Równania różniczkowe zwyczajne wykład dla studentów


Równania Różniczkowe Zwyczajne
wyklad dla studentów na kierunku automatyka i robotyka - wersja robocza (4 lipiec 2003)
1
Boguslaw Bożek
1
AGH Kraków, Wydzial Matematyki Stosowanej
2
Spis treści
1 Wprowadzenie 5
2 Elementy analizy funkcjonalnej 9
3 Twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności 11
4 Proste typy równań różniczkowych skalarnych 13
4.1 Równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych . . . . . . . . . . . . . . 13
4.2 Równanie jednorodne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.3 Równanie różniczkowe zupelne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.3.1 Czynnik calkujacy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.4 Równanie Clairauta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5 Liniowe równania różniczkowe 19
5.1 Równania i uklady równań różniczkowych liniowych . . . . . . . . . . . . 19
5.2 Skalarne równanie liniowe rzedu pierwszego . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5.3 Równanie Bernoulliego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.4 Równanie Riccatiego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.5 Równanie Lagrange a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5.6 Skalarne równanie różniczkowe liniowe
n-tego rzedu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.7 Obniżanie rzedu równania liniowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.7.1 Wzór Liouville a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.7.2 Równania wyższych rzedów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.8 Niejednorodne równanie różniczkowe liniowe
n-tego rzedu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.9 Równanie liniowe n-tego rzedu o stalych wspólczynnikach . . . . . . . . . 27
5.10 Metoda przewidywań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.11 Uklad skalarnych równań różniczkowych liniowych rzedu pierwszego . . . 29
5.12 Uklady równań liniowych o stalych
wspólczynnikach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.12.1 Metoda wartości i wektorów wlasnych . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.12.2 Sprowadzanie macierzy ukladu do postaci Jordana . . . . . . . . . 33
5.13 Równanie ruchu harmonicznego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6 Rozwiazania w postaci szeregów funkcyjnych 37
6.1 Rozwiazania w postaci szeregów potegowych . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.2 Równania różniczkowe liniowe rzedu drugiego . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3
4 SPIS TREŚCI
7 Stabilność rozwiazań równań różniczkowych 41
7.1 Podstawowe definicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
7.2 Twierdzenie Lapunowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
7.3 Problem Routha Hurwitza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
7.4 Punkty osobliwe równania różniczkowego zupelnego . . . . . . . . . . . . 45
8 Transformata Laplace a 47
8.1 Podstawowe definicje i twierdzenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
8.2 Wyznaczanie transformaty równania różniczkowego . . . . . . . . . . . . . 48
8.3 Wyznaczanie funkcji na podstawie jej transformaty . . . . . . . . . . . . . 49
9 Dodatek 53
9.1 Tablice transformat Laplace a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
9.2 Przykladowe tematy zadań egzaminacyjnych . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Rozdzial 1
Wprowadzenie
Równaniem różniczkowym nazywamy zwiazek miedzy pewna nieznana funkcja, a
jej pochodnymi; gdy funkcja niewiadoma jest funkcja jednej zmiennej, to mówimy o
równaniu różniczkowym zwyczajnym, w przeciwnym wypadku o równaniu różniczkowym
czastkowym. Zwiazek postaci
F (t, x(t), x (t), . . . , x(n)(t)) = 0
nazywamy równaniem różniczkowym zwyczajnym n-tego rzedu, jeśli lewa strona istotnie
zależy od x(n). Nie musi oba zależeć od x i t. Przykladowo równanie
x + t(x )30 - ex sin t = 0
jest równaniem różniczkowym rzedu trzeciego. Funkcja x może być funkcja skalarna,
albo wektorowa.
Równania różniczkowe w zagadnieniach technicznych powstaja na ogól w wyniku
stosowania nastepujacych metod postepowania:
a) Przedstawiania praw fizyki w postaci matematyczno-analitycznej.
b) Przedstawiania zwiazków geometrycznych w postaci analitycznej.
c) Rugowania parametrów z n-parametrowej rodziny funkcji i n równości.
Ad a) Niech v : R R3 " [t0, T ] R3 (t, x) v(t, x) " R3 bedzie zadanym
polem predkości. Równanie x = v(t, x) opisuje ruchy czastek unoszonych w polu v. Jeśli
dodatkowo przyja ć warunek x(t0) = x0, to x(t) jest polożeniem w chwili t tej czastki,
która w chwili t0 znajdowala sie w punkcie x0.
Ad b) Niech y = f(x). Wielkość
3
2
1 + (y )2
(A) = (A)
|y |
1
nazywamy promienie krzywizny, a jej odwrotność (A) krzywizna w punkcie A. Równanie

różniczkowe
|y |
= a R a e" 0
3
2
(1 + (y )2)
jest zadem równaniem różniczkowym, którego rozwiazaniem sa krzywe o stalej krzywiznie
równej a.
Ad c) Rozważmy rodzine okregów
(x - a)2 + (y - b)2 = R2, (1.1)
5
6 ROZDZIAL 1. WPROWADZENIE
gdzie a, b, R parametry. Zaóżmy, że y = y(x). Różniczkujac trzykrotnie zwiazek (1.1)
dostajemy
ńł
x
ł - a + (y - b)y = 0
1 + (y )2 + (y - b)y = 0
ół
3y y + (y - b)y = 0.
Rugujac z tych równań wszystkie trzy parametry dostajemy równanie różniczkowe rodziny
okregów:
3y (y )2 - 1 + (y )2 y = 0.
Bez należytej precyzji możemy przyja ć w tej cwili, że równaniem różniczkowym nazy-
wamy równanie postaci
F (t, x, x , . . . , xn) = 0. (1.2)
Jeśli funkcja  : [a, b] R klasy Cn spelnia tożsamościowo równość
F (t, (t),  (t), . . . , n(t)) = 0 w [a, b],
to  nazywamy calka szczególna równania różniczkowego. Gdy  jest funkcja elemen-
tarna, to mówimy że (1.2) ma rozwiazanie efektywne. Na przyklad równanie
x (t) + 2x(t) = 0
ma rozwiazania efektywne
1(t) = sin t i 2(t) = cos t.
Z kolei równanie Riccatiego
dx
= a x2 + b tn a, b stale, n " N
dt
ma rozwiazanie efektywne (niestety) tylko dla pewnych n.
Jeśli rozwiazanie można wyznaczyć przez skończona liczbe calkowaN, to mówimy, że tak
przedstawione rozwiazania sa rozwiazaniami przez kwadrature. Na przyklad równanie
sin t
x =
t
ma rozwiazanie
sin t
x(t) = dt + C.
t
Niestety sa równania, które nie sa rozwiazywalne przez kwadrature. Przykladem takiego
równania jest równanie Bessela
t2x + tx + t2 - n2 x = 0.
Można dla niego podać rozwiazanie w postaci szeregów funkcyjnych. W szczególności
funkcje
" 2k
(-1)k t
I0(t) = ,
(k!)2 2
k=0
" 2k k
(-1)k t t 1
Y0(t) = 2 ln + C - ,
(k!)2 2 2 
k=0 =1
gdzie C = 0.5772157 . . . jest stala Eulera, sa rozwiazaniami równania Bessela dla n = 0.
Funkcje I0 i Y0 nosza nazwe funkcji Bessela 1-go i 2-go rodzaju rzedu 0.
7
Nie każde równanie różniczkowe ma rozwiazanie. Równanie
2
dx
1 + = 0
dt
nie ma rozwiazań rzeczywistych, ma jednak rozwiazanie zespolone
x(t) = it.
Równanie
dx
exp = 0
dt
w ogóle nie ma rozwiazań, bo funkcja C z ez " C nie ma zer. Z kolei równanie
x = f(t, x),
gdzie prawa strona jest ciaga ma nieskończenie wiele rozwiazań
8 ROZDZIAL 1. WPROWADZENIE
Rozdzial 2
Elementy analizy funkcjonalnej
Zalóżmy, że X = ".

Definicja 1 Funcje  : X X [0, ") nazywamy metryka, wtedy i tylko wtedy, gdy
1. (x, y) = 0 !! x = y,
"
x,y"X
2. (x, y) = (y, x),
"
x,y"X
3. (x, z) d" (x, y) + (y, z).
"
x,y,z"X
Definicja 2 Jeśli X = " i  : X X R metryka, to pare (X, ) nazywamy

przestrzenia metryczna.
Niech X bedzie przestrzenia wektorowa nad cialem K (K = R, lub K = C).
Definicja 3 Funkcje : X [0, ") nazywamay norma, wtedy i tylko wtedy, gdy
1. x = 0 !! x = 0,
2.
" " ąx = |ą| x ,
ą"K x"X
3. x + y d" x + y .
"
x,y"X
Definicja 4 Pare (X, ) nazywamy przestrzenia unormowana.
Uwaga 1 Każda norma indukuje metryke wedlug wzoru
(x, y) := x - y ,
toteż każda przestrzeń unormowana jest przestrzenia metryczna.
Definicja 5 Niech (X, ) - przestrzeń metryczna. Ciag {xn}n"N " X nazywamy
ciagiem Cauchy ego (ciagiem fundamentalnym) wtedy i tylko wtedy, gdy
 (xm, xn) < .
" " " "
>0 k"N m>k n>k
Definicja 6 Niech (X, ) - przestrzeń metryczna. Mówimy, że ciag {xn}n"N " X
jest zbieżny do granicy g " X wtedy i tylko wtedy, gdy ciag liczbowy  (xn, g) ma granice
równa 0, tj.
lim xn = g !! lim  (xn, g) = 0 !!  (xn, g) < 
" " "
n" n"
>0 k"N N n>k
9
10 ROZDZIAL 2. ELEMENTY ANALIZY FUNKCJONALNEJ
Definicja 7 Mówimy, że ciag {xn}n"N " X jest zbieżny w przestrzeni metrycznej
(X, ) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje g " X, takie że limn" xn = g.
Twierdzenie 1 Każdy ciag zbieżny w przestrzeni metrycznej (X, ) jest ciagiem
Cauchy ego.
Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.
1
Przyklad 1 Ciag jest zbieżny do zera w przestrzeni metrycznej (R, E),
n
n"N
gdzie E jest metryka euklidesowa. Jest on zatem w myśl poprzedniego twierdzenia
ciagiem Cauchy ego. Niech X := (0, 1) i niech d bedzie restrykcja metryki E do X X.
Przestrzeń (X, d) jest przestrzenia metryczna, a rozważany ciag w tej przestrzeni nie jest
zbieżny, gdyż 0 " X.
Definicja 8 Przestrzeń metryczna (X, ) nazywamy zupelna, wtedy i tylko wtedy, gdy
każdy ciag Cauchy ego {xn}n"N " X jest zbieżny (do elementu przestrzeni X).
Definicja 9 Przestrzeń unormowana zupelna nazywamy przestrzenia Banacha.
Twierdzenie 2 (Banacha o odwzorowaniach zweżajacych)
Jeśli
- (X, ) przestrzeń Banacha,
- T : X X q-zweżajace tzn.
T (x) - T (y) d" q x - y ,
" "
q"[0,1) x,y"X
to
" T ma jedyny punkt staly tzn. "! x " X : T (x ) = x .
" Ponadto, jeśli x0 " X, xn+1 := T (xn), to
qp
 (x , xp) d"  (x1, xp) dla p " N.
1 - q
Rozdzial 3
Twierdzenia o istnieniu i
jednoznaczności
Twierdzenie 3 Jeśli
1. t0 " I = [a, b] " R,
x0 " B = B (x0, R) " U " topX,
f " C(I U, X),
2. funkcja f : I U (t, x) f(t, x) " X spelnia warunek Lipschitza wzgledem
drugiej zmiennej na zbiorze I B tzn.:
f(t, y) - f(t, z) d" y - z ,
" " "
L>0 t"I y,z"B
3. rozważamy równanie różniczkowe postaci:
(RR) x (t) = f(t, x(t)) t " I,
(WPC) x (t0) = x0,
to równanie (RR) z zadanym warunkiem poczatkowym Cauchy ego (WPC) ma dokladnie
jedno rozwiazanie x = x(t) na przedziale J = I )" [t0 - r, t0 + r], gdzie
+" gdy R = +" czyli B = X
r :=
R
gdy R < +"
M
i M := sup { f(t, y) : t " T, y " B}.
Definicja 10 Niech
(X, d), (Y, ) przestrzenie metryczne,
U " X,
f : I U (t, x) f(t, x) " Y .
Mówimy, że f spelnia lokalnie warunek Lipschitza wzgledem zmiennej x, jeżeli
 (f(t, y), f(t, z)) d" L d(y, z).
" " " " " " "
t0"I x0"U J"top(t0) B=B(x0,R) L=L(J,B) t"J y,z"B)"U
Twierdzenie 4 Jeżeli U " topX, f = f(t, x) " C(I U, X), f spelnie lokalnie
warunek Lipschitza wzgledem zmiennej x, to dla każdego (t0, x0) " I U równanie x =
f(t, x) z warunkiem poczatkowym Cauchy ego x (t0) = x0 ma dokladnie jedno rozwiazanie
określone w pewnym otoczeniu punktu t0.
11
12 ROZDZIAL 3. TWIERDZENIA O ISTNIENIU I JEDNOZNACZNOŚCI
Twierdzenie 5 (Zasada identyczności) Przyjmijmy zalożenia poprzedniego twierdzenia.
Niech P przedzial, P " I. Niech x = x(t), y = y(t) beda dwoma rozwiazaniami tego
samego równania różniczkowego x = f(t, x) określonymi na P i spelniajacymi warunki
poczatkowe Cauchy ego x (t1) = x0, y (t2) = y0. Jeśli istnieje taki punkt p " P , w którym
x(p) = y(p), to x(t) = y(t) dla t " P .
Twierdzenie 6 Niech Y = Xn, U " topY , f " C(I U, X) i niech f = f(t, y)
spelnia lokalnie warunek Lipschitza wzgledem zmiennej y. Wtedy dla każdego t0 " I, dla
każdego x0 = (x01, . . . , x0n) " U równanie różniczkowe
x(n) = f t, x, x , . . . , x(n-1)
z warunkiem poczatkowym Cauchy ego
x(j) (t0) = x0j j = 0, 1, . . . , n - 1
ma dokladnie jedno rozwiazanie x = x(t) w pewnym otoczeniu punktu t0.
Dowód. Równanie sprowadzamy do ukladu równań. Niech y1 := x oraz
y1 = y2 =: f1 (t, y1, . . . , yn)
y2 = y3 =: f2 (t, y1, . . . , yn)
. . . . . .
yn-1 = yn =: fn-1 (t, y1, . . . , yn)
yn = f (t, y1, . . . , yn) =: fn (t, y1, . . . , yn)
Uklad ten można zapisać w postaci
Y = F(t, Y),
gdzie Y = (y1, . . . , yn)T , F = (f1, . . . , fn)T .
c.k.d
Definicja 11 Rozwiazanie określone na calym przedziale I określoności równania
różniczkowego nazywamy rozwiazaniem globalnym tego równania.
Twierdzenie 7 (o rozwiazaniu globalnym) Niech t0 " I = |a, b| " R i niech f "
C(I X, X) i niech dane bedzie równanie
x = f(t, x), t " I
z warunkiem poczatkowym Cauchy ego
x (t0) = x0.
Jeśli
f(t, x) - f(t, y) d" L x - y ,
" " " "
J=[a ,b ]"I L=L(J)>0 t"J x,y"X
to powyższe równanie różniczkowe z dowolnie zadanym warunkiem poczatkowym Cauchy ego
ma dokladnie jedno rozwiazanie globalne tj. określone na przedziale I.
Podobne twierdzenie ma miejsce dla ukladów równań.
Przyklad 2 Równanie x = x2 nie spelnia zalożeń powyższego twierdzenie. Calka
1
ogólna tego równania jest określona wzorem x(t) = - (C " R) i nie jest określona
t+C
na X = R.
Rozdzial 4
Proste typy równań
różniczkowych skalarnych
4.1 Równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
Równanie różniczkowe postaci
f(t)
x (t) = , (4.1)
g(x)
gdzie f " C(I, R), g " C(J, R), x " C1(I, J), I, J przedzialy, t " I, g(x) = 0 dla

x " J nazywamy równaniem o zmiennych rozdzielonych. Równanie to możemy zapisać
w postaci
g(x)x (t) = f(t).
Niech G = G(x) oraz F = F (t) beda dowolnymi funkcjami pierwotnymi odpowiednio
funkcji g = g(x) i f = f(t). Wówczas równanie (4.1) można przepisać w postaci
d d
(G ć% x)(t) = F (t),
dt dt
czyli
d
[G(x) - F (t)] = 0, x = x(t), t " I.
dt
Ponieważ I przedzial, to równanie to na podstawie twierdzenia Lagrange a jest równoważne
równaniu
G(x) - F (t) = C, x = x(t), t " I, C " R,
które możemy zapisać w postaci
g(x)dx = f(t)dt, x = x(t). (4.2)
4.2 Równanie jednorodne
Równaniem różniczkowym jednorodnym nazywamy równanie postaci
x
x = f , (4.3)
t
gdzie t " I, x = x(t), f " C(J, R), I, J - przedzialy. Podstawienie
x(t) = ty(t)
13
14 ROZDZIAL 4. PROSTE TYPY RÓWNAC RÓŻNICZKOWYCH SKALARNYCH
sprowadza równanie (4.3) do równania różniczkowego
f(y) - y
y =
t
o zmiennych rozdzielonych. Dodatkowo należy sprawdzić, czy rozwiazaniem równania
(4.3) jest funkcja x(t) := y0t, gdzie y0, jest rozwiazaniem równania f (y0) - y0 = 0.
Równanie
dx a1t + b1x + c1
= f , (4.4)
dt a2t + b2x + c2
gdzie f jest funkcja ciagla oraz a1b2 - a2b1 = 0 można przez stosowna zmiane zmiennych

Ż
sprowadzić do równania jednorodnego. Jeśli bowiem wektor (t, x) jest rozwiazaniem
Ż
ukladu równań
a1 b1 t -c1
=
a2 b2 x -c2
to zmiana zmiennych
Ż+
t = t , x = x + 
Ż
x)
d d(x-Ż
dt dx
przy której = = sprowadza równanie (4.4) do równania jednorodnego
d dt d dt
a1 + b1  
d a1 + b1

= f = f =: g .
d a2 + b2 a2 + b2  

Gdy a1b2 - a2b1 = 0, to istnieje takie  " R, że a2t + b2x =  (a1t + b1x) lub a1t + b1x =
 (a2t + b2x). Równanie (4.4) przeksztalca sie w równanie postaci
Ż(a1t Ż(a2t
x = f + b1x) lub x = f + b2x) .
Podstawienie odpowiednio
u(t) = a1t + b1x(t) lub u(t) = a2t + b2x(t)
sprowadza je do równania o zmiennych rozdzielonych.
4.3 Równanie różniczkowe zupelne
Niech D " R2 bedzie obszarem tj. zbiorem otwartym i spójnym. Niech P, Q "
C(D, R) oaz Q(t, x) = 0 dla (t, x) " D.

Definicja 12 Równanie różniczkowe
P (t, x)
x = - (4.5)
Q(t, x)
czyli
P (t, x)dt + Q(t, x)dx = 0 (4.6)
nazywamy zupelnym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka funkcja U " C1(D, R), że
d(t,x)U = P (t, x)dt + Q(t, x)dx dla (t, x) " D. (4.7)
Ponieważ zbiór D jest obszarem, zatem jeśli (4.6) jest równaniem różniczkowym
zupelnym, to calka ogólna tego równania ma postać
U(t, x) = C, C " R.
Z twierdzenia PoincarŁ go wynika nastepujace
4.3. RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE ZUPELNE 15
"P
Twierdzenie 8 Jeśli D jest obszarem ściagalnym w R2, P, Q " C(D, R) oraz =
"x
"Q
w D, to (4.6) jest równaniem różniczkowym zupelnym,
"t
przy czym:
Definicja 13 Obszar D nazywamy ściagalnym w R2 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieja
obszar obszar gwiazdzisty G " R2 oraz dyffeomorfizm h : G D (tzn. h bijekcja, H,
h-1 klasy C1).
Definicja 14 Zbiór G " R2 nazywamy zbiorem gwiazdzistym wtedy i tylko wtedy,
gdy
[x0, x] " G,
" "
x0"G x"G
Wiedzac, że (4.6) zupelne z warunku (4.7) mamy:
"U "U
= P, = Q.
"t "x
Calkujac pierwszy z tych zwiazków wzgledem zmiennej t dostajemy:
U(t, x) = P (t, x)dt + C(x) (t, x) " D.
Z kolei
"U "P (t, x)
Q(t, x) = (t, x) = dt + C (x),
"x "x
skad
"P
C (x) = Q(t, x) - (t, x)dt.
"x
i w konsekwencji
"P
C(x) = Q(t, x)dx - (t, x)dt dx.
"x
Ostatecznie
"P
U(t, x) = P (t, x)dt + Q(t, x)dx - (t, x)dt dx,
"x
tak wiec rozwiazanie ogólne równania różniczkowego zupeLnego (4.6) wyraża sie wzorem:
"P
P (t, x)dt + Q(t, x)dx - (t, x)dt dx = C, C " R. (4.8)
"x
4.3.1 Czynnik calkujacy
"P "Q
Jeżeli równanie (4.6) nie spelnia warunku = w zadanym obszarze ściagalnym
"x "t
D, to szukamy takiej funkcji = (t, x) " C1(D, R), aby
"(P ) "(Q)
= (t, x) " D (4.9)
"x "t
Definicja 15 Funkcje " C1(D, R), dla której zachodzi warunek (4.9) nazywamy
czynnikiem calkujacym równania (4.6).
Twierdzenie 9 Jeśli funkcje P, Q " C1(D, R) i D obszar ściagalny, to istnieje "
C1(D, R) czynnik calkujacy równania (4.6).
16 ROZDZIAL 4. PROSTE TYPY RÓWNAC RÓŻNICZKOWYCH SKALARNYCH
Efektywne wyznaczenie czynnika calkujacego jest możliwe zawsze, gdy zależy on od
jednej zmiennej oraz w sytuacji, gdzy = ((t, x)), gdzie (t, x) jest znana funkcja klasy
C1(D, R). W pozostalych przypadkach jest to zagadnienie trudne czesto niemożliwe do
zrealizowania.
Zaóżmy zatem, że istnieje czynnik calkujacy równania (4.6) postaci = ((t, x)).
Warunek
"(P ) "(Q)
= (t, x) " D
"x "t
jest równoważny warunkowi
" "P " "Q
P + = Q + ,
"x "x "t "t
który można zapisać w postaci
"P
"Q -
"t "x
= . (4.10)
" "

P - Q
"x "t
Ponieważ lewa strona, z zalożenia, zależy od (t, x), zatem warunkiem istnienia czynnika
calkujacego postaci = ((t, x)) jest aby prawa strona równania (4.10) byla zależna
od (t, x). Wtedy też dostajemy wzór:
"Q "P
-
"t "x
ln |()| = () d =: ()
" "
P - Q
"x "t
z którego wynika, że każda z funkcji
(t, x) := ((t, x)) = Ce((t,x)) (C " R \ {0}) (4.11)
jest szukanym czynnikiem calkujacym.
Poszukujac czynnika calkujacego należy rozpoczac od najprostszych przypadków tj.
(t, x) = t lub (t, x) = x, potem rozważyć kolejno (t, x) = t + x, (t, x) = t - x,
t
(t, x) = tx, (t, x) = . Gdy nie przyniesie to rezultatu szanse na znalezienie czynnika
x
calkujacego sa znikome.
Przyklad 3 Istnieje czynnik calkujacy = (t) równania t + t2 + x2 dt+xdx = 0,
(t)
d
gdyż = 2. Rozwiazujac ostatnie równanie dostajemy ln |(t)| = 2 i w konsekwencji
(t) dt
(t) = Ce2t (C " R \ {0}) jest szukanym czynnikiem calkujacym.
4.4 Równanie Clairauta
Definicja 16 Równaniem Clairauta nazywamy równanie różniczkowe
x - tx - f (x ) = 0, (4.12)
gdzie t " I, I - przedzial, x " C2(I, J), J - przedzial, f " C1(J, R) i funkcja f nie jest
postaci f() = A + B.
Różniczkujac (4.12) stronami dostajemy:
x - x - tx - f (x ) x = 0
czyli
x (t + f (x )) = 0.
4.4. RÓWNANIE CLAIRAUTA 17
Jeśli istnieje x = x(t) rozwiazanie równania (4.12) klasy C2(I, R), to
x = 0 lub t + f (x ) = 0.
Jeśli x (t) = 0, to x (t) = C, x(t) = Ct + b. Wstawiajac funkcje x(t) = Ct + b do
równania (4.12) dostajemy b = f(C). Tak wiec każda prosta
x(t) = Ct + f(C), C " J (4.13)
jest rozwiazaniem (4.12).
W sytuacji t + f (x ) = 0, traktujemy pochodna x jak parametr i oznaczamy go
symbolem p. Tak wiec t = -f (p). Równanie (4.12) możemy przepisać w postaci x =
tp + f(p) = -f (p)p + f(p). Równanie parametryczne
t = -f (p)
(4.14)
x = f(p) - pf (p)
jest równaniem obwiedni rodziny prostych (4.13).
18 ROZDZIAL 4. PROSTE TYPY RÓWNAC RÓŻNICZKOWYCH SKALARNYCH
Rozdzial 5
Liniowe równania różniczkowe
5.1 Równania i uklady równań różniczkowych liniowych
Niech (X, ) przestrzeń Banacha, I = |a, b| " R - dowolny przedzial, L(X, X) :=
{T : X X : T operator liniowy i ciagly}. Niech
A : I t A(t) " L(X, X) ciagle,
g " C(I, X),
x = x() " C1(I, X).
Definicja 17 Równaniem różniczkowym liniowym jednorodnym rzedu pierwszego (RRLJ)
nazywamy równanie postaci
x (t) = A(t) (x(t)) , t " I, (5.1)
krótko x = A(t)x, x = x(t), t " I.
Definicja 18 Równaniem różniczkowym liniowym niejednorodnym rzedu pierwszego
(RRLN) nazywamy równanie postaci
x (t) = A(t) (x(t)) + g(t), t " I, (5.2)
krótko x = A(t)x + g(t), x = x(t), t " I.
Definicja 19 W sytuacji X = Rn (RRLJ), (RRLN) nazywamy ukladem równań
różniczkowych liniowych.
Definicja 20 Równanie rózniczkowe
x(n) = A(t) x, x , . . . , x(n-1) + g(t), (5.3)
gdzie x = x(t), t " I, I - przedzial, A " C (I, L (Xn, X)), g " C(I, X), X - przestrzeń
Banacha, nazywamy równaniem różniczkowym liniowym rzedu n - tego. Jeśli g = 0, to
równanie (5.3) nazywamy równaniem jednorodnym, w przeciwnym wypadku niejednorod-
nym.
Jak wiadomo z wcześniejszych rozważań, równanie to można sprowadzić do równania
rzedu pierwszego w przestrzeni Banacha Xn.
Twierdzenie 10 (Twierdzenie o istnieniu rozwiazania globalnego) Standardowe równanie
różniczkowe liniowe (5.2) ma zawsze rozwiazanie globalne przy dowolnym warunku poczatkowym
Cauchy ego.
19
20 ROZDZIAL 5. LINIOWE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE
Twierdzenie 11 Zbiór rozwiazań równania różniczkowego liniowego jednorodnego
(5.1) (calka ogólna) jest przestrzenia liniowa.
Dowód. Wystarczy pokazać, że jeśli funkcje x i y sa rozwiazaniami (5.1) to ich
dowolna kombinacja liniowa także. Niech ą,  " R. Mamy
(ąx + y) = ąx + y = ąA(t)x + A(t)y =
= A(t)(ąx) + A(t)(y) = A(t)(ąx + y)
c.k.d
Twierdzenie 12 Rozwiazanie ogólne równania różniczkowego liniowego niejednorod-
nego (5.2) jest suma rozwiazania szczególnego (5.2) i rozwiazania ogólnego równania
różniczkowego liniowego jednorodnego(5.1), a dokladniej:
Każde rozwiazanie (5.2) jest suma pewnego ustalonego rozwiazania (5.2) i pewnego
rozwiazania (5.1).
Dowód. Niech
R := x " C1(I, X) : x = A(t)x + g(t) ,
Y := y " C1(I, X) : y = A(t)y .
Ustalmy x " R i zdefiniujmy
Z := z " C1(I, X) : z = x + y, y " Y = x + Y.
Mamy pokazać, że R = Z.
Udowodnimy najpierw, że Z " R.
Wezmy z " Z. Z definicji zbioru Z wynika, że istnieje y " Y , że z = x + y. Ponieważ
z = x + y = (A(t)x + g(t)) + A(t)y = A(t) (x + y) + g(t) = A(t)z + g(t)
zatem z " R.
Teraz udowodnimy, że R " Z.
Wezmy x " R. Wektor x możemy zapisać w postaci x = x + (x - x). Zdefiniujmy
y := x - x. Zauważmy, że
y = (x - x) = x = x = (A(t)x + g(t)) - (A(t)x + g(t)) =
= A(t)x - A(t)x = A(t) (x - x) = A(t)y,
co oznacza, że y " Y . W takim razie x " Z.
c.k.d
5.2 Skalarne równanie liniowe rzedu pierwszego
Skalarne równanie liniowe rzedu pierwszego
x + f(t)x = 0, (5.4)
gdzie x = x(t), t " I, I - przedzial, f " C(I, R), jest równaniem o zmiennych rozdzielonych.
Calka ogólna tego równania jest rodzina funkcji
x(t) = Ce- f(t)dt C = const " R, t " I.
Calke szczególna równania niejednorodnego
x + f(t)x = g(t) t " I, (5.5)
5.3. RÓWNANIE BERNOULLIEGO 21
możemy znalezć metoda uzmienniania stalej. Przypuśćmy bowiem, że istnieje rozwiazanie
równania (5.5) postaci
x(t) = C(t)e- f(t)dt = C(t)e-F (t),
gdzie F (t) := f(t)dt. Jeśli funkcja ta jest rozwiazaniem równania (5.5), to
g(t) = x + f(t)x = C (t)e-F (t) + C(t) (-F (t)) e-F (t) + f(t)C(t)e-F (t) = C (t)e-F (t),
skad
g(t)
C (t) = = g(t)eF (t).
e-F (t)
Rozwiazaniem tego równania jest funkcja
C(t) = g(t)eF (t)dt, t " I.
Tak wiec calka szczególna równania (5.5) jest funkcja
f(t)dt
x(t) = g(t)e dt e- f(t)dtdt
5.3 Równanie Bernoulliego
Równaniem różniczkowym Bernoulliego nazywamy równanie postaci
x + f(t)x = g(t)xp, p = const " R \ {1}, (5.6)
przy czym w stosunku do funkcji f i g przyjmujemy takie same zalożenia jak w przypadku
równania liniowego. Przez zmiane zmiennych
y(t) := x1-p(t)
równanie to można sprowadzić do równanie różniczkowego liniowego. Zauważmy bowiem,
że skoro y = (1 - p)x-px , to obustronnie mnożac równanie (5.6) przez (1 - p)x-p
dostajemy
(1 - p)x-px + (1 - p)f(t)x1-p = (1 - p)g(t),
czyli równanie różniczkowe liniowe niejednorodne
y + (1 - p)f(t)y = (1 - p)g(t).
5.4 Równanie Riccatiego
Równaniem różniczkowym Riccatiego nazywamy równanie postaci
x = a(t)x2 + b(t)x + c(t), (5.7)
gdzie a, b, c : I R ciagle, I - przedzial otwarty.
Z poprzednich twierdzeń latwo pokazać, że każdy punkt zbioru I R jest punktem
globalnej jednoznaczności. Gdy a(t) = 0, to równanie (5.7) jest równaniem różniczkowym
liniowym, a gdy c(t) = 0 równaniem Bernoulliego.
Specjalnym równaniem Riccatiego nazywamy szczególny przypadek równanoa (5.7)
a mianowicie
x = c1x2 + c2tn c1, c2 " R.
Nawet dla tego ostatniego równania można podać efektywne metody dla pewnych wartości
wykladnika n. W ogólnym przypadku zachodzi natomiast nastepujace:
22 ROZDZIAL 5. LINIOWE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE
Twierdzenie 13 Niech I = (ą, ) " R. Jeśli  jest calka szczególna równania (5.7)
określona na I, to dla każdego rozwiazania x tego równania określonego w przedziale
" I funkcja określona wzorem:
y(t) := x(t) - (t) (t " ),
jest rozwiazaniem równania Bernoulliego
y = [b(t) + 2a(t)(t)] y + a(t)y2 (5.8)
i na odwrót, dla każdego rozwiazania y równania (5.8) określonego w funkcja x zdefin-
iowana wzorem:
x(t) = (t) + y(t) (t " )
jest rozwiazaniem równania (5.7).
Dowód. Niech  i x beda dwoma rozwiazaniami równania (5.7), czyli
 = a(t)2 + b(t) + c(t),
x = a(t)x2 + b(t)x + c(t).
Wówczas
y = x -  = a(t)x2 + b(t)x + c(t) - a(t)2 + b(t) + c(t) =
= a(t) x2 - 2 + b(t) (x - ) = a(t) (x + ) (x - ) + b(t) (x - ) =
= (a(t) (x + ) + b(t)) (x - ) = (b(t) + a(t)x + a(t)) (x - ) =
= (b(t) + 2a(t) + a(t)x - a(t)) (x - ) =
= (b(t) + 2a(t) + a(t) (x - )) (x - ) = (b(t) + 2a(t)) y + a(t)y2.
Tak wiec
y = (b(t) + 2a(t)) y + a(t)y2.
c.k.d
Przyklad 4 Rozważmy równanie Riccatiego
x - 2tx + x2 = 5 - t2,
którego calka szczególna jest funkcja (t) = t + 2. Przepisujac to równanie w postaci
x = (-1)x2+(2t)x+ 5 - t2 , widzimy, że a(t) = -1, b(t) = 2t, c(t) = 5-t2. Skojarzone
równanie Bernoulliego przybiera wiec postać
y = [2t + 2(-1)(t + 2)] y + (-1)y2 = -4y - y2.
Jego rozwiazaniem ogólnym jest rodzina funkcji y(t) = Ce4t (C " R), tak wiec
rozwiazaniem równania wyjściowego jest rodzina funkcji x(t) = Ce4t + t + 2 (C " R).
5.5 Równanie Lagrange a
Równaniem Lagrange a nazywamy równanie postaci:
x = a (x ) t + f (x ) . (5.9)
Zakladamy, że funkcje a, f " C1(J, R), x " C2(I, J), I, J przedzialy. Jeśli funkcja a jest
funkcja identycznościowa, to równanie Lagrange a jest równaniem Clairauta. Przyjmijmy
zatem dalej, że a(p) = p dla wszystkich p " J. Różniczkujac równanie (5.9) stronami i

5.6. SKALARNE RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE LINIOWE N-TEGO RZEDU 23
podstawiajac za pocchodna x nowa funkcje p = p(t) możemy to równanie przeksztalcić
do postaci:
x = a (x ) x t + a (x ) + f (x ) x
p = a (p) p t + a (p) + f (p) p
dp
p = (a (p)t + f (p)) + a(p),
dt
dp p - a(p)
= .
dt a (p)t + f (p)
Zamieniajac role zmiennych p i t mamy
dt a (p)t + f (p) a (p) f (p)
= = t + ,
dp p - a(p) p - a(p) p - a(p)
czyli równanie różniczkowe niejednorodne
dt a (p) f (p)
+ t = ,
dp a(p) - p p - a(p)
z niewiadoma funkcja t = t(p). Po wyznaczeniu tego rozwiazania wstawiamy je do
wyjściowego równania (5.9), w którym w miejsce pochodnej x wstawiamy parametr p.
Ostatecznie
t = t(p)
(5.10)
x = a (p) t(p) + f (p) .
jest rozwiazaniem równania (5.9) w postaci parametrycznej.
5.6 Skalarne równanie różniczkowe liniowe
n-tego rzedu
Definicja 21 Skalarnym równaniem różniczkowym jednorodnym n-tego rzedu (SR-
RLJ) nazywamy równanie
x(n) + an-1(t)x(n-1) + . . . + a1(t)x + a0(t)x = 0, (5.11)
w którym aj(t) " C(I, R), (j = 0, 1, . . . , n - 1), I - przedzial.
Niech
dn dn-1 d
L(t) := + an-1(t) + . . . + a1(t) + a0(t), t " I,
dtn dtn-1 dt
wówczas równanie (5.11) można zapisać w zwiezlej postaci
L(t)x = 0, t " I. (5.12)
Definicja 22 Wrońskianem funkcji x1, . . . , xn " Cn-1(I, R) nazywamy funkcje
W (x1, . . . , xn) (t) := det x(k-1)(t) (5.13)
j k = 1, . . . , n
j = 1, . . . , n
Twierdzenie 14 a) Jeśli wrońskian W (x1, . . . , xn) (t0) = 0 dla pewnego t0 " I, to

funkcke x1, . . . , xn sa liniowo niezależne.
b) Niech x1, . . . , xn beda rozwiazaniami równania (5.11). Jeśli x1, . . . , xn sa liniowo
niezależne, to ich wrońskian W (x1, . . . , xn) (t)) = 0 dla każdego t " I.

24 ROZDZIAL 5. LINIOWE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE
Dowód Kolejno udowodnimy obie cześci twierdzenia.
ad a) (nie wprost)
Przyjmijmy, że x1, . . . , xn " Cn-1(I, R) sa liniowo zależne. Zatem istnieja takie stale
n
2
C1, . . . , Cn " R, że Cj = 0 oraz

j=1
n
Cjxj(t) = 0 dla t " I. (5.14)
j=1
Różniczkujac te równość sukcesywnie wzgledem zmiennej t dostajemy zwiazek
n
Cjx(k-1) = 0 k = 1, . . . , n, t " I.
j
j=1
Ponieważ W (x1, . . . , xn) (t0) = 0, zatem uklad (5.14) ma tylko rozwiazanie zerowe C1 =

C2 = . . . = Cn = 0 wbrew zalożeniu.
ad b) (nie wprost) Przypuśćmy, że istnieje taki punkt t0 " I : W (x1, . . . , xn) (t0) = 0.
Polóżmy aj := x(k-1) (t0) , j, k " {1, . . . , n} i zdefiniujmy macierz A := aj . Niech
k j k
wektor C = (C1, . . . , Cn)T bedzie niezerowym rozwiazaniem ukladu
AC = 0.
Takie rozwiazanie istnieje, gdyż
det A = det aj = W (x1, . . . , xn) (t0) = 0.
k
Wezmy
n
x = x(t) := Cjxj(t).
j=1
Funkcja ta jest rozwiazaniem równania (5.11) bo jest kombinacja liniowa rozwiazań
xj(j = 1, . . . , n). Zauważmy, że x(t) spelnia warunek poczatkowy Cauchy ego:
n
x(k-1) (t0) = Cjxk-1 (t0) = 0.
j
j=1
Z drugiej strony funkcja stala równa zero też spelnoa powyższy warunek poczatkowy i jest
rozwiazaniem równania (5.11). Wobec jedyności rozwiazania problemu poczatkowego dla
równania (5.11) i wobec liniowej niezależności x1, . . . , xn mamy C1 = C2 = . . . = Cn = 0
co przeczy zalożeniu.
c.k.d
Wniosek 1 Jeżeli x1, . . . , xn sa rozwiazaniami równania (5.11), to
W (x1, . . . , xn) (t) = 0,
"
t"I
lub
W (x1, . . . , xn) (t) = 0.

"
t"I
Definicja 23 Zbiór {x1, . . . , xn} liniowo niezależnych rozwiazań szczególnych równania
(5.11) nazywamy fundamentalnym ukladem rozwiazań (SRRLJ) rzedu n.
Twierdzenie 15 Każde równanie różniczkowe liniowe jednorodne rzedu n-tego (5.11)
ma fundamentalny uklad rozwiazań.
5.7. OBNIŻANIE RZEDU RÓWNANIA LINIOWEGO 25
2
Dowód Niech A = aj " Rn bedzie dowolna macierza nioeosobliwa i niech t0 "
k
I. Wiadomo, że równanie (5.11) ma rozwiazania globalne przy zadanych warunkach
poczatkowych Cauchyego
x(k-1) (t0) = aj , k = 1, . . . , n.
j k
Oznaczmy je symbolami xj, (j = 1, . . . , n). Z konstrukcji tych rozwiazań wynika, że
W (x1, . . . , xn) (t0) = det A = 0

i wobec poprzedniego twierdzenia rozwiazania x1, . . . , xn tworza fundamentalny uklad
rozwiazań.
c.k.d
Twierdzenie 16 Jeżeli rozwiazania x1, . . . , xn tworza fundamentalny uklad rozwiazań
jednorodnego równania różniczkowego liniowego rzedu n (5.11), to rodzina funkcji
n
x = Cjxj,
j=1
gdzie Cj, (j = 1, . . . , n) jest rozwiazaniem ogólnym tego równania.
Dowód Należy pokazać, że dla dowolnego rozwiazania szczególnego x spelniajacego
warunek poczatkowy Cauchy ego
x(k-1) (t0) = x0k (k = 1, . . . , n)
n
istnieja stale Cj (j = 1, . . . , n) takie, że x = Cjxj.
j=1
Rozważmy uklad równań
n
Cjx(k-1) (t0) = x0k (k = 1, . . . , n).
j
j=1
Macierz tego ukladu jest nieosobliwa, bo jej wyznacznik jest równy W (x1, . . . , xn) (t0) =

T
0. Niech rozwiazaniem tego ukladu bedzie wektor C = C1, . . . , Cn . Latwo zauważyć,
że skladowe Cj tego wektora sa poszukiwanymi stalymi.
c.k.d
5.7 Obniżanie rzedu równania liniowego
5.7.1 Wzór Liouville a
Rozważmy teraz jednorodne równanie różniczkowe liniowe (5.11) rzedu drugiego.
Można pokazać nastepujace twierdzenie Liouville a:
Twierdzenie 17 Jeśli x1, x2 stanowia uklad fundamentalny rozwiazań jednorodnego
równania różniczkowego liniowego (5.11) rzedu drugiego, to
W (x1, x2) (t) = C exp - a1 (t) dt .
"
C"R
Jeśli x1 jest znanym rozwiazaniem r wnania (5.11), to drugie rozwiazanie niezależne
można znależć nastepujacym sposobem:
x1 (t) x (t)
= 0, (5.15)

"
x1 (t) x (t)
t"R
26 ROZDZIAL 5. LINIOWE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE
x1x - x1x = C exp - a1 (t) dt ,
x1x - x1x 1
= C exp - a1 (t) dt ,
x2 x2
1 1
d x 1
= C exp - a1 (t) dt ,
dt x1 x2
1
x 1
= C exp - a1 (t) dt dt,
x1 x2
1
1
x (t) = x1 (t) C exp - a1 (t) dt dt + C1 . (5.16)
x2(t)
1
5.7.2 Równania wyższych rzedów
Druga metoda, bardziej uniwersalna metoda, to zastosowanie podstawienia:
x (t) = x1 (t) y (t) . (5.17)
Ma bowiem miejsce nastepujace
Twierdzenie 18 Jeżeli x(t) = 0 jest rozwiazanie jednorodnego liniowego równania

różniczkowego (5.11) rzedu n, to po podstawieniu x(t) = x(t)y(t) otrzymujemy równanie,
którego rzad można obniżyć do rzedu n - 1.
5.8 Niejednorodne równanie różniczkowe liniowe
n-tego rzedu
Definicja 24 Niejednorodnym równaniem różniczkowym liniowym rzedu n nazywamy
równanie postaci
L(t)x = g(t), (5.18)
gdzie g : R " I R jest funkcja ciagla.
Zalóżmy, że znamy uklad fundamentalny {x1, . . . , xn} skojarzonego jednorodnego
równania różniczkowego (5.12). Calke szczególna równania niejednorodnego (5.18) zna-
jdziemy metoda uzmienniania stalych (metoda Lagrange a).
Zakladamy, że poszukiwane rozwiazanie jest postaci
n
x(t) = Cj(t)xj(t).
j=1
Funkcje Cj(t) wyznaczamy rozwiazujac uklad równań różniczkowych
ł ł ł ł ł ł
x1(t) . . . xn(t)
C1(t) 0
ł x 1 . . . x n(t) ł ł ł ł ł
C2(t) 0
ł ł ł ł ł ł
. .
ł ł ł ł ł ł
. .
. .
. .
=
ł ł ł ł ł ł .
. .
. .
ł ł ł ł ł ł
ł łł ł łł ł łł
x(n-2) . . . x(n-2)(t) Cn-1(t) 0
n
1
Cn(t) g(t)
x(n-1) . . . x(n-1)(t)
n
1
Rozwiazujac powyższy uklad dostajemy n równań o zmiennych rozdzielonych
Cj(t) = Fj(t) (j = 1, . . . , n),
gdzie funkcje Fj sa określone wzorami Cramera.
5.9. RÓWNANIE LINIOWE N-TEGO RZEDU O STALYCH WSPÓLCZYNNIKACH27
Twierdzenie 19 (Zasada superpozycji) Jeśli funkcja x1(t) jest rozwiazaniem równania
L(t)x = g1(t), a x2(t) rozwiazaniem L(t)x = g2(t), to x1(t) + x2(t) jest rozwiazaniem
równania L(t)x = g1 + g2(t).
Uzasadnienie tego faktu zostanie przedstawiony przy omawianiu metody uzmiennia-
nia stalych dla ukladu równań różniczkowych liniowych.
5.9 Równanie liniowe n-tego rzedu o stalych wspól-
czynnikach
Rozważamy równanie postaci
x(n) + an-1x(n-1) + . . . + a1x + a0x = 0, (5.19)
w którym aj " R, (j = 0, 1, . . . , n - 1). Niech
dn dn-1 d
L := + an-1 + . . . + a1 + a0,
dtn dtn-1 dt
wówczas równanie (5.19) można zapisać krótko
Lx = 0. (5.20)
Przewidujemy rozwiazanie równania (5.19) w postaci x(t) = et, gdzie  " C.
Po wsrawieniu pochodnych x(j)(t) = jet do (5.19) i wydzieleniu przez et dostajemy:
n + an-1n-1 + . . . + a0 = 0. (5.21)
Wniosek 2 Funkcja x(t) = et jest rozwiazaniem równania różniczkowego (5.19) wt-
edy i tylko wtedy, gdy  jest pierwiastkiem równania (5.21) zwanego równaniem charak-
terystycznym.
Uwaga 2 Funkcja zespolona x(t) jest rozwiazaniem równania różniczkowego (5.19)
wtedy i tylko wtedy, gdy e x(t) oraz m x(t) sa rozwiazaniami tego równania.
Niech 1, . . . , n " C beda wszystkimi pierwiastkami równania charakterystycznego
(5.21), przy czym pierwiastek k-krotny wystepuje w tym ciagu k razy. Funkcje xj(t) =
j
e t maja wrońskian
1 1 . . . 1
1 2 . . . n
1
1 2 n
W (x1, . . . , xn) (t) = e( +...+n)t 2 2 . . . 2 =
. . .
. . .
. . .
n-1 n-1 . . . n-1
1 2 n
n n
1
= e( +...+n)t (j - k) .
k=1 j=k+1
Macierz wyznacznika wystepujacego w ostatnim wzorze nasi nazwe macierzy Vander-
monde a.
Moga zaistnieć cztery przypadki:
1. Wielomian charakterystyczny ma n różnych pierwiastków rzeczywistych tj.:
i " R oraz i = j ! i = j.

" "
i"{1,...,n} i,j"{1,...,n}
28 ROZDZIAL 5. LINIOWE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE
Wtedy W (x1, . . . , xn) (t) = 0, zatem rodzina funkcji

"
t"R
n
j
x(t) = Cje t
j=1
jest calka ogólna równania (5.19).
2. Wielomian charakterystyczny ma n różnych pierwiastków, ale nie wszystkie pier-
wiastki sa rzeczywiste tj.:
i " C oraz i = j ! i = j.

" "
i"{1,...,n} i,j"{1,...,n}
Niech np. m = a + ib bedzie jednym z pierwiastków zespolonych. Ponieważ
wielomian charakterystyczny (5.21) ma wspólczynniki rzeczywiste, zatem również
m = a - ib musi być pierwiastkiem tego wielomianu. Można bez szkody dla
ogólności przyja ć, że jest to kolejny pierwiastek na liście pierwiastków tj. m+1 =
m. Pare liniowo niezależnych rozwiazań zespolonych
m m+1 m
y1(t) = e t, y2(t) = e t = e t
zastepujemy para liniowo niezależnych rozwiazań rzeczywistych
m m
xm(t) = e e t = eat cos(bt), xm+1(t) = m e t = eat sin(bt).
3. Wielomian charakterystyczny (5.21) ma wszystkie pierwiastki rzeczywiste, ale sa
1 n
wśród nich pierwiastki wielokrotne. W tej sytuacji W e t, . . . , e t = 0.
Niech m " R bedzie pierwiastkiem krotności k > 1. Wówczas funkcje
m m m m
t0e t = e t, t1e t, . . . , tk-1e t
sa liniowo niezależne, ponadto każda z nich jest rozwiazaniem (5.19). Jak latwo
bowiem sprawdzić bezpośrednim rachunkiem
d
-  tset = sts-1et,
dt
skad wniosek, że jeśli  jest pierwiastkiem k krotnym i s d" k - 1, to
k
d
-  tset = 0.
dt
5.10 Metoda przewidywań
W przypadku niejednorodnego równania różniczkowego rzedu n o stalych wspólczynnikach
x(n) + an-1x(n-1) + . . . + a1x + a0x = g(t), (5.22)
możliwe jest skonstruowanie calki szczególnej tego równania, jeśli
g(t) = eat (pk(t) cos bt + qm(t) sin bt) ,
gdzie pk i qm sa wielomianami odpowiednio stopnia k i m. Rozwiazanie szczególne
przewidujemy w postaci
x(t) = eattp (rl(t) cos bt + sl(t) sin bt) ,
gdzie:
5.11. UKLAD SKALARNYCH RÓWNAC RÓŻNICZKOWYCH LINIOWYCH RZEDU PIERWSZEGO29
" p jest krotnościa pierwiastka a + ib wielomianu charakterystycznego równania jed-
norodnego skojarzonego z (5.22); gdy a + ib nie jest pierwiastkiem, to p = 0,
" l = max{k, l},
" rl, sl wielomiany stopnia l.
Wspólczynniki wielomianów rl, sl dobieramy metoda wspólczynników nieoznaczonych.
5.11 Uklad skalarnych równań różniczkowych liniowych
rzedu pierwszego
Rozważamy uklad równań różniczkowych rzedu pierwszego postaci
n
x j(t) = ak(t)xk(t) + gj(t) (j = 1, . . . , n), (5.23)
j
k=1
czyli
x (t) = A(t)x(t) + g(t), (5.24)
gdzie
ł ł ł ł ł ł
x1(t) a1(t) . . . an(t) g1(t)
1 1
ł ł ł ł ł ł
. . . .
. . . .
x(t) = , A(t) = , g(t) = .
ł łł ł łł ł łł
. . . .
xn(t) a1 (t) . . . an(t) gn(t)
n n
Przyjmujemy zalożenia regularnościowe takie jak w teorii dotyczacej zagadnień liniowych.
W tym przypadku oznacza to, że
I t gj(t), I t ak(t) " C (I, R)
"
j
j,k"{1,...,n}
I t xj(t) " C1 (I, R) ,
"
j"{1,...,n}
gdzie I " R jest przedzialem.
Niech M " Rnn. Definiujemy
M0 := I
M1 := M
Mj := M Mj-1
oraz
"
Mk
eM := .
k!
k=0
2
Szereg ten jest zbieżny w Rn dla każdej macierzy M. Wynika to stad, że wobec osza-
cowania
Mk = M Mk-1 d" M Mk-1 d" M k
mamy nierówność
"
Mk " k
M
d" .
k! k!
k=0 k=0
" M k "
Mk
Szereg jest zbieżny, a zatem szereg jest zbieżny, gdzyż w przestrzeni-
k=0 k! k=0 k!
ach Banacha zachodzi twierdzenie, że szereg który jest zbieżny wzgledem normy (czyli
jezt zbieżny bezwzglednie) jest zbieżny.
30 ROZDZIAL 5. LINIOWE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE
Twierdzenie 20 Jeśli macierze M, N " Rnn sa przemienne, to znaczy gdy MN =
NM, to eM+N = eM eN .
-1
Wniosek 3 Dla dowolnej macierzy M " Rnn: eM = e-M .
Dowód. Macierze M i -M sa przemienne, a zatem eM e-M = eM-M = e0 = I.
-1
Mnożac ten zwiazek lewostronnie przez eM dostajemy teze.
c.k.d.
Niech A(t) = ak(t) . Wprowadzamy oznaczenie
j
j,k=1,...,n
A(t) dt := ak(t) dt .
j
j,k=1,...,n
Twierdzenie 21 Jeśli macierze A(t) i A(t) dt sa przemienne, to funkcja
A(t) dt
x(t) := e C, (5.25)
gdzie C = (C1, . . . , Cn)T " Rn jest rozwiazaniem jednorodnego ukladu równań różniczkowych
liniowych rzedu pierwszego
x (t) = A(t)x(t). (5.26)
Dowód. Policzmy:
k
"
A(t) dt
A(t) dt A(t) dt
x (t) = e C = e C = C =
k!
k=0
k-1 k-1
" "
k A(t) dt A(t)dt A(t) dt A(t)
= C = C =
k! (k - 1)!
k=1 k=1
k
"
A(t) dt
= A(t) C = A(t)eA(t)C = A(t)x(t).
k!
k=0
c.k.d.
Wzór (5.25) ma niewielkie znaczenie praktyczne, gdy macierz ukladu A(t) zależy
istotnie od zmiennej t.
Uwaga 3 Jeśli macierz ukladu (5.26) jest stala tj. A(t) = A, to A(t) dt = A dt =
tA, a zatem macierze A i A dt = tA sa przemienne. W konsekwencji rozwiazaniem
ukladu
x = Ax
jest funkcja
x(t) = etAC
Jak sie dalej okaże efektywne obliczenie macierzy etA bedzie możliwe.
W podobny sposób jak przedstawiony powyżej, można pokazać, że funkcja
A(t) dt A(t) dt A(t) dt
x(t) = e e- g(t) dt + e C (C " Rn),
jest rozwiazaniem ogólnym niejednorodnego ukladu (5.24). Wektor C dla rozwiazania
0
x
spelniajacego warunek poczatkowy Cauchy ego x (t0) = ma postać:
0
x
C = e- A(t) dt - e- A(t) dtg(t) dt.
5.11. UKLAD SKALARNYCH RÓWNAC RÓŻNICZKOWYCH LINIOWYCH RZEDU PIERWSZEGO31
Twierdzenie 22 Niech funkcje xk " C1(I, R) (j, k = 1, . . . , n), niech xk oznacza
j
T
wektor xk := xk, . . . , xk i niech
1 n
D x1, . . . , xn (t) := det xk(t) .
j
j,k=1,...,n
a) Jeśli D x1, . . . , xn (t) = 0 dla pewnego t0 " I, to x1, . . . , xn sa liniowo niezależne.

b) Jeśli x1, . . . , xn sa liniowo niezależnymi rozwiazaniami jednorodnego ukladu (5.26),
to D x1, . . . , xn (t) = 0.

"
t"I
Dowód. Ad a). (Nie wprost) Przyjmijmy, że x1, . . . , xn liniowo zależne tzn. istnieja
n n
2
takie stale C1, . . . , Cn, że Ck = 0 oraz Ckxk(t) = 0. To jednak oznacza,

"
k=1 k=1
t"I
że det xk(t) = D x1, . . . , xn (t0) = 0, wbrew zalożeniu.
j
j,k=1,...,n
Ad b). (Nie wprost) Dla dowodu nie wprost przyjmijemy, że D x1, . . . , xn (t0) = 0
dla pewnego t0 " I. Niech wektor (C1, . . . , Cn)T bedzie niezerowym rozwiazaniem ukladu
ł ł ł ł ł ł
x1 (t0) , . . . xn (t0) C1 0
1 1
ł ł ł ł ł ł
. . . .
. . . .
= .
ł łł ł łł ł łł
. . . .
x1 (t0) , . . . xn (t0) Cn 0
n n
Zdefiniujmy funkcje x(t) jako
n
x(t) := Ckxk(t), t " I.
k=1
Jako kombinacja liniowa rozwiazań xk funkcja x jest rozwiazaniem ukladu (5.24). Pon-
adto spelnia ona warunek poczatkowy Cauchy ego
x (t0) = 0.
Funkcja y(t) a" 0 jest również rozwiazaniem ukladu (5.24) spelniajacym ten sam warunek
poczatkowy. Wobec jednoznaczności rozwiazania funkcje te musza być równe, czyli x = 0.
Oznacza to jednak wbrew zalożeniu, że funkcje x1, . . . , xn sa liniowo zależne.
c.k.d.
Uwaga 4 Jeżeli x1, . . . , xn sa rozwiazaniami ukladu (5.26), to
D x1, . . . , xn (t) = 0,
"
t"I
lub
D x1, . . . , xn (t) = 0.

"
t"I
Definicja 25 Zbiór x1, . . . , xn liniowo niezależnych rozwiazań ukladu (5.26) nazy-
wamy fundamentalnym ukladem rozwiazań.
Twierdzenie 23 Każdy jednorodny uklad równań różniczkowych liniowych ma fun-
damentalny uklad rozwiazań i jeśli funkcje x1, . . . , xn tworza fundamentalny uklad rozwiazań,
n
to rodzina odwzorowań x(t) = Ckxk(t), gdzie Ck " R jest rozwiazaniem ogólnym
k=1
tego ukladu.
32 ROZDZIAL 5. LINIOWE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE
Jeśli x1, . . . , xn tworza fundamentalny uklad rozwiazań (5.26), to calke szczególna
niejednorodnego ukladu (5.24) znajdujemy metoda uzmienniania stalych. Przewidujemy
ja w postaci
n
x(t) := Ck(t)xk(t).
k=1
n n
Dalej mamy x (t) := Ck(t)xk(t)+ Ck(t) xk (t) i po wstawieniu do równania
k=1 k=1
otrzymujemy:
n n n
Ck(t)xk(t) + Ck(t) xk (t) = A(t) Ck(t)xk(t) + g(t),
k=1 k=1 k=1
czyli
n
Ck(t)xk(t) = g(t),
k=1
to jest
ł ł ł ł ł ł
x1(t) x2(t) xn(t) C1(t) g1(t)
1 1 1
ł ł ł ł ł ł
x1(t) x2(t) xn(t) C2(t) g2(t)
2 2 2
ł ł ł ł ł ł
=
ł ł ł ł ł ł .
. . . . .
. . . . .
ł łł ł łł ł łł
. . . . .
x1 (t) x2 (t) xn(t) Cn(t) gn(t)
n n n
Ponieważ dla wszystkich t " I : D x1, . . . , xn (t) = 0, stad powyższy uklad ma

dokladnie jedno rozwiazanie określone wzorami Cramera
Ck(t) = pk(t) (k = 1, . . . , n).
Każde z tych równań jest równaniem o zmiennych rozdzielonych zatem
Ck(t) = pk(t) dt + Mk, gdzie Mk " R, (k = 1, . . . , n).
Ostatecznie
n n
x(t) = Mkxk(t) + pk(t) dt xk(t).
k=1 k=1
5.12 Uklady równań liniowych o stalych
wspólczynnikach
Zakladamy teraz, że macierz ukladu (5.26) jest macierza stala tj. ak(t) a" ak " R.
j j
Jak wiadomo z wcześniejszych rozważań, rozwiazanie tego ukladu jest postaci
x(t) = etAC,
gdzie C " Rn.
5.12.1 Metoda wartości i wektorów wlasnych
Jeśli w = 0 jest wektorem wlasnym macierzy A tj. istnieje  " C : Aw = w

i wezmiemy x(t) = y(t) w, gdzie y(t) " C1(R, R), to po podstawieniu x do równania
(5.26) dostajemy y (t)w = y(t)w co daje (y (t) - y(t)) w = 0. Wobec w = 0 mamy

y (t) = y(t) równanie o zmiennych rozdzielonych z rozwiazaniem y(t) = Cet, t " R.
Jak wiadomo zbiór rozwiazań ukladu (5.26) jest przestrzenia wektorowa n-wymiarowa.
Poszukujemy zatem fundamentalnego ukladu rozwiazań. Możemy rozważyć przypadki:
5.12. UKLADY RÓWNAC LINIOWYCH O STALYCH WSPÓLCZYNNIKACH 33
1. Każdej wartości wlasnej j o krotności kj odpowiada kj liniowo niezależnych wek-
j
torów wlasnych wj,1, . . . , wj,k macierzy A (j = 1, . . . , p, k1 +k2 +. . .+kp = n).
Ponieważ wektory wlasne odpowiadajace różnym wartościom wlasnym sa liniowo
niezależne, wiec dla
j
xj,s(t) := e twj,s (s = 1, . . . , kj, j = 1, . . . , p)
wyznacznik
j,s
p 1
D x1,1, . . . , xp,k (t) = e(k 1+...+kpp)t det wi = 0,

gdzie i = 1, . . . , n, s = 1, . . . , kj, j = 1, . . . , p. W konsekwencji funkcje xj,s tworza
fundamentalny uklad rozwiazań.
Jeśli wartość wlasna i wektor wlasny sa zespolone tj. np. 1 = 2 =  i w =
u + iv = (u1 + iv1, . . . , un + ivn)T jest wektorem wlasnym odpowiadajacym 1 i
w = u - iv = (u1 - iv1, . . . , un - ivn)T wektorem wlasnym odpowiadajacym 2, to
ponieważ równość Aw = w pociaga równość Aw = Aw = Aw = w = w, zatem
zamiast zespolonych rozwiazań
1 2
y1 = e tw, y1 = e tw
bierzemy
x1 = e y1 = et e  (u cos (t m ) - v sin (t m )) ,
x2 = m y1 = et e  (u sin (t m ) + v cos (t m )) .
2. Niech wartości wlasnej np. 1 =  o krotności k odpowiada tylko r liniowo
niezależnych wektorów wlasnych, gdzie r < k. Tak jest wtedy, gdy
rzad (A - I) = n - r > n - k.
Poszukujemy rozwiazania ogólnego odpowiadajacego wartości wlasnej  postaci
x(t) = etP (t),
gdzie P (t) = (P1(t), . . . , Pn(t))T i Pj jest wielomianem stopnia k - 1, j = 1, . . . , n
przy czym w rozwiazaniu ogólnym powinno wystapić k stalych dowolnych.
3. Rozwiazanie ogólne ukladu (5.26) jest suma rozwiazań szczególnych odpowiadajacych
poszczególnym wartościom wlasnym.
5.12.2 Sprowadzanie macierzy ukladu do postaci Jordana
Przypadek szczególny Jeśli A jest diagonalizowalna rzeczywista macierza wymi-
-1
aru n, tj. istnieje macierz podobieństwa P taka, że P AP = D, gdzie D jest macierza
diagonalna, to podstawiajac x = P y sprowadzamy uklad x (t) = Ax(t), t " I (" topR)
do postaci y (t) = Dy(t), którego rozwiazaniem jest
ł ł
11
C1ed t
ł ł
.
ii
.
y(t) = eDtC = ed t C = ,
ł łł
.
nn
Cned t
a zatem
ł ł
11
C1ed t
ł ł
.
.
x (t) = P .
ł łł
.
nn
Cned t
34 ROZDZIAL 5. LINIOWE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE
Przypadek ogólny Niech A bedzie dana rzeczywista macierza kwadratowa wymi-
aru n. Niech r (r = 1, . . . , q) beda wartościami wlasnymi tej macierzy, przy czym
q
przyjmujemy, że wartość wlasna r ma krotność kr. Oczywiście kr = n. Niech
r=1
-1
P bedzie taka macierza nieosobliwa, że macierz J = P AP jest macierza Jordana,
tzn.
ł ł
J11 0 0 0 0
ł ł
0 J12 0 0 0
ł ł
ł . . . ł
..
. . .
ł ł
.
. . .
ł ł
ł ł
0 0 J1i(1) 0 0
ł ł
J = ł ł ,
. . .
..
. . .
ł ł
.
. . .
ł ł
ł ł
0 0 0 Jq1 0
ł ł
ł
. . .
.. . ł
. .
ł łł
.
. . .
0 0 0 0 Jq,i(q)
gdzie
ł ł
r 0 0 0 0
ł ł
1 r 0 0 0
ł ł
ł ł
0 1 sr 0 0
ł ł
Jrj = ł
. . .
.. . . ł lub Jrj = (r)
.
ł ł
.
. . .
ł ł
ł łł
0 0 0 r 0
0 0 0 1 r
(macierze Jrj nazywamy klatkami Jordana). Oznaczmy przez krj liczbe wierszy i kolumn
macierzy Jrj. Obliczajac wielomian charaktrystyczny macierzy J, równy wielomianowi
charakterystycznemu macierzy A latwo można sie przekonać, że maja miejsce nastepujace
równości:
i(r)
kr = krj (r = 1, . . . , q) .
j=1
Liczby krj można wyznaczyć np. metoda przedstawiona w [5].
Niech Dm () oznacza najwiekszy wspólny dzielnik wszystkich minorów stopnia m
macierzy A - I. Można pokazać, że Dm () dzieli sie przez Dm-1 (). Zatem z
dokladnościa do czynnika a, takiego że |a| = 1:
11 21 q1
Dn () = ( - 1)u ( - 2)u . . . ( - q)u ,
12 22 q2
Dn-1 () = ( - 1)u ( - 2)u . . . ( - q)u ,
. . . ........................................................
1n 2n qn
D1 () = ( - 1)u ( - 2)u . . . ( - q)u ,
przy czym ui1 e" ui2 e" ui3 e" . . . e" uin co można zapisać krótko uik e" uij dla k d" j .
Nie wykluczamy przypadku, gdy pewne uik = 0. W tym przypadku jednak uij = 0 dla
wszystkich j e" k. Przy tych oznaczeniach:
k11 = u11 - u12, k12 = u12 - u13, . . . , kij = uij - ui,j+1, . . .
Mamy wówczas i (r) = max {j : krj = 0}.

Jeżeli km = 1 dla pewnego m, to i (m) = 1 oraz Jm1 = (sm) jest macierza wymiaru
1 1. Bez straty ogólności możemy przyja ć, że jeśli istniej a pierwiastki jednokrotne, to
5.12. UKLADY RÓWNAC LINIOWYCH O STALYCH WSPÓLCZYNNIKACH 35
maja one kolejne numery rozpoczynajace sie od 1. Macierz Jordana J jest wiec postaci
ł ł
1 0 0 0 0
ł ł
0 2 0 0 0
ł ł
ł . . . ł
..
. . .
ł ł
.
. . .
ł ł
ł ł
0 0 p 0 0 .
ł ł
ł ł
0 0 0 Jp+1,1 0
ł ł
ł
. . .
.. . ł
. .
ł łł
.
. . .
0 0 0 0 Jq,i(q)
Dowodzi sie, że jeśli
-1
A = P JP ,
to
-1
eAt = P eJtP .
Z kolei
ł ł
1
e t 0 0 0
ł . . ł
..
. .
ł ł
.
. .
ł ł
ł p ł
0 e t 0 0
ł ł
eJt = ,
ł p+1,1 ł
0 0 eJ t 0
ł ł
ł
. .
.. . ł
.
ł łł
.
. .
q,i(q)
0 0 0 eJ t
gdzie s1, . . . , sp sa jednokrotnymi pierwiastkami wielomianu charakterystycznego.
Niech Jrj wymiaru krj bedzie jedna z klatek Jordana odpowiadajacych wartości
wlasnej sr o krotności kr. Wprost z definicji można pokazać, że
ł ł
1 0 0
t
ł ł
1 0
ł 1! ł
ł t2 t ł
0
rj r
ł
1!
eJ t = e t ł 2! .
ł
. .
.. . ł
ł . ł
.
. .
ł łł
tkrj -1 tkrj -2
1
(krj-1)! (krj-2)!
Niech P bedzie macierza sprowadzajaca macierz A do postaci Jordana tj. J =
-1
P AP . Ostatni zwiazek jest równoważny równości P J = AP . Wprowadzajac nowa
funkcje niewiadoma y (t) określona równościa
x(t) = P y(t),
sprowadzamy ostatni URRLJ do równoważnego ukladu
y (t) = Jy(t),
którego rozwiazaniem ogólnym jest funkcja
y(t) = eJtC, C " Rn.
Tak wiec rozwiazaniem ogólnym wyjściowego URRLJ jest funkcja
x(t) = P eJtC, C " Rn.
Przyklad 5 Rozważmy uklad równań:
ł ł
1 1 2
ł łł
x (t) = 0 1 1 x (t)
0 0 2
36 ROZDZIAL 5. LINIOWE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE
Jak latwo
łsprawdzić 1 = 1, k1 = 2ł 2 = 2, k2 = 1
ł ł
1 1 3 1 0 0
ł łł ł łł
P = 1 0 1 J = 1 1 0
0 0 1 0 0 2
Stosujac standardowe podstawienie x (t) = P y (t) rozwiazujemy uklad równań y (t) =
Jy(t). Jego rozwiazaniem jest
ł ł ł ł ł ł ł ł
1 0 C1 et 0 0 C1
et 0
ł łł ł łł ł łł ł
y(t) = eJtC = t 1 C2 = tet et 0 C2 łł ,
0 e2t C3 0 0 e2t C3
zatem
ł ł ł ł ł ł
1 1 3 et 0 0 C1
ł łł ł łł ł
x(t) = 1 0 1 tet et 0 C2 łł =
0 0 1 0 0 e2t C3
ł ł ł ł
(1 + t) et et 3e2t C1
ł
= et 0 e2t łł ł C2 łł .
0 0 e2t C3
5.13 Równanie ruchu harmonicznego
Równanie ruchu pod dzialaniem sily elastycznej, tj. równanie ruchu harmonicznego
jest opisane równaniem różniczkowym wektorowym:
..
m r= -k2r,
k
"
gdzie r = r (t) = (x (t) , y (t) , z (t)). Podstawiajac  = dostajemy uklad sepa-
m
rowanych równań skalarnych:
ńł
..
x +2x = 0
ł
..
y
+2y = 0 .
..
ół
z +2z = 0
Calka ogólna pierwszego z nich ma postać:
x (t) = C1 sin t + C2 cos t = A sin (t + ł) ,
2 2
gdzie A = C1 + C2 , ł = arctan (C1/C2). Latwo zauważyć, że rozwiazanie x (t) jest
2Ą 1
okresowe o okresie T = . Stala  nazywamy czestościa kolowa lub pulsacja,  =
 T
czestościa, t + ł faza, zaś ł stala fazowa.
.
Jeżeli na punkt materialny oprócz sily elastycznej -k2x dziala dodatkowa sila - x
( > 0), to otrzymujemy drgania tlumione.
Rozdzial 6
Rozwiazania w postaci
szeregów funkcyjnych
Jak wiadomo nie zawsze można efektywnie rozwiazać równanie różniczkowe, nie za-
wsze można otrzymać rozwiazanie przez skończona liczbe kwadratur. Czasami trzeba
siegna ć do sposobów bardziej wyrafinowanych - jednym z nich jest wyrażenie rozwiazania
w postaci szeregu funkcyjnego. Poniżej omówione sa dwa przypadki takiego postepowania.
6.1 Rozwiazania w postaci szeregów potegowych
Niech bedzie dane zagadnienie poczatkowe Cauchy ego
x = f(t, x) (t " I) ,
x (t0) = x0,
ć%
gdzie I " R przedzial, taki że t0 " , x : I t x(t) " U " R, U zbiór otwarty
I
w R, x0 " U. Twierdzenie Cauchy-Kowalewskiej orzeka, że jeśli funkcja f : I U
R jest analityczna w otoczeniu punktu (t0, x0), to istnieje dokladnie jedno analityczne
rozwiazanie tego równania w pewnym otoczeniu punktu t0.
Rozważmy przypadek szczególny, równanie skalarne postaci:
x = w(g(t), x, x ) t " (t0, T )
x (t0) = x0, x (t0) = x1,
gdzie w(p1, p2, p3) jest wielomianem stopnia co najwyżej drugiego
3 3
w(p1, p2, p3) = a0 + aipi + aijpipj,
i=1
i,j=1
i<=j
o wspólczynnikach rzeczywistych, a g jest funkcja analityczna w otoczeniu punktu t0.
Przyjmijmy, że funkcja g ma rozwiniecie w szereg potegowy
"
g(t) = gk (t - t0)k ,
k=0
a szukana funkcja x(t) rozwiniecie
"
x(t) = ck (t - t0)k .
k=0
37
38 ROZDZIAL 6. ROZWIAZANIA W POSTACI SZEREGÓW FUNKCYJNYCH
Pierwsza i druga pochodna funkcji szukanej maja zatem rozwiniecia
"
x (t) = (k + 1)ck+1 (t - t0)k ,
k=0
"
x (t) = (k + 2)(k + 1)ck+2 (t - t0)k .
k=0
Iloczyny g(t)g(t), g(t)x(t), g(t)x (t), x(t)x(t), x(t)x (t), x (t)x (t) po
prawej stronie równania różniczkowego sa iloczynami Cauchy ego:
ł ł
" " " k
ł
uk (t - t0)k vk (t - t0)k = ujvk-jłł (t - t0)k .
k=0 k=0 k=0 j=0
Ostatecznie dostajemy równość dwóch szeregów potegowych:
"
(k + 2)(k + 1)ck+2 (t - t0)k =
k=0
"
((0ka0 + a1gk + a2ck + a3(k + 1)ck+1) +
k=0
k
+ (a11gjgk-j + a12gjck-j + a13(k + 1 - j)gjck+1-j + a22cjck-j +
j=0
+ a23(k + 1 - j)cjck+1-j + a33(j + 1)(k + 1 - j)cj+1ck+1-j)) (t - t0)k ,
która przez porównanie wspólczynników przy tych samych potegach (t - t0) prowadzi do
nieskończonego ukladu równań algebraicznych o niewiadomych ck (k " N).
Uwzgledniajac warunki poczatkowe mamy
c0 = x0, c1 = x1.
Kolejne wspólczynniki ck można wyznaczyć rekurencyjnie:
ł ł
k
1
ł0ka0 + a1gk + a2ck + (k + 1)a3ck+1 + Skjłł (k " N),
ck+2 =
(k + 1)(k + 2)
j=0
gdzie
Skj := a11gjgk-j + ck-j (a12gj + a22cj) +
+(k + 1 - j)ck+1-j (a13gj + a23cj + (j + 1)a33cj+1) ,
a ij jest delta Kroneckera.
Wyznaczenie rozwiazania równania liniowego jednorodnego rzedu drugiego
x + p(t)x + q(t)x = 0 t " (t0, T )
x (t0) = x0, x (t0) = x1,
ze wspólczynnikami p(t), q(t) analitycznymi w otoczeniu punktu t0 wyglada podobnie
do przedstawionego powyżej. Jeśli
" "
p(t) = ak (t - t0)k , q(t) = bk (t - t0)k ,
k=0 k=0
to równanie rekurencyjne na wspólczynniki ck ma postać:
k
1
ck+2 = - ((j + 1)ak-jcj+1 + bk-jcj) (k " N),
(k + 1)(k + 2)
j=0
(Punkt t0, w otoczeniu którego wspólczynniki równania liniowego jednorodnego sa funkc-
jami analitycznymi, nazywamy punktem nieosobliwym tego równania.)
Biorac kolejno dwa warunki pocz atkowe Cauchy ego x (t0) = x0, x (t0) = x1 oraz
x0 x1
x (t0) = x0, x (t0) = x1 takie, że det = 0, można wygenerować dwa liniowo

x0 x1
niezależne rozwiazania tego równania i jego rozwiazanie ogólne.
6.2. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE RZEDU DRUGIEGO 39
6.2 Równania różniczkowe liniowe rzedu drugiego
Niech bedzie dane liniowe równanie różniczkowe rzedu drugiego
x + p(t)x + q(t)x = 0 (t " I) ,
ć%
gdzie I " R przedzial, taki że t0 " , x : I t x(t) " U " R, U " topR.
I
Wiadomo, że zbiór rozwiazań równania jednorodnego jest przestrzenia wektorowa
dwuwymiarowa. W przypadku, gdy p(t) = const, q(t) = const, w prosty i znany sposób
można wypisać wzory dwóch liniowo niezależnych rozwiazań tego równania i w konsek-
wencji dla zadanego warunku poczatkowego Cauchy ego wyznaczyć rozwiazanie problemu
poczatkowego. Gdy t0 jest punktem nieosobliwym równania tj. p(t), q(t) sa funkcjami
analitycznymi w otoczeniu punktu t0, to można wyznaczyć rozwiazanie tego problemu
w postaci szeregu potegowego o środku w punkcie t0, jak to zostalo pokrótce opisane
powyżej, a także wyznaczyć dwa szeregi potegowe, których sumy sa dwoma liniowo
niezależnymi rozwiazaniami równania jednorodnego. Gdy funkcje p(t), q(t) nie sa anal-
ityczne w otoczeniu punktu t0, to punkt ten nazywamy punktem osobliwym równania,
a nazywamy go punktem osobliwym regularnym, jeśli funkcje (t - t0) p(t), (t - t0)2 q(t)
sa analityczne w otoczeniu t0.
Niech t0 bedzie regularnym punktem osobliwym rozważanego równania i niech funkcje
(t - t0) p(t), (t - t0)2 q(t) analityczne w otoczeniu |t - t0| < R maja rozwiniecia w szeregi
potegowe:
"
(t - t0) p(t) = pk (t - t0)k ,
k=0
"
(t - t0)2 q(t) = qk (t - t0)k .
k=0
Niech 1, 2 beda pierwiastkami równania
( - 1) + p0 + q0 = 0,
zwanego równaniem indeksowym (wyznaczajacym), gdzie p0 = limtt (t - t0) p(t),
0
q0 = limtt (t - t0)2 q(t). W jednym z możliwych przypadków, w sytuacji gdy 1, 2 "
0
R, 1 > 2, 1 - 2 " N rozważane równanie ma dwa liniowo niezależne rozwiazania w
przedziale (t0, t0 + R) postaci:
" "
1 2
x1(t) = (t - t0) ak (t - t0)k , x2(t) = (t - t0) bk (t - t0)k .
k=0 k=0
Biorac dowolne a0 = 0, kolejne wspólczynniki ak (k = 1, 2, . . .) wyznaczamy z zależności:

k
(pj (k - j + 1) + qj) ak-j
j=1
ak = - .
(k + 1) (k + 1 - 1) + p0 (k + 1) + q0
Podobnie, biorac dowolne b0 = 0, kolejne wspólczynniki bk (k = 1, 2, . . .) wyznaczamy z

zależności:
k
(pj (k - j + 2) + qj) bk-j
j=1
bk = - .
(k + 2) (k + 2 - 1) + p0 (k + 2) + q0
Gdy 1, 2 " R, 1 = 2, rozwiazanie szczególne x2(t) ma postać:
"
1
x2(t) = x1(t) ln (t - t0) + (t - t0) bk (t - t0)k ,
k=0
40 ROZDZIAL 6. ROZWIAZANIA W POSTACI SZEREGÓW FUNKCYJNYCH
natomiast, gdy 1, 2 " R, 1 e" 2, 1 - 2 " N jest postaci:
"
1
x2(t) = Cx1(t) ln (t - t0) + (t - t0) bk (t - t0)k ,
k=0
gdzie stala C może być równa zeru.
Podobne wzory można wyprowadzić dla zespolonych pierwiastlów równania indek-
sowego.
Rozdzial 7
Stabilność rozwiazań równań
różniczkowych
7.1 Podstawowe definicje
Definicja 26 Niech X bedzie przestrzenia Banacha. Niech dane bedzie (RR): x =
f (t, x) z (WPC): x (t0) = x0, gdzie t " I, I przedzial , x0 " U " top X Zalóżmy, że
(RR) z (W P C) : x (t0) = y0
"
y0"U
ma rozwiazanie x (t, y0) określone na maksymalnym przedziale istnienia J (y0) = [t0, R (t0, y0)).
1. Rozwiazanie x (, x0) nazywamy stabilnym, lub stabilnym w sensie Lapunowa, jeżeli
: y0
" " - x0 <  ! x (t, y0) - x (t, x0) < 
>0 >0
dla t " J (x0) )" J (y0).
2. Mówimy, że rozwiazanie x (t, x0) jest lokalnie asymptotycznie stabilne, jeżeli I =
[0, +"), rozwiazanie jest stabilne i ponadto ma wlasność lokalnego przyciagania,
tzn.
: y0
" - x0 <  !
>0
! J (y0) = [t0, +") , lim x (t, y0) - x (t, x0) = 0 .
t"
W skrócie piszemy: x (t, x0) jest LAS.
3. Mówimy, że rozwiazanie x (t, x0) jest globalnie asymptotycznie stabilne, jeżeli jest
stabilne i ponadto ma wlasność globalnego przyciagania, tzn.
: J (y0) = [t0, +") , lim x (t, y0) - x (t, x0) = 0.
"
t"
y0"U
W skrócie piszemy: x (t, x0) jest GAS.
Przyklad 6 Równianie x - x = 0 z warunkiem poczatkowym Cauchy ego x(0) = x0
ma rozwiazanie postaci x(t, x0) = x0et. Rozwiazanie x(t, 0) = 0 nie jest stabilne, bo dla
r > 0 mamy sup {|x(t, x0) - 0| : t e" 0, |x0 - 0| < r} = +".
41
42 ROZDZIAL 7. STABILNOŚĆ ROZWIAZAC RÓWNAC RÓŻNICZKOWYCH
Przyklad 7 Równanie mx + 2px + kx = 0 z warunkiem poczatkowym Cauchy ego
x(0) = A, x (0) =  gdy p2 < km, p > 0, m > 0 ma rozwiazanie postaci x(t, A, ) =
2
p k qA+ A
Ce-qt sin(t + ), gdzie q = ,  = - q2, C = A2 + ,  = arccos .
m m  C
Rozwiazanie zerowe jest, co oczywiste, lokalnie asymptotycznie stabilne.
Twierdzenie 24 Rozwiazanie x (t, x0) = p (t) równania x = f (t, x) jest stabilne
(asymptotycznie stabilne) wtedy i tylko wtedy, gdy rozwiazanie y (t) = 0 równania y =
g (t, y) := f (t, y + p (t)) - f (t, p (t)) jest stabilne (asymptotycznie stabilne).
Dowód. Niech p (t) := x (t, x0) stabilne rozwiazanie równania x = f (t, x). Funkcja
y (t) := x (t) - p (t) spelnia równanie y (t) = f (t, x (t)) - f (t, p (t)) = f (t, y (t) + p (t)) -
f (t, p (t)) =: g (t, y (t)). Funkcje f i g sa tej samej klasy regularności.
Inaczej. Niech p (t) = x (t, x0), x (t) = x (t, y0), p = f(t, p), x = f(t, x). Tak wiec
x -p = f(t, x)-f(t, p). Zdefiniujmy z := x-p. Mamy z = f(t, z +p)-f(t, p) =: g(t, z)
czyli z = g(t, z). Skoro
y0 - x0 <  =! x (t, y0) - x (t, x0) < 
zatem
z0 <  =! x (t) - p (t) = z(t) < 
co jest równoważne
z0 - 0 <  =! z(t) - 0 < 
Przyklad 8 Rozważmy uklad równań różniczkowych
x 1 = (x1 - 1) (x2 - 1)
x 2 = x1x2 - 2
które można zapisać jako jedno równanie w postaci wektorowej
(x1 - 1) (x2 - 1)
x = f(x) :=
x1x2 - 2
x1(t) 1 2
gdzie x(t) = . Latwo zauważyć, że funkcje x(t) = , x(t) = sa
x2(t) 2 1
rozwiazaniami przykladowego równania (jego polożeniami równowagi). Stabilność pier-
wszego z tych rozwiazań jest równoważna stabilności rozwiazania zerowego równania
1 1 y1 (y2 + 1)
y = f y + - f =
2 2 y1y2 + 2y1 + y2
a stabilność drugiego z nich stabilności rozwiazania zerowego równania
2 2 (y1 + 1) y2
y = f y + - f =
1 1 y1y2 + y1 + 2y2
Uwaga 5 Stabilność nie implikuje przyciagania i odwrotnie.
Przyklad 9 Rozważmy równanie x + x = 0 z warunkiem poczatkowym Cauchy ego
x (0) = x0, x (0) = 0. Jego rozwiazaniem jest funkcja x (t) = x0 cos t. Rozwiazanie
zerowe jest wiec stabilne, ale nie ma wlasności przyciagania.
x1 x2
Przyklad 10 Rozwiazaniem ukladu = z warunkiem poczatkowym
x2 -x1
x1 x0 x1 x0 cos t
(0) = jest funkcja (t) = . Tak wiec zerowe
x2 0 x2 -x0 sin t
rozwiazanie jest stabilne, ale nie ma wlasności przyciagania.
7.2. TWIERDZENIE LAPUNOWA 43
7.2 Twierdzenie Lapunowa
Twierdzenie 25 (Lapunowa) Niech dany bedzie skalarny uklad równań różniczkowych
xj = fj (t, x) (j = 1, . . . , n)
gdzie t " [t0, +"), x = x (t) = (x1 (t) , . . . , xn (t)) " U " topRn, f = (f1, . . . , fn) "
C1 ([t0, +") U, Rn). Zalóżmy,że
" f (t, 0, . . . , 0) = 0
"fj
" ajk := (t, 0, . . . , 0) " R j, k = 1, . . . , n
"xk
" det (ajk - jk)j,k=1,...,n = 0 =! Re  < 0
n
" " M : U - R, że lim M (x) = 0 oraz fj (t, x) - ajkxk d" M (x) x dla
x-0
k=1
t e" t0, x " U, j = 1, . . . , n.
Wtedy rozwiazanie zerowe x (, 0) = 0 powyższego ukladu jest lokalnie asymptotycznie
stabilne tzn. y0 < r =! { maksymalny przedzial J (y0) istnienia rozwiazania
"
r>0
x (, y0) jest równy [t0, +") } oraz : y0 <  =! lim x (t, y0) = 0 i
" "
t-+"
>0 >0
x (t, y0) <  dla t e" t0.
Wniosek 4 Niech dany bedzie skalarny uklad równań różniczkowych
xj = fj (x) (j = 1, . . . , n)
gdzie x = x (t) = (x1 (t) , . . . , xn (t)) " U " topRn, f = (f1, . . . , fn) " C1 (U, Rn).
Zalóżmy, że
" f (0, . . . , 0) = 0
"fj
" ajk := (0, . . . , 0) " R j, k = 1, . . . , n
"xk
" det (ajk - jk)j,k=1,...,n = 0 =! Re  < 0
Wtedy rozwiazanie zerowe x (, 0) = 0 powyższego ukladu jest lokalnie asymptotycznie
stabilne.
Przyklad 11 Rozważmy pierwsze równanie z przykladu 8 tj.
y1 (y2 + 1)
y = g (y) :=
y1y2 + 2y1 + y2
y2 + 1 y1
"gi
Latwo zauważyć, że g(0) = 0 natomiast (0) = =
"xj
y2 + 2 y1 + 1
|y1=0, y2=0
1 0
. Macierz ta ma wartość wlasna  = 1 o krotności k = 2, a zatem rozwiazanie
2 1
zerowe powyższego równania nie jest lokalnie asymptotycznie stabilne i nie jest stabilne.
Wniosek 5 Rozważmy równanie skalarne x = f (x). Jeśli f (0) = 0 oraz f (0) < 0,
to rozwiazanie zerowe tego równania jest lokalnie asymptotycznie stabilne.
44 ROZDZIAL 7. STABILNOŚĆ ROZWIAZAC RÓWNAC RÓŻNICZKOWYCH
Wniosek 6 Rozważamy uklad równań różniczkowych liniowych x = Ax. Jeśli wszys-
tkie wartości wlasne macierzy A maja ujemne cześci rzeczywiste, to rozwiazanie zerowe
rozważanego ukladu jest lokalnie asymptotycznie stabilne.
Twierdzenie 26 Rozwiazanie zerowe ukladu równań różniczkowych liniowych x =
Ax jest stabilne, gdy Re  d" 0 dla każdej wartości wlasnej  macierzy A, a w przypadku
Re  = 0, krotność tej wartości wlasnej jest równa 1.
7.3 Problem Routha Hurwitza
Niech bedzie dany wielomian W o wspólczynnikach rzeczywistych. Podać takie
warunki na jego wspólczynniki, aby pierwiastki wielomianu W leżaly w lewej pólplaszczyznie
plaszczyzny zespolonej.
Niech W () = n + a1n-1 + + an-1 + an = 0, gdzie aj " R (j = 1, . . . , n).
Twierdzenie 27 (Warunek konieczny) ai > 0 . Jeżeli n d" 2, to ten
"
i"{1,...,n}
warunek jest warunkiem wystarczajacym.
Twierdzenie 28 (Warunek Routha Huwitza) Warunkiem koniecznym i wystarczajacym
na to, aby wszystkie pierwiastki wielomianu W mialy ujemne cześci rzeczywiste jest, aby
wszystkie minory glówne macierzy Hurwitza
ł ł
a1 1 0 0 0 0 0 0 0
ł ł
a3 a2 a1 1 0 0 0 0 0
ł ł
ł ł
a5 a4 a3 a2 a1 1 0 0 0
ł ł
ł ł
. .
..
. .
ł ł
.
. .
ł ł
ł
0 0 0 0 0 0 an an-1 an-2 łł
0 0 0 0 0 0 0 0 an
byly dodatnie.
Twierdzenie 29 Jeśli W () = a0n + a1n-1 + + an-1 + an = 0 jest wielo-
mianem Hurwitza tzn. wszystkie jego pierwiastki maja ujemne cześci rzeczywiste, to
1
V () := nW = ann + an-1n-1 + . . . + a1 + a0 jest także wielomianem Hurwitza.

Przyklad 12 Wyznaczyć obszar asymptotycznej stabilności dla ukladu
ńł
dx
= -x + ąy
ł
dt
dy
= x - y + ąz
dt
ół
dz
= y - z,
dt
gdzie ą,  sa parametrami rzeczywistymi.
W rozważanym przypadku wielomian charakterystyczny jest równy
-1 -  ą 0
W () =  -1 -  ą = 3 + 32 + (3 - 2ą) + (1 - 2ą).
0  -1 - 
Macierz Hurwitza dla tego wielomianu ma postać
ł ł
3 1 0
ł łł
1 - 2ą 3 - 2ą 3 .
0 0 1 - 2ą
Jej minory glówne sa równe: = 3, = 8 - 4ą, = (8 - 4ą)(1 - 2ą). Jak
1 2 3
1
latwo zauważyć sa one wszystkie dodatnie dla ą < .
2
7.4. PUNKTY OSOBLIWE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWEGO ZUPELNEGO 45
7.4 Punkty osobliwe równania różniczkowego zupelnego
Rozważmy równanie
P (t, x)dt + Q(t, x)dx = 0 (7.1)
określone w obszarze ściagalnym D " R2, gdzie P, Q " C1(D, R). Poprzednio zakladaliśmy,
że |P (t, x)| + |Q(t, x)| > 0. Przy tych zalożeniach można bylo powyższe równanie
sprowadzić do postaci
P (t, x)
x = - , x = x(t),
Q(t, x)
lub
Q(t, x)
t = - , t = t(x)
P (t, x)
równań majacych jednoznaczne rozwiazanie przy zadanych WPC.
Definicja 27 Jeśli istnieje taki punkt (t0, x0) " D w którym
P (t0, x0) = Q (t0, x0) = 0
to taki punkt nazywamy punktem osobliwym równania różniczkowego (7.1).
Przez punkt osobliwy może przechodzić wiele krzywych calkowych, lub żadna krzywa
calkowa.
Przyklad 13
Rozwiazaniem ogólnym równania
2t dx - x dt = 0, (x, t) " R2
jest rodzina krzywych
t = Cx2, C " R.
Punkt (0, 0) jest punktem osobliwym przez który przechodzi nieskończenie wiele calek
 jest to tzw. punkt wezlowy.
Przyklad 14
Rozwiazaniem ogólnym równania
2at dt + 2bx dx = 0, (x, t) " R2, a, b > 0
jest rodzina krzywych
at2 + bx2 + C, C " R+.
Punkt (0, 0) jest punktem osobliwym tzw. punktem wirowym.
Przyklad 15
Rozwiazaniem ogólnym równania
2at dt - 2bx dx = 0, (x, t) " R2, a, b > 0
jest rodzina krzywych
at2 - bx2 + C, C " R.
Przez punkt osobliwy (0, 0) przechodza dwie krzywe calkowe:
a a
x = x(t) = t, x = x(t) = - t, t " R.
b b
Punkt (0, 0) jest to tzw. punktem siodlowy.
46 ROZDZIAL 7. STABILNOŚĆ ROZWIAZAC RÓWNAC RÓŻNICZKOWYCH
Przyklad 16
Równanie
(2t + x) dt + (2x - t) dx = 0, (x, t) " R20
ma rozwiazanie ogólne, które we wspólrzednych biegunowych ma postać
r = Ce/2 C " R+.
Punkt osobliwy (0, 0) jest w tym wypadku tzw. punktem asymptotycznym.
Rozdzial 8
Transformata Laplace a
8.1 Podstawowe definicje i twierdzenia
Niech (t) bedzie funkcja zmiennej niezależnej t " R. zaś s := +i liczba zespolona.
Definicja 28 Transformata Laplace a (transformata) funkcji (t) nazywamy funkcje
(s) (zmiennej niezależnej s) określona wzorem
"
(s) := e-st(t)dt (8.1)
0
Aby transformata funkcji (t) byla określona, wystarczy aby calka (8.1) istniala dla
pewnego zbioru wartości s, przy czym dla pozostalych s calka ta może nie istnieć. Może
sie zdarzyć, że calka (8.1) nie istnieje dla żadnej wartości s. W tym przypadku przek-
sztalcenie Laplace a nie jest możliwe.
Przyklad 17 Niech (t) a" 1. Latwo policzyć
" A
(s) = e-stdt = limA+" 0 e-stdt =
0
e-A(cos A-i sin A)
1 dz
= limA+" - z =
s 1 z
1
= limA+" - e-A(cos A - i sin A) - 1 =
s
1
, gdy  > 0
s
= (8.2)
nie istnieje , gdy  d" 0.
Uwaga 6 Można pokazać, że jeśli (t) jest w przedziale 0 d" t d" " ograniczona, albo
rośnie ze wzreostem t jak tą lub eąt, gdzie ą > 0, to jej transformata istnieje.
d
Twierdzenie 30 (Transformata pochodnej) Niech (t) = . Wówczas (s) =
dt
s(s) - (0), gdzie symbol (0) oznacza granice prawostronna w zerze funkcji .
d
Dowód. Niech (t) = . Z definicji
dt
" "
d
(s) = e-st(t) dt = e-st (t) dt =
dt
0 0
"
= e-st(t) |" + s e-st(t) dt.
0
0
Jeśli e(s) na tyle duże, że limt" e-st(t) = 0, to (s) = s(s) - (0). Jeśli (t)
ograniczona, lub wzrost (t) jest wielomianowy (funkcja rośnie jak tą), to wystarczy
przyja ć  > 0, jeśli (t) rośnie jak funkcja eąt, to wystarczy przyja ć  > ą.
c.k.d.
47
48 ROZDZIAL 8. TRANSFORMATA LAPLACE A
Ostatni wzór jest prawdziwy, gdy funkcja  jest ciagla; jeśli nie, a konkretnie, jeśli ma
nieciaglości skokowe, to we wzorze tym pojawia sie dodatkowe skladniki. W szczególnym
przypadku, gdy (0) = 0 dostajemy (s) = s(s). Otrzymany rezultat latwo uogólnić.
dn
Twierdzenie 31 Jeśli (t) = , to (s) = sn(s) - sn-1(0) - sn-2 (0) - . . . -
dtn
(n-1)(0), gdzie symbol (k)(0) oznacza granice prawostronna w zerze funkcji (k).
t
(s)
Twierdzenie 32 Jeśi (t) := ()d, to (s) = .
0 s
d
Dowód. Zauważmy, że (t) = (t), (0) = 0. Tak wiec na podstawie wzoru na
dt
transformate pochodnej (s) = s(s), skad bezpośrednio wynika teza twierdzenia.
c.k.d.
Twierdzenie 33 Transformata Laplace a jest operatorem liniowym.
8.2 Wyznaczanie transformaty równania różniczkowego
Niech dane bedzie równanie różniczkowe
x + ax = f(t), a " R
z warunkiem poczatkowym Cauchy ego x(0) = x0. Mnożac obie strony równania przez
e-st i calkujac w granicach od 0 do +" możemy napisać
"
e-stx (t) dt + a x(s) = f(s).
0
Korzystajac ze wzoru na transformate pochodnej i warunku poczatkowego dostajemy
równanie
(s + a)x(s) - x0 = f(s),
skad
f(s) + x0
x(s) = ,
s + a
"
gdzie f(s) = e-stf(t) dt.
0
Analogicznie dla równania
x + ax + bx = f(t), a, b " R
mnożac je obustronnie przez e-st i calkujac w granicach od 0 do " dostajemy
x s2 + as + b = f(s) + s x(0) + x (0) + a x(0),
skad
f(s) + (s + a) x(0) + x (0)
x = .
s2 + as + b
Te sama metode możemy zastosować do ukladu równań o wspólczynnikach stalych.
Przykladowo rozważmy
x + a1x + b1y + c1y = f1(t)
x + a2x + b2y + c2y = f2(t).
Mnożymy każde z tych równań przez e-st i calkujemy w przedziale od 0 do +". W
konsekwencji po przeksztalceniach otrzymujemy uklad równań algebraicznych
s + a1 b1s + c1 x(s) f1(s) + x(0) + b1y(0)
= .
s + a2 b2s + c2 y(s)
f2(s) + x(0) + b2y(0)
8.3. WYZNACZANIE FUNKCJI NA PODSTAWIE JEJ TRANSFORMATY 49
Jeśli macierz tego ukladu jest nieosobliwa, to rozwiazanie tego ukladu jest określone
wzorami Cramera.
Transformate Laplace a można również z powodzeniem stosować do pewnych równań
różniczkowo calkowych np. do równania
t
x (t) + ax(t) + b x() d = f(t).
0
Ogólnie można bez klopotu podać wzory na transformate dowolnego równania liniowego
rzedu n-tego o stalych wspólczynnikach i ukladu równań różniczkowych o macierzy
liczbowej.
8.3 Wyznaczanie funkcji na podstawie jej transfor-
maty
Zalóżmy, że dana jest funkcja (s). Zajmiemy sie problemem wyznaczenia (t):
"
e-st(t)dt = (s) (8.3)
0
Równanie calkowe powyżej nazywa sie równaniem Laplace a.
Twierdzenie 34 Dla danych ai " R, i(s), (i = 1, . . . , n) mamy
n n
"
e-st aii(t) dt = aii(s).
0
i=1 i=1
Stosunkowo latwo jest rozwiazać równanie Laplacea w przypadku, gdy prawa strona
tego równania jest funkcja wymierna.
Twierdzenie 35 Jeśli
U(s)
(s) =
V (s)
gdzie U(s) i V (s) sa wielomianami, przy czym st.U(s) = m < st.V (s) = n oraz V (s) =
(s - s1) . . . (s - sn), przy czym si = sj jeśli i = j, to

n
U (sk)
k
(t) = es t. (8.4)
V (sk)
k=1
U(s)
Dowód. Iloraz można przedstawić w postaci sumy ulamków prostych
V (s)
n
U(s) ck
= .
V (s) s - sk
k=1
Mnożac obie strony przez s - s1 mamy
n
U(s) ck
(s - s1) = c1 + (s - s1) .
V (s) s - sk
k=2
Przechodzac obustronnie z s do granicy w s1 i stosujac regule de l Hospitala dostajemy
U (s1)
= c1.
V (s1)
50 ROZDZIAL 8. TRANSFORMATA LAPLACE A
Podobnie obliczamy wartości pozostalych wspólczynników ci. Tak wiec rozklad na ulamki
proste ma postać:
n
U(s) U(sk) 1
= .
V (s) V (sk) s - sk
k=1
Latwo sie przekonać, że równanie
"
1
e-st(t)dt =
s - sk
0
ma rozwiazanie
k
(t) = es t.
Wobec tych faktów i liniowości transformaty otrzymujemy teze twierdzenia.
c.k.d.
Twierdzenie 36 (Twierdzenie o rozkladzie) Niech
U(s)
(s) = ,
s W (s)
gdzie U(s) i W (s) sa wielomianami odpowiednio stopni m i n, przy czym m d" n.
Zakladamy, że W (0) = 0 i wielomian W nie ma pierwiastków wielokrotnych tj. W (s) =

(s - s1) . . . (s - sn), przy czym si = sj dla i = j. Wtedy

n
U(0) U (si)
i
(t) = + es t.
W (0) si W (si)
i=1
Dowód. Przyjmujac V (s) = s W (s) możemy na podstawie poprzedniego twierdzenia
napisać
n
U (si)
i
(t) = es t,
d
[s W (s)]|s=s
dt
i=0 i
przy czym s0 := 0. Z kolei
d
[s W (s)]|s=s = W (si) + siW (si) .
i
dt
Dla i = 0 drugi skladnik jest równy zeru, a dla i = 0 zeruje sie pierwszy skladnik, tak

wiec
d
[s W (s)]|s=s = W (s0) = W (0),
0
dt
d
[s W (s)]|s=s = siW (si) dla i = 0.

i
dt
Podstawienie tych wzorów do (8.4) kończy dowód.
c.k.d.
Twierdzenie 37 (Twierdzenie o przesunieciu rzeczywistym) Niech (s) bedzie trans-
formata funkcji (t), a  niech bedzie funkcja zdefiniowana wzorem:
0 dla t < t0,
(t) :=
 (t - t0) dla t > t0.
Wówczas
0
(s) = e-st (s).
8.3. WYZNACZANIE FUNKCJI NA PODSTAWIE JEJ TRANSFORMATY 51
Dowód. Z definicji transformaty:
" "
(s) = e-st(t)dt = e-st (t - t0) dt =
0 t0
" "
0 0 0
= e-s(+t )()d = e-st e-s()d = e-st (s).
0 0
c.k.d
Twierdzenie 38 (Twierdzenie o przesunieciu zespolonym) Niech (t) := e-t(t),
gdzie  " R, lub  " C. Wowczas (s) = (s + ).
Dowód. Wprost z definicji:
" "
(s) = e-ste-t(t) dt = e-(s+)t(t) dt = (s + ).
0 0
c.k.d
t
Twierdzenie 39 (Twierdzenie o splocie) Niech (t) := 1()2(t-) d. Wówczas
0
(s) = 1(s)2(s).
t
d
Obserwacja 1 Jeśli (t) := 1()2(t - ) d, to (s) = s1(s)2(s).
dt 0
52 ROZDZIAL 8. TRANSFORMATA LAPLACE A
Rozdzial 9
Dodatek
9.1 Tablice transformat Laplace a
Transformata Laplace a (transformata) funkcji (t) nazywamy funkcje (s) (zmiennej
niezależnej s " C) określona wzorem
"
 (s) = e-st(t)dt.
0
Potegi
 (t)  (s)
1
1
s
1
t
s2
n!
tn , n " N
sn+1
Ą
t-1/2
s
"
Ą
t1/2
2s3/2
 (ą + 1)
tą , ą > -1
są+1
Funkcje trygonometryczne
 (t)  (s)
 (t)  (s)
k
sin kt
2ks2
s2 + k2
sin kt + kt cos kt
(s2 + k2)2
s
cos kt
s2 + k2
2k3
sin kt - kt cos kt
(s2 - k2)2
2k2
sin2 kt
s (s2 + 4k2)
k2
1 - cos kt
s (s2 + k2)
s2 + 2k2
cos2 kt
s (s2 + 4k2)
k3
kt - sin kt
2ks s2 (s2 + k2)
t sin kt
(s2 + k2)2
a sin bt - b sin at 1
ab (a2 - b2) (s2 + a2) (s2 + b2)
s2 - k2
t cos kt
(s2 + k2)2 cos bt - cos at s
a2 - b2 (s2 + a2) (s2 + b2)
2 (1 - cos kt) s2 + k2
ln
sin at cos bt 1 a + b 1 a - b
t s2
arctan + arctan
t 2 s 2 s
sin at a
arctan
t s
53
54 ROZDZIAL 9. DODATEK
Funkcje hiperboliczne
 (t)  (s)
 (t)  (s)
k
sinh kt
2ks
s2 - k2
t sinh kt
(s2 - k2)2
s
cosh kt
s2 - k2 s2 + k2
t cosh kt
(s2 - k2)2
2k2
sinh2 kt
s (s2 - 4k2)
2 (1 - cosh kt) s2 - k2
ln
t s2
s2 - 2k2
cosh2 kt
s (s2 - 4k2)
Funkcje wykladnicze
 (t)  (s)
 (t)  (s)
"
1 1 2/4t e-a s
eat " e-a "
s - a s
Ąt
1 a 2/4t "
teat " e-a e-a s
(s - a)2 2 Ąt3
n!
eat - ebt 1
tneat , n " N
(s - a)n+1
a - b (s - a) (s - b)
ebt - eat
aeat - bebt s
s-a
ln
s-b
t
a - b (s - a) (s - b)
Funkcje wykladnicze i trygonometryczne
 (t)  (s)
k
eat sin kt
(s - a)2 + k2
s - a
eat cos kt
(s - a)2 + k2
Funkcje wykladnicze i hiperboliczne
 (t)  (s)
k
eat sinh kt
(s - a)2 - k2
s - a
eat cosh kt
(s - a)2 - k2
Funkcje trygonometryczne i hiperboliczne
 (t)  (s)
2k2s
sin kt sinh kt
s2 + 4k4
k s2 + 2k2
sin kt cosh kt
s4 + 4k4
k s2 - 2k2
cos kt sinh kt
s4 + 4k4
s3
cos kt cosh kt
s4 + 4k4
Funkcja Bessela
 (t)  (s)
1
J0 (kt) "
s2 + k2
9.2. PRZYKLADOWE TEMATY ZADAC EGZAMINACYJNYCH 55
Uogólniona funkcja bledu
 (t)  (s)
"
e-a s
a a
" "
erfc = 1 - erf
2 t 2 t
s
"
2/4t e-a s
t a
"
2 e-a - a erfc "
Ą
2 t
s s
"
"
2t e-a s
a
"
eabeb erfc b t + " "
2 t
s s + b
"
"
2t -a
a a be" s
" "
-eabeb erfc b t + + erfc
2 t 2 t s s+b
( )
Delta Diraca
 (t)  (s)
 (t) 1
 (t - t0) e-st0
Funkcja Heaviside a
 (t)  (s)
 (t - a) H (t - a) e-as (s)
e-as
H (t - a)
s
0 dla t < 0
przy czym H(t) := .
1 dla t e" 0
Ogólne prawa
 (t)  (s)
eat (t)  (s - a)
 (t - a) H (t - a) e-as (s)
(n) (t) sn (s) - s(n-1) (0) - . . . - (n-1) (0)
tn (t) (-1)n dn  (s)
dsn
t
 ()  (t - ) d  (s)  (s)
0
9.2 Przykladowe tematy zadań egzaminacyjnych
Pisemny egzamin z równań różniczkowych jest dwucześciowy. Cześć pierwsza ma
na celu sprawdzenie bieglości rachunkowej, a cześć druga, umownie zwana jest cześcia
,,teoretyczna i nie ma ona charakteru wylacznie rachunkowego. Czas trwania egzaminu
z cześci zadaniowej: 110 minut. Czas trwania egzaminu z cześci teoretycznej: 50 minut.
Każde zadanie jest punktowane w skali 0 - 10 punktów. Poniżej zaprezentowane sa
zestawy zadań egzaminacyjnych z jednej sesji. Sa one reprezentatywne, jeśli chodzi o
poziom trudności tematów. W poszczególnych latach zmienia sie jednak czesciowo zakres
wykladanego materialu materialu, a wiec i tematyczny zakres zadań.
9 czerwiec 2001 Cześć zadaniowa:
1. Rozwia ż równanie Ricattiego
1
x = 2t2 + x - 2x2
t
wiedzac, że jedna z jego calek jest wielomian stopnia pierwszego.
56 ROZDZIAL 9. DODATEK
2. Wyznacz rozwiazanie ogólne równania
t2(t + 1)x - 2x = 0
1
wiedzac, że jego calka szczególna jest funkcja x1(t) = 1 + .
t
3. Wyznacz calke ogólna równania
x + 3x + 2x = e-t cos2 t.
Wskazówka. Tak przeksztalć prawa strone, aby możliwe bylo zastosowanie metody
przewidywań.
4. Metoda Frobeniusa znajdz fundamentalny uklad rozwiazań równania
2tx + (1 + t)x + x = 0.
5. Wyznacz calke szczególna ukladu równań
-3 1 3t
x = x +
2 -4 e-t
1
spelniajaca warunek poczatkowy Cauchy ego x(0) = .
-1
6. Zbadaj stabilność polożeń równowagi ukladu równań:
dx
= y - x2 - x
dt
dy
= 3x - x2 - y.
dt
Cześć teoretyczna:
1. Dla jakich wartości paramatrów a i b rozwiazanie zerowe równania
xIV + ax + 4x + bx + x = 0
jest lokalnie asymptotycznie stabilne.
2. Znajdz krzywa o tej wlasności, że trapez utworzony przez osie wspólrzednych Ox
i Oy, styczna do krzywej i prosta prostopadla do osi Ox w punkcie styczności, ma
stale pole równe 3a2.
3. Rozstrzygnij dla jakich a i b rozwiazania równania x + ax + bx = 0 sa ograniczone
na calej prostej?
20 czerwiec 2001 Cześć zadaniowa:
1. Rozwia ż równanie różniczkowe
t3
3t2 (1 + ln x) dt = 2x - dx
x
2. Wyznacz rozwiazanie ogólne równania
tx - (2t + 1)x + (t + 1)x = 0
wiedzac, że jego calka szczególna jest funkcja postaci eąt.
9.2. PRZYKLADOWE TEMATY ZADAC EGZAMINACYJNYCH 57
3. Znajdz fundamentalny uklad rozwiazań w postaci szeregów potegowych, unor-
mowany w punkcie t0 = 0, równania
x + tx - 2t2 + 1 x = 0.
4. Wyznacz calke szczególna ukladu równań
ł ł
0 -1 1
ł łł
x = 0 0 1 x
-1 0 1
ł ł
1
1
ł łł
spelniajaca warunek poczatkowy Cauchy ego x(0) = .
2
1
2
5. Wyznacz obszar asymptotycznej stabilności dla ukladu
ńł
dx
= -x + ąy
ł
dt
dy
= x - y + ąz
dt
ół
dz
= y - z,
dt
gdzie ą,  sa parametrami rzeczywistymi.
Cześć teoretyczna:
1. Dla jakich wartości paramatrów a i b rozwiazanie zerowe równania
xIV + 2x + ax + bx + x = 0
jest lokalnie asymptotycznie stabilne. Zaprezentuj rozwiazanie w postaci graficznej.
2. Wyznacz krzywe, dla których odcinek stycznej zawarty miedzy osiami wspólrzednych
ma stala dlugość d.
3. Oblicz eA, gdzie A jest macierza ukladu z zadania (4) w cześci zadaniowej tj.
ł ł
0 -1 1
ł łł
A = 0 0 1 .
-1 0 1
13 wrzesień 2001 Cześć zadaniowa:
1. Rozwia ż problem poczatkowy Cauchy ego
t2 + x2 dt - 2tx dx = 0, x(4) = 0.
2. Rozwia ż równanie
t t
+ 1 dt + - 1 dx = 0.
x x
3. Znajdz calke ogólna równania
x(6) + 2x(4) + x(2) = 0.
4. Wyznacz calke szczególna ukladu równań
ł ł
5 -1 -4
ł łł
x = -12 5 12 x
10 -3 -9
ł ł
1
ł łł
spelniajaca warunek poczatkowy Cauchy ego x(0) = 1 .
1
58 ROZDZIAL 9. DODATEK
5. Znajdz uklad fundamentalny rozwiazań w postaci szeregów potegowych unormowanych
w punkcie t0 = 0 równania:
1
x + x = 0
1 - t
i określ rozwiazanie ogólne.
Cześć teoretyczna:
1. Dla jakich wartości paramatrów a i b rozwiazanie zerowe równania
xIV + 2x + ax + bx + x = 0
jest lokalnie asymptotycznie stabilne. Zaprezentuj rozwiazanie w postaci graficznej.
2. Wyznacz krzywe, dla których odcinek stycznej zawarty miedzy osiami wspólrzednych
ma stala dlugość d.
3. Oblicz eA, gdzie A jest macierza ukladu z zadania (4) w cześci zadaniowej tj.
ł ł
0 -1 1
ł łł
A = 0 0 1 .
-1 0 1
27 wrzesień 2001 Cześć zadaniowa:
1. Rozwia ż równanie
2
x + 2
x = 2
t + x - 1
2. Odgadnij rozwiazanie szczególne, a nastepnie rozwia ż równanie Riccatiego
x - 2tx + x2 = 5 - t2
1
3. Wiedzac, że funkcja x (t) = jest rozwiazaniem szczególnym równania 2t2x +
t
3tx - x = 0 rozwia ż równanie
1
2t2x + 3tx - x =
t
(obniżajac jego rzad jednym z dwóch poznanych sposobów) a nastepnie wskaż jego
4
calke spelniajaca warunki poczatkowe x (1) = 1, x (1) = - .
3
4. Znajdz calke ogólna ukladu równań:
-1 2 2et
x = x +
1 1 0
5. Rowia ż równanie
1
x + 3x + 2x =
et + 1
Cześć teoretyczna:
1. Znajdz krzywa o tej wlasności, że trapez utworzony przez osie ukladu wspólrzednych
Ox, Oy, styczna do krzywej i prosta prostopadla do osi Ox w punkcie styczności,
ma stale pole równe 3a2.
2. Dla jakich a i b równanie x + ax + bx = 0 ma przynajmniej jedno rozwiazanie
x (t) = 0 takie, że lim x (t) = 0.

t+"
9.2. PRZYKLADOWE TEMATY ZADAC EGZAMINACYJNYCH 59
3. Zbadaj stabilność wszystkich polożeń równowagi ukladu
x = ln y2 - x
y = x - y - 1
Definicja. Niech X przestrzeń Banacha, f : X " U X, u : R " I X,
U " topX, I " topR. Polożeniem równowagi ukladu u = f (u) nazywamy " " U
takie, że f (") = 0.
10 czerwiec 2002 Cześć zadaniowa:
1. Wyznacz calke szczególna równania różniczkowego
t(x + x2) = x
spelniajaca warunek poczatkowy x(1) = 1.
2. Wyznacz rozwiazanie ogólne równania
tx - x - 4t3x = 0,
2
wiedzac, że jego calka szczególna jest funkcja et .
3. Znajdz dwa liniowo niezależne rozwiazania szczególne równania
2
x + x + x = 0.
t
w postaci szeregów Frobeniusa w otoczeniu punktu osobliwego regularnego t0 = 0.
4. Wyznacz calke szczególna ukladu równań
-1 -6
x = x
3 5
2
spelniajaca warunek poczatkowy Cauchy ego x(0) = .
2
5. Wyznacz wszystkie polożenia równowagi ukladu
x = xy
y = x2 + y2 - 4
i zbadaj ich stabilność.
6. Przy pomocy transformaty Laplace a rozwia ż równanie
x - 2x + x = 1 + t, x(0) = 0, x (0) = 0.
Cześć teoretyczna:
1. Rozważamy dwuwymiarowy uklad równań:
x = ax + by
y = cx + dy,
gdzie a, b, c, d " R. Wykaż, że jeśli jedno z jego rozwiazań jest funkcja okresowa,
to wszystkie rozwiazania, oprócz rozwiazania zerowego, sa funkcjami okresowymi.
2. Wyznacz równanie krzywej przechodzacej przez punkt (1, 1), dla której pole trójkata
utworzonego przez oś Ot, styczna i wektor wodzacy punktu styczności jest stale i
równa sie 1.
3. Dla jakich wartości paramatrów a i b rozwiazanie zerowe równania
xIV + ax + 4x + bx + x = 0
jest lokalnie asymptotycznie stabilne.
60 ROZDZIAL 9. DODATEK
17 czerwiec 2002 Cześć zadaniowa:
1. Wyznacz calke ogólna równania
xdx = (tdx + xdt) 1 + x2.
2. Rozwia ż równanie
x - 2tx + x2 = 5 - t2.
3. Znajdz dwa liniowo niezależne rozwiazania szczególne równania
t(t - 1)x + (1 + t)x - x = 0.
w postaci szeregów Frobeniusa w otoczeniu punktu osobliwego regularnego t0 = 0,
lub t0 = 1.
4. Wyznacz calke szczególna ukladu równań
5 3
x = x
-3 -1
1
spelniajaca warunek poczatkowy Cauchy ego x(0) = .
-1
5. Wyznacz wszystkie polożenia równowagi ukladu
x = -x + y
y = x + y - 2xy
i zbadaj ich stabilność.
6. Przy pomocy transformaty Laplace a wyznacz calke sczególna ukladu równań
x = -2y + 3t
y = 2x + 4
spelniajaca warunek poczatkowy x(0) = 2, y(0) = 3.
Cześć teoretyczna:
1. Jakie warunki musza spelniać wartości i wektory wlasne macierzy ukladu:
x = ax + by
y = cx + dy,
(a, b, c, d " R), aby jego rozwiazanie u(t) = (x(t), y(t)) spelniajace warunek poczatkowy
x(0) = y(0) = 1 mialo wlasność:
(a) limt" u(t) = (0, 0),
(b) limt" u(t) = ",
(c) u jest funkcja ograniczona.
2. Wyznacz równanie różniczkowe rodziny krzywych x = eCt i równanie różniczkowe
rodziny krzywych ortogonalnych do danych.
3. Oblicz eA dla macierzy:
-2 -4
A = .
1 2
9.2. PRZYKLADOWE TEMATY ZADAC EGZAMINACYJNYCH 61
16 wrzesień 2002 Cześć zadaniowa:
1. Wyznacz calke ogólna równania
(1 + t + x + tx) x = 1.
2. Rozwia ż równanie
dx = x2et - x dt.
3. Znajdz dwa liniowo niezależne rozwiazania szczególne równania
t(t - 1)x + (-1 + 3t)x + x = 0.
w postaci szeregów Frobeniusa w otoczeniu punktu osobliwego regularnego t0 = 0,
lub t0 = 1.
4. Wyznacz calke szczególna ukladu równań
3 2
x = x
-5 1
-1
spelniajaca warunek poczatkowy Cauchy ego x(0) = .
1
5. Wyznacz wszystkie polożenia równowagi ukladu
x = 3 - 4 + x2 + y
y = ln x2 - 3
i zbadaj ich stabilność.
6. Przy pomocy transformaty Laplace a wyznacz calke sczególna ukladu równań
x = -x + y + et
y = x - y + et
spelniajaca warunek poczatkowy x(0) = 1, y(0) = 1.
Cześć teoretyczna:
1. Jakie warunki musza spelniać wartości i wektory wlasne macierzy ukladu:
x = ax + by
y = cx + dy,
(a, b, c, d " R), aby jego rozwiazanie u(t) = (x(t), y(t)) spelniajace warunek poczatkowy
x(0) = y(0) = 1 mialo wlasność:
(a) limt" u(t) = (0, 0),
(b) limt" u(t) = ",
(c) u jest funkcja ograniczona.
C
2. Wyznacz równanie różniczkowe rodziny hiperbol x = i równanie różniczkowe
t
rodziny krzywych ortogonalnych do danych.
3. Oblicz eA dla macierzy:
3 -1
A = .
2 0
62 ROZDZIAL 9. DODATEK
9 czerwiec 2003 Cześć zadaniowa:
1. Rozwia ż równanie różniczkowe
6txdt + (4x + 9t2)dx = 0.
2. Wyznacz rozwiazanie ogólne równania
dx
= e2t + (1 + 2et)x + x2
dt
wiedzac, że jego calka szczególna jest funkcja postaci x1(t) = -et.
3. Znajdz fundamentalny uklad rozwiazań w postaci szeregów potegowych, unor-
mowany w punkcie t0 = 0, równania
x + etx - x = 0.
4. Wyznacz calke szczególna ukladu równań
ł ł
0 8 0
ł łł
x = 0 0 -2 x
2 8 -2
ł ł
1
ł łł
spelniajaca warunek poczatkowy Cauchy ego x(0) = 0 .
0
5. Korzystajac z transformaty Laplace a znajdz calke szczególna ukladu równań różniczkowych
d2y
d2x
+ = t2
dt2 dt2
d2y
d2x
- = 4t
dt2 dt2
spelniajaca warunek poczatkowy Cauchy ego x(0) = 8, x (0) = y(0) = y (0) = 0.
Cześć teoretyczna:
1. Dla jakich wartości paramatrów a i b rozwiazanie zerowe równania
x = x + ay + y2
y = bx - 3y - x2.
jest lokalnie asymptotycznie stabilne. Zaprezentuj rozwiazanie w postaci graficznej.
2. Znajdz krzywa x = x(t) o tej wlasności, że trójkat utworzony przez oś Ot, styczna
do krzywej oraz promień wodzacy w punkcie styczności jest trójkatem równoramiennym.
3. Oblicz eA, gdzie A jest macierza ukladu z zadania (4) w cześci zadaniowej tj.
ł ł
0 8 0
ł łł
A = 0 0 -2 x
2 8 -2
9.2. PRZYKLADOWE TEMATY ZADAC EGZAMINACYJNYCH 63
16 czerwiec 2003 Cześć zadaniowa:
1. Rozwia ż równanie różniczkowe
(t2 + 2tx - x2)dt + (x2 + 2tx - t2)dx = 0,
wiedzac, że ma ono czynnik calkujacy postaci = (t + x).
2. Rozwia ż równanie
2xx = t(x 2 + 4).
3. Znajdz fundamentalny uklad rozwiazań w postaci szeregów potegowych, unor-
mowany w punkcie t0 = 0, równania
x - t3x + (t + 1)x = 0.
4. Wyznacz calke ogólna równania
x - x + 4x - 4x = 3e2t - 4 sin 2t.
5. Korzystajac z transformaty Laplace a rozwia ż równanie
t
x(t) = 3t2 - e-t - x()et- d.
0
Cześć teoretyczna:
1. Dla jakich paramatrów a i b zerowe rozwiazanie równania
xIV + ax + 4x + bx + x = 0
jest lokalnie asymptotycznie stabilne. Zaznacz wyznaczony zbiór na plaszczyznie
Oab.
2. Znajdz rodzine krzywych ortogonalnych do krzywych rodziny
x2 = Cet + t + 1,
gdzie C " R.
3. Przeprowadz dyskusje dla jakich rzeczywistych parametrów p i q wszystkie rozwiazania
równania x + px + qx = 0 sa ograniczone na calej prostej? Zaznacz wyznaczony
zbiór na plaszczyznie Opq.
64 ROZDZIAL 9. DODATEK
Bibliografia
[1] F.Bierski, Funkcje zespolone, Szeregi i przeksztalcenia Fouriera, Przeksztalcenia
calkowe Laplace a, Przeksztalcenia Laurenta (Z), wyd. piate poprawione, Uczelni-
ane Wydawnictwa Naukowo-Dydaktyczne AGH, Kraków 1999.
[2] B.P.Demidowicz, Matematyczna teoria stabilności, Wyd. Naukowo-Techniczne,
Warszawa 1972.
[3] L.Drużkowski, Analiza Matematyczna dla fizykow, Cześć II, Wybrane zagadnienia,
Wyd. UJ, Kraków 1997.
[4] A.F.Filippow, Zbiór zadań z równań różniczkowych, Izd. Nauka, Moskwa 1973.
[5] I.M. Gelfand, Wyklady z algebry liniowej, wyd. 3, PWN, Warszawa 1977.
[6] R.Gutowski, Rownania różniczkowe zwyczajne, Wyd. Naukowo-Techniczne,
Warszawa 1971.
[7] M.I.Kontorowicz, Rachunek operatorowy i procesy w ukladach elektrycznych, Wyd.
Naukowo-Techniczne, Warszawa 1968.
[8] N.M.Matwiejew, Metody calkowania równań różniczkowych zwyczajnych, PWN,
Warszawa 1972.
[9] J.Niedoba, W.Niedoba, Równania różniczkowe zwyczajne i czastkowe, Zadania
z matematyki, Wydanie trzecie, Uczelniane Wydawnictwa Naukowo-Dydaktyczne
AGH, Kraków 2001.
[10] J.Ombach, Wyklady z równań różniczkowych, Wyd. UJ, Kraków 1996.
[11] A.Palczewski, Równania różniczkowe zwyczajne (teoria i metody numeryczne z
wykorzystaniem komputerowego systemu obliczeń symbolicznych), Wyd. Naukowo-
Techniczne, Warszawa 1999.
[12] A.Pelczar, J.Szarski, Wstep do teorii równań różniczkowych, Cześć I, PWN,
Warszawa 1987.
[13] A.Pelczar, Wstep do teorii równań różniczkowych, Cześć II, PWN, Warszawa 1989.
[14] K.K.Ponomariew, Ukladanie i rozwiazywanie równań różniczkowych w zagadnieni-
ach technicznych, Wyd. Naukowo-Techniczne, Warszawa 1969.
[15] W.Stankiewicz, J.Wojtowicz, Zadania z matematyki dla wyższych uczelni tech-
nicznych, Cześć II, PWN, Warszawa 1983.
[16] F.G.Tricomi,Differential Equations, Blackie&Son Limited, 1961.
[17] D.G.Zill, Differential Equations with Boundary-Value Problems, PWS-KENT Pub-
lishing Company, Boston, 1986.
65


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Równania różniczkowe zwyczajne (2005) AGH Wykład dla studentów na kierunku automatyka i robotyka
2011 4 wyklad dla studentow
Równania Różniczkowe Zwyczajne i Cząstkowe
Wykład 2 dla studentów
wyklad dla studentow BHP cz2
Andrzej Palczewski Rownania rozniczkowe zwyczajne przyklady i zadania
Wykład 5 dla studentów
B Choczewski Równania rózniczkowe zwyczajne i cząstkowe
1 wyklad dla studentow
5 wyklad dla studentow
Prawo rodzinne wyklad dla studentow [8 III 2012]
wykład I dla studentów [tryb zgodności]

więcej podobnych podstron