teraz postać:
2
2t + 5t + 2 = 0
Rozwiązujemy równanie kwadratowe ze zmienną t:
1
" = 9 t1 = -2 t2 = - ale t1 " -1,1
2
1
Zapisujemy rozwiązania równania sin x = - należące do przedziału 0,2Ą :
2
11Ą 7
x = i x = Ą .
6 6
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do
całkowitego rozwiązania zadania ..................................................................................... 1 pkt
Zapisanie równania w zależności od jednej funkcji trygonometrycznej, np.
-2sin2 x - 5sin x - 2 = 0 lub 2sin2 x + 5sin x + 2 = 0 .
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp ..................................................................... 2 pkt
Wprowadzenie pomocniczej niewiadomej, np. t = sin x , zapisanie równania w postaci
-2t2 - 5t - 2 = 0 lub 2t2 + 5t + 2 = 0.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania .................................................................... 3 pkt
1
Rozwiązanie równania kwadratowego ( t = -2 lub t = - ) i odrzucenie rozwiązania t = -2 .
2
Uwaga
Zdający może od razu rozwiązywać równanie kwadratowe (w którym niewiadomą jest sin x )
1
i zapisać rozwiązanie w postaci sin x = - lub sin x = -2 oraz zapisać, że równanie
2
sin x = -2 jest sprzeczne.
Rozwiązanie pełne ............................................................................................................. 4 pkt
Rozwiązanie równania w podanym przedziale:
7 11
x = Ą lub x = Ą
6 6
albo
x = 210 lub x = 330
6 Egzamin maturalny z matematyki
Klucz punktowania odpowiedzi poziom rozszerzony
Zadanie 3. (0 4)
Obszar standardów Sprawdzane umiejętności
Użycie i tworzenie strategii Rozwiązanie zadania, umieszczonego w kontekście
praktycznym, prowadzącego do badania funkcji
kwadratowej
Rozwiązanie
x F 1 x
D
C
2x
1
E
1 2x
A B
1
Długości odcinków BE i CF są następujące: BE = 1- 2x , CF = 1- x .
Pole trójkąta AEF jest więc równe:
1 1 1 1 1
PAEF = PABCD - PABE - PECF - PFDA = 1- (1- 2x)- " 2x "(1- x)- x = x2 - x +
2 2 2 2 2
1 1 1
Pole trójkąta AEF jest funkcją zmiennej x: P x = x2 - x + dla x " 0, .
( )
2 2 2
1
-
1 1 1 1
2
Ponieważ xw = - = " 0, , a parabola o równaniu P x = x2 - x + ma ramiona
( )
2 4 2 2 2
1
skierowane ku górze , więc dla x = pole trójkąta AEF jest najmniejsze.
4
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego
rozwiązania zadania....................................................................................................................1 pkt
Zapisanie, że PAEF = PABCD - PADF - PCEF - PABE lub PAEF = PABCD - (PADF + PCEF + PABE ).
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp ...............................................................................2 pkt
1 1- 2x
Zapisanie pól trójkątów ADF, ABE i CEF: P"ADF = x , P"ABE =
2 2
-2x2 + 2x
i P"CEF = = -x2 + x .
2
Pokonanie zasadniczych trudności zadania..............................................................................3 pkt
1 1
Zapisanie PAEF w postaci trójmianu kwadratowego zmiennej x: P x = x2 - x + .
( )
2 2
Rozwiązanie pełne .......................................................................................................................4 pkt
1
Wyznaczenie x, dla którego funkcja przyjmuje minimum: x = .
4
Egzamin maturalny z matematyki 7
Klucz punktowania odpowiedzi poziom rozszerzony
II sposób rozwiązania (geometria analityczna)
x F 1 x
D
C
2x
1
E
1 2x
A B
1
Przyjmujemy współrzędne punktów na płaszczyznie: A = 0,0 , F = x,1 , E = 1,1- 2x .
( ) ( ) ( )
Wyznaczamy pole trójkąta AFE :
1 1 11
P = x - 0 1- 2x - 0 1- 0 1- 0 = x 1- 2x = x - 2x2 -1 = 2x2 - x +1
( )( )-( )( ) ( )-1
2 2 22
1 1
P x = x2 - x +
( )
2 2
1
-
1 1 1 1
2
Ponieważ xw = - = " 0, , a parabola o równaniu P x = x2 - x + ma ramiona
( )
2 4 2 2 2
1
skierowane ku górze , więc dla x = pole trójkąta AEF jest najmniejsze.
4
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego
rozwiązania zadania ................................................................................................................... 1 pkt
Wyznaczenie współrzędnych punktów na płaszczyznie:
A = 0,0 , F = x,1 , E = 1,1- 2x .
( ) ( ) ( )
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp .............................................................................. 2 pkt
Wyznaczenie pola trójkąta AFE :
1 1 11
P = x - 0 1- 2x - 0 1- 0 1- 0 = x 1- 2x = x - 2x2 -1 = 2x2 - x +1
( )( )-( )( ) ( )-1
2 2 22
Pokonanie zasadniczych trudności zadania ............................................................................. 3 pkt
1 1
Zapisanie PAEF w postaci trójmianu kwadratowego zmiennej x: P x = x2 - x + .
( )
2 2
Rozwiązanie pełne ...................................................................................................................... 4 pkt
1
Wyznaczenie x, dla którego funkcja przyjmuje minimum: x = .
4
8 Egzamin maturalny z matematyki
Klucz punktowania odpowiedzi poziom rozszerzony
Zadanie 4. (0 4)
Obszar standardów Sprawdzane umiejętności
Użycie i tworzenie strategii Stosowanie twierdzenia o reszcie z dzielenia wielomianów
przez dwumian
Rozwiązanie
Korzystając z warunków zadania zapisujemy układ równań
8 + 4a + 2b +1 = 7
ńł
ł27 + 9a + 3b +1 = 10
ół
Z układu równań obliczamy a i b
4a + 2b = -2
ńł
ł9a + 3b = -18
ół
b =
ńł -2a -1
ł9a - 6a - 3 = -18
ół
a =
ńł -5
łb = 9
ół
Warunki zadania są spełnione dla a = -5, b = 9 .
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny do rozwiązania
zadania ........................................................................................................................................1 pkt
Zapisanie jednego z równań:
8 + 4a + 2b +1 = 7 albo 27 + 9a + 3b +1 = 10
Pokonanie zasadniczych trudności zadania .............................................................................2pkt
Zapisanie układu równań:
8 + 4a + 2b +1 = 7
ńł
ł27 + 9a + 3b +1 = 10
ół
Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają
poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) .................................................................3pkt.
Rozwiązanie układu równań z błędem rachunkowym.
Rozwiązanie pełne .......................................................................................................................4 pkt.
Rozwiązanie układu równań: a = -5, b = 9 .
Zadanie 5. (0 5)
Obszar standardów Sprawdzane umiejętności
Modelowanie matematyczne Wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego i ciągu
geometrycznego
I sposób rozwiązania
Z własności ciągu arytmetycznego mamy: 2b = a + c . Stąd i z warunków zadania
otrzymujemy, że : 2b = 10 czyli b = 5 .
2
Z własności ciągu geometrycznego zapisujemy równanie: (b + 4) = (a +1)"(c +19).
Egzamin maturalny z matematyki 9
Klucz punktowania odpowiedzi poziom rozszerzony
ńł
b = 5
ł
Zatem otrzymujemy układ równań, np. + c = 10
ła
ł
2
(b + 4) = (a +1)"(c +19)
ół
Z drugiego równania wyznaczamy a = 10 - c lub c = 10 - a i wstawiamy do trzeciego
równania.
Otrzymujemy równanie, np. 92 = 10 - c +1 c +19 lub 92 = a +1 10 - a +19 .
( )( ) ( )( )
Przekształcamy to równanie i otrzymujemy równanie z niewiadomą c lub a, np.
c2 + 8c -128 = 0 lub a2 - 28a + 52 = 0 .
Rozwiązaniem równania są :
c1 = 8, c2 = -16 lub a1 = 2, a2 = 26 .
Zatem szukanymi liczbami są: a = 2, b = 5, c = 8 lub a = 26, b = 5, c = -16.
Schemat oceniania do I sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny do pełnego rozwiązania
zadania ............................................................................................................................... 1 pkt
Wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego (geometrycznego) i zapisanie odpowiedniego
równania, np.
" 2b = a + c
albo
2
" b + 4 = a +1 c +19
( ) ( )( )
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp .................................................................... 2 pkt
Wykorzystanie własności obu ciągów (arytmetycznego i geometrycznego) i zapisanie układu
równań umożliwiającego obliczenie liczb a, b, c, np.
ńł2b = a + c
ł
ła + c = 10
ł
ł
2
b + 4 = a +1 " c +19
( ) ( ) ( )
ł
ół
Pokonanie zasadniczych trudności zadania ................................................................... 3 pkt
Przekształcenie układu równań do równania kwadratowego z niewiadomą c lub a, np.
c2 + 8c -128 = 0 lub a2 - 28a + 52 = 0
Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają
poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) ....................................................... 4 pkt
" poprawne rozwiązanie równania kwadratowego, odrzucenie jednego z rozwiązań
i poprawne wyznaczenie drugiej trójki liczb
albo
" przekształcenie układu równań z jedną niewiadomą do równania kwadratowego
z błędem rachunkowym, np. błąd w redukcji wyrazów podobnych lub w przepisywaniu
i konsekwentne doprowadzenie rozwiązania do końca (o ile otrzymane równanie
kwadratowe ma dwa pierwiastki rzeczywiste).
Rozwiązanie pełne ........................................................................................................... 5 pkt
Wyznaczenie szukanych liczb: a = 2, b = 5, c = 8 lub a = 26, b = 5, c = -16 .
II sposób rozwiązania
Oznaczamy: przez a pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego, a przez r różnicę tego ciągu.
Wówczas b = a + r, c = a + 2r.
Z własności ciągu arytmetycznego i z warunków zadania mamy 2a + 2r = 10 , stąd a + r = 5
10 Egzamin maturalny z matematyki
Klucz punktowania odpowiedzi poziom rozszerzony
Z własności ciągu geometrycznego zapisujemy równanie, np.
2
a + r + 4 = a +1 a + 2r +19 ,
( ) ( )( )
ńł
ła + r = 5
a następnie zapisujemy układ równań:
ł
2
a + r + 4 = a +1 a + 2r +19
( ) ( )( )
ł
ół
Z pierwszego równania wyznaczamy a = 5 - r i podstawiamy do drugiego równania.
Otrzymujemy równanie kwadratowe z niewiadomą r:
2
5
( - r + r + 4 = 5 - r +1 5 - r + 2r +19 lub r2 +18 - 63 = 0 .
) ( )( )
Rozwiązaniami tego równania są: r1 = 3 lub r2 = -21.
Następnie obliczamy a, b, c.
Warunki zadania spełniają liczby: a = 2, b = 5, c = 8 lub a = 26, b = 5, c = -16.
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania zadania .......................................................................................................... 1 pkt
Wprowadzenie oznaczeń: a pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego, r różnica tego ciągu
oraz wykorzystanie definicji ciągu arytmetycznego do zapisania odpowiedniego równania, np.
2a + 2r = 10 lub a + r = 5
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp ..................................................................... 2 pkt
Wykorzystanie własności ciągu geometrycznego i zapisanie układu równań, np.
ńł
ła + r = 5
ł
2
a + r + 4 = a +1 a + 2r +19
( ) ( )( )
ł
ół
Pokonanie zasadniczych trudności zadania .................................................................... 3 pkt
Przekształcenie układu równań do równania z niewiadomą r, np.
2
5
( - r + r + 4 = 5 - r +1 5 - r + 2r +19 lub r2 +18 - 63 = 0 .
) ( )( )
Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają
poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)......................................................... 4 pkt
" poprawne rozwiązanie równania kwadratowego, odrzucenie jednego z rozwiązań, np.
r < 0 i poprawne wyznaczenie drugiej trójki liczb
albo
" przekształcenie układu równań z jedną niewiadomą do równania kwadratowego
z błędem rachunkowym, np. błąd w redukcji wyrazów podobnych lub w przepisywaniu
i konsekwentne doprowadzenie rozwiązania do końca (o ile otrzymane równanie
kwadratowe ma dwa pierwiastki rzeczywiste).
Rozwiązanie pełne ............................................................................................................. 5 pkt
Wyznaczenie liczb spełniających warunki zadania: a = 2, b = 5, c = 8 lub
a = 26, b = 5, c = -16.
Egzamin maturalny z matematyki 11
Klucz punktowania odpowiedzi poziom rozszerzony
Zadanie 6. (0 5)
Obszar standardów Sprawdzane umiejętności
Użycie i tworzenie strategii Przeprowadzanie dyskusji trójmianu kwadratowego
z parametrem
I sposób rozwiązania (wzory ViŁte a)
x2 + mx + 2 = 0
Zapisujemy układ warunków:
"> 0
ńł
ł
2 2
+ x2 > 2m2 -13
ółx1
Rozwiązujemy pierwszą nierówność tego układu:
" = m2 - 8
"> 0
m2 -8 > 0
m "(- ",-2 2)*"(2 2, ")
Aby rozwiązać drugą nierówność, najpierw przekształcimy lewą stronę nierówności,
korzystając ze wzorów ViŁte a:
2 2
2 2
x1 + x2 = (x1 + x2 ) - 2x1x2 = (- m) - 2 " 2 = m2 - 4
Rozwiązujemy zatem nierówność:
m2 - 4 > 2m2 -13
m2 - 9 < 0 , więc m "(- 3,3)
Wyznaczamy wspólną część zbiorów rozwiązań układu nierówności:
m "(- ",-2 2)*"(2 2, ") i m "(- 3,3), więc m "(- 3,-2 2)*"(2 2,3).
II sposób rozwiązania (wzory na pierwiastki trójmianu)
Zapisujemy układ warunków:
"> 0
ńł
ł
2 2
+ x2 > 2m2 -13
ółx1
Rozwiązujemy pierwszą nierówność:
" = m2 - 8
" > 0 m2 -8 > 0
m "(- ",-2 2)*"(2 2, ")
Obliczamy pierwiastki równania kwadratowego:
- m + m2 - 8 - m - m2 - 8
x1 = x2 =
2 2
Obliczamy sumę kwadratów pierwiastków równania kwadratowego:
12 Egzamin maturalny z matematyki
Klucz punktowania odpowiedzi poziom rozszerzony
22
ł ł ł ł
-m + m2 -8 -m - m2 -8
2 2
x1 + x2 = ł ł + ł ł =
ł ł ł ł
22
ł łł ł łł
m2 - 2m m2 -8 + m2 -8 m2 + 2m m2 -8 + m2 -8
=+=
44
2m2 + 2m2 -16
= = m2 - 4
4
Rozwiązujemy drugą nierówność:
m2 - 4 > 2m2 -13
m2 - 9 < 0
m "(- 3,3)
Wyznaczamy wspólną część zbiorów rozwiązań układu nierówności:
m "(- ",-2 2)*"(2 2, ") i m "(- 3,3), więc m "(- 3,-2 2)*"(2 2,3).
Schemat oceniania
Rozwiązanie zadania składa się z trzech części.
a) Pierwsza polega na rozwiązaniu nierówności " > 0 , m "(- ",-2 2)*"(2 2, ").
Za poprawne rozwiązanie tej części zdający otrzymuje 1 punkt.
Uwaga
Jeżeli zdający rozwiązuje nierówność "e" 0 , to nie otrzymuje punktu za tę część.
b) Druga polega na rozwiązaniu nierówności x12 + x22 > 2m2 -13, m "(- 3,3).
Za tę część rozwiązania zdający otrzymuje 3 punkty.
c) Trzecia polega na wyznaczeniu części wspólnej rozwiązań nierówności z a) i b).
Za poprawne rozwiązanie trzeciej części zdający otrzymuje 1 punkt.
W ramach drugiej części rozwiązania wyróżniamy następujące fazy:
Rozwiązanie części b), w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do
pełnego rozwiązania ....................................................................................................................1 pkt
2 2
" zapisanie nierówności x1 + x2 > 2m2 -13 w postaci równoważnej m2 - 4 > 2m2 -13
albo
" wykorzystanie wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego i zapisanie nierówności
22
ł ł ł ł
-m + m2 -8 -m - m2 -8
ł ł + ł ł > 2m2 -13.
ł ł ł ł
22
ł łł ł łł
Pokonanie zasadniczych trudności części b) zadania ..............................................................2 pkt
Doprowadzenie do postaci nierówności kwadratowej m2 - 9 < 0.
Rozwiązanie bezbłędne części b)................................................................................................3 pkt
Rozwiązanie nierówności: m "(- 3,3).
Rozwiązanie pełne ...................................................................................................................... 5 pkt
Wyznaczenie części wspólnej rozwiązań nierówności i podanie odpowiedzi:
m "(- 3,-2 2)*"(2 2,3).
Egzamin maturalny z matematyki 13
Klucz punktowania odpowiedzi poziom rozszerzony
Zadanie 7. (0 6)
Obszar standardów Sprawdzane umiejętności
Użycie i tworzenie strategii Stosowanie równań i nierówności do opisania zależności
w prostokątnym układzie współrzędnych
Rozwiązanie
Y
8
7
6
A =
(-2,5
)
5
4
3
2
1
X
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-1
-2
-3
- 2 - 5 +1
Obliczamy odległość punktu A od prostej y = x +1: d = = 3 2 .
1+1
Obliczona odległość d jest równa długości wysokości trójkąta ABC poprowadzonej do boku
BC. Znamy pole trójkąta ABC, więc obliczamy długość boku BC.
1 30
PABC =15 stąd d " BC = 15 , więc BC = = 5 2
2
3 2
Punkt C = (x, y) leży na prostej o równaniu y = x +1, zatem C = (x, x +1). Z warunków
zadania mamy AC = BC , więc ze wzoru na długość odcinka zapisujemy równanie:
2 2
(x + 2) + (x +1- 5) = 5 2 .
Rozwiązujemy otrzymane równanie:
2 2 2
(x + 2) + (x +1- 5) = 5 2 ( )
x2 + 4x + 4 + x2 - 8x +16 = 50
x2 - 2x -15 = 0
" = 64 x1 = 5 x2 = -3
Obliczamy rzędne punktów: y1 = 6 y2 = -2
Warunki zadania spełniają dwa punkty: C1 = 5,6 C2 = -2 .
( ) (-3,
)
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze
do całkowitego rozwiązania zadania ......................................................................................... 1 pkt
Obliczenie odległości punktu A od prostej y = x +1: d = 3 2 .
1
+
=
y
x
14 Egzamin maturalny z matematyki
Klucz punktowania odpowiedzi poziom rozszerzony
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp ..............................................................................2 pkt
Obliczenie długości odcinków AC i BC: AC = BC = 5 2 .
Pokonanie zasadniczych trudności zadania .............................................................................4 pkt
Ułożenie układu równań pozwalającego obliczyć współrzędne punktu C (odległość
AC = 5 2 oraz punkt C należy do prostej o równaniu y = x +1)
y = x +1
ńł
ł
2 2
(x + 2) + (y - 5) = 50
ół
i sprowadzenie układu do równania kwadratowego: x2 - 2x -15 = 0 .
Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają
poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) .................................................................5 pkt
Rozwiązanie pełne .......................................................................................................................6 pkt
Wyznaczenie współrzędnych punktu C: C = (5,6) lub C = (- 3,-2).
Zadanie 8. (0 5)
Obszar standardów Sprawdzane umiejętności
Rozumowania i argumentacji Przeprowadzenie dowodu algebraicznego
Rozwiązanie
1
Zapisujemy współrzędne dwóch punktów leżących na wykresie funkcji f x = oraz
( )
x2
1 1
ł ł ł ł
na prostej równoległej do osi Ox , np. A = x, , B = -x, , gdzie x `" 0 .
ł ł ł ł
x2 x2
ł łł ł łł
Zapisujemy pole trójkąta ABC , gdzie C = 3, -1 w zależności od jednej zmiennej:
( )
1
2" x " +1
1
x2 = + x .
P"ABC =
2 x
Wystarczy wobec tego udowodnić, (lub powołać się na znaną nierówność), że dla dowolnej
1
liczby a > 0 zachodzi nierówność + a e" 2 . Po pomnożeniu obu stron nierówności przez a
a
otrzymujemy nierówność równoważną 1+ a2 e" 2a , czyli a2 - 2a +1 e" 0, a więc nierówność
2
a
( -1 e" 0 .
)
Schemat oceniania
Uwaga
Zdający otrzymuje 0 punktów, jeżeli wybierze konkretne dwa punkty A oraz B i dla tych
punktów obliczy pole trójkąta ABC.
Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do
całkowitego rozwiązania ............................................................................................................1 pkt
1
Zapisanie współrzędnych dwóch punktów leżących na wykresie funkcji f x = oraz
( )
x2
1 1
ł ł ł ł
na prostej równoległej do osi Ox , np. A = x, , B = -x, , gdzie x `" 0 .
ł ł ł ł
x2 x2
ł łł ł łł
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp ..............................................................................2 pkt
Egzamin maturalny z matematyki 15
Klucz punktowania odpowiedzi poziom rozszerzony
1
Zapisanie długości odcinka AB ( AB = 2 x ) oraz wysokości h trójkąta ABC ( h = +1).
x2
Pokonanie zasadniczych trudności zadania ............................................................................ 3 pkt
Zapisanie pola trójkąta ABC w zależności od jednej zmiennej:
1
2" x " +1
1
x2 = + x
P"ABC =
2 x
Uwaga
Zdający może założyć, że x > 0 i zapisać wzór na pole trójkąta w postaci:
1
2" x "ł +1ł
ł ł
1
x2 = + x
ł łł
P"ABC =
2 x
Rozwiązanie pełne ...................................................................................................................... 5pkt
1
Uzasadnienie, że + x e" 2 .
x
Zdający może powołać się na (znane) twierdzenie o sumie liczby dodatniej i jej odwrotności.
Zadanie 9. (0 4)
Obszar standardów Sprawdzane umiejętności
Rozumowania i argumentacji Przeprowadzenie dowodu geometrycznego
Rozwiązanie
Czworokąt ABCD jest równoległobokiem, czworokąt DCFE jest kwadratem, więc
AB = CD = CF . W kwadracie CBHG odcinki BC i CG są równe.
Niech ą oznacza kąt ABC danego równoległoboku. Wówczas S BCD = 180-ą .
W kwadratach CDEF oraz CBHG mamy S DCF = S DCF = 90, więc
S FCG = 360-(
180-ą )- 90- 90 = ą = S ABC .
W trójkątach ABC i FCG mamy zatem: AB = CF , BC = CG oraz S FCG = S ABC ,
więc trójkąty ABC i FCG są przystające (cecha bkb ). Stąd wnioskujemy, że AC = FG .
Schemat oceniania:
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania ........................................................................................................................ 1 pkt
Zaznaczenie na rysunku odcinków AC i FG oraz zapisanie równości AB = CF
i BC = CG .
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp ..................................................................... 2 pkt
Stwierdzenie, że trójkąty ABC i FCG są przystające, na podstawie cechy (bkb), bez podania
pełnego uzasadnienia równości kątów S FCG = S ABC .
Pokonanie zasadniczych trudności zadania .................................................................... 3 pkt
Stwierdzenie, że trójkąty ABC i FCG są przystające, wraz z podaniem pełnego uzasadnienia
równości kątów S FCG = S ABC .
16 Egzamin maturalny z matematyki
Klucz punktowania odpowiedzi poziom rozszerzony
Rozwiązanie pełne .............................................................................................................. 4 pkt
Zapisanie wniosku, że AC = FG .
Zadanie 10. (0 4)
Obszar standardów Sprawdzane umiejętności
Modelowanie matematyczne Obliczanie prawdopodobieństwa z zastosowaniem
klasycznej definicji prawdopodobieństwa
Rozwiązanie
Zdarzeniami elementarnymi są trzywyrazowe ciągi o wartościach w zbiorze
sześcioelementowym. Mamy model klasyczny. &! = 63 = 216 .
Reszta z dzielenia kwadratu liczby całkowitej przez 3 może być równa 0 lub 1. Suma
kwadratów trzech liczb będzie podzielna przez 3 wtedy, gdy każdy z nich będzie podzielny
przez 3 albo gdy reszta z dzielenia każdego z nich przez 3 będzie równa 1.
Kwadraty liczb 3 i 6 są liczbami podzielnymi przez 3.
Kwadraty liczb 1, 2, 4 i 5 dają z dzielenia przez 3 resztę 1.
A możemy obliczać następująco:
I sposób
ciągi o wartościach ze zbioru {3,6} jest ich 23 = 8 ,
ciągi o wartościach ze zbioru {1,2,4,5} jest ich 43 = 64 ,
czyli A = 23 + 43 = 72
II sposób
ciągi stałe jest ich 6,
ciągi, w których występują dwie liczby ze zbioru {3,6} jest ich 2"3 = 6 ,
ciągi, w których występują dwie liczby ze zbioru {1,2,4,5} jest ich 4"3"3 = 36,
ciągi różnowartościowe o wartościach ze zbioru {1,2,4,5} jest ich 4"3" 2 = 2 4
,
czyli A = 6 + 6 + 36 + 24 = 72 ,
III sposób
ciągi, w których występują liczby dające tę sama resztę przy dzieleniu przez 3 jest
ich 3" 23 = 24,
ciągi, w których występują dwie liczby dające przy dzieleniu przez 3 resztę 1 i jedna
liczba dająca przy dzieleniu przez 3 resztę 2 jest ich 3" 2" 22 = 24 ,
ciągi, w których występują dwie liczby dające przy dzieleniu przez 3 resztę 2 i jedna
liczba dająca przy dzieleniu przez 3 resztę 1 jest ich 3" 2" 22 = 24 ,
czyli A = 24 + 24 + 24 = 72 ,
72 1
Zatem P A = = .
( )
216 3
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny do rozwiązania
zadania ............................................................................................................................... 1 pkt
Zdający zapisze, że &! = 63 i na tym zakończy lub dalej rozwiązuje błędnie.
Istotny postęp...................................................................................................................... 2 pkt
Zdający zapisze, że suma kwadratów trzech liczb jest podzielna przez 3 tylko wtedy, gdy
wszystkie liczby są podzielne przez 3 albo wszystkie są niepodzielne przez 3.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania .................................................................... 3 pkt
Egzamin maturalny z matematyki 17
Klucz punktowania odpowiedzi poziom rozszerzony
Zdający poprawnie obliczy liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zajściu zdarzenia A:
A = 72 i na tym zakończy lub dalej rozwiązuje błędnie.
Rozwiązanie pełne ............................................................................................................. 4 pkt
1
P(A) = .
3
Zadanie 11. (0 5)
Obszar standardów Sprawdzane umiejętności
Użycie i tworzenie strategii Obliczanie objętości wielościanu z wykorzystaniem
trygonometrii
Uwaga
Strategię rozwiązania zadania można zrealizować na wiele sposobów. W każdym z nich
wyróżniamy następujące etapy rozwiązania
" Poprawna interpretacja bryły i podanego kąta dwuściennego w tej bryle.
" Wyznaczenie m lub h w zależności od a i ą .
" Wyznaczenie jednej z wielkości: x, b, hb (w zależności od a i ą ), z której można już
wyznaczyć H.
" Wyznaczenie H w zależności od a i ą .
" Wyznaczenie V w zależności od a i ą .
Użyliśmy oznaczeń jak na rysunku
S
b
hb
b
H
. E
.
2ą x
h
h m C
. .
hp
. D a
A O
.
F
a
B
18 Egzamin maturalny z matematyki
Klucz punktowania odpowiedzi poziom rozszerzony
Rozwiązanie (wyznaczenie m, wyznaczenie x, wyznaczenie H z podobieństwa trójkątów
OCS i ECF)
S
b
b
h
H
E
. .
2ą x
h
m h C
.
.
hp
. D
A a
O
.
F
a
B
a 3
Wysokość podstawy ostrosłupa jest równa hp = .
2
Wyznaczamy wysokość FE trójkąta równoramiennego ABE
1
a
FB
a
2
tgą = = , stąd m = .
BE m 2tgą
Wyznaczamy długość odcinka EC z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie FCE:
x = hp2 - m2
2
2
ł ł
a 3 ł ł 3tg2ą -1 a 4sin2 ą -1
a
x = -= a
=
ł ł
ł ł
ł ł
2 2tgą 4tg2ą 2siną
ł łł
ł łł
Z podobieństwa trójkątów OCS i ECF mamy
OS EF
H m
= , czyli = .
2
OC EC
hp x
3
a a 3
2 a 3
"
m " "
2tgą 3 a cosą
3 2
Stąd H = = = .
a 4sin2 ą -1 a 4sin2 ą -1 3 4sin2 ą -1
2siną 2siną
Wyznaczamy objętość ostrosłupa:
1 a2 3 1 a2 3 a cosą a3 cosą
V = " " H = " " = .
3 4 3 4
3 4sin2 ą -1 12 4sin2 ą -1
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny do pełnego rozwiązania
zadania ............................................................................................................................... 1 pkt
Wykonanie rysunku ostrosłupa i zaznaczenie na nim kąta między sąsiednimi ścianami
bocznymi.
Egzamin maturalny z matematyki 19
Klucz punktowania odpowiedzi poziom rozszerzony
Uwaga
Nie wymagamy rysunku, jeżeli z dalszych obliczeń wynika, że zdający poprawnie interpretuje
treść zadania.
Rozwiązanie, w którym jest istotny ................................................................................ 2 pkt
a
Wyznaczenie wysokości EF trójkąta ABE w zależności od a i ą : m = .
2tgą
Pokonanie zasadniczych trudności zadania .................................................................... 3 pkt
a 4sin2 ą -1
Wyznaczenie długości odcinka EC: x = .
2siną
Rozwiązanie prawie całkowite.......................................................................................... 4 pkt
a cosą
Wyznaczenie wysokości ostrosłupa: H = .
3 4sin2 ą -1
( )
Rozwiązanie pełne ............................................................................................................ 5 pkt
1 a3 cosą
Wyznaczenie objętości ostrosłupa: V = .
12
4sin2 ą -1
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
2010 klucz chemia ppArkusz Maturalny Listopad 2010 Matematyka PPMatura 2010 maj pp(1)Historia (poziom rozszerzony) rok 2010, kluczLEP luty 2010 kluczARKUSZ 1 KLUCZ PPwięcej podobnych podstron