A l g e b r a l i n i o w a / L i c z b y z e s p o l o n e 1 / 1 6
L i c z b y z e s p o l o n e
J a k t o p r z y s t a Bo n a p r a w d z i w y i n u d n y w y k Ba d , m a Ba p r a c a d o m o w a . T e n j e d e n z n i e l i c z n y c h
r a z y w y m a g a m l e k k i e g o p r z y s t o s o w a n i a s i d o t e g o , o c z y m t u b d p i e r d o . . . z n a c z y s i p i s a B.
W i e l c e z a l e c a n a j e s t j a k a [ t a m z n a j o m o [ f u n k c j i t r y g o n o m e t r y c z n y c h . . . c o k o l w i e k t o n i e
z n a c z y . P o d s t a w o w o z a m i a n a k t a n a r a d i a n y . D o b r z e t e |, g d y b y [c i e w i e d z i e l i , c o t o s z a
f u n k c j e s i n u s i c o s i n u s , c o o n e t a m w y p l u w a j z a l i c z b y . P o w i n n i [c i e z a p a m i t a . . . n o d o b r a ,
w y d r u k o w a k i l k a p o d s t a w o w y c h w a r t o [c i d l a k i l k u c z s t y c h k t w , k t r e z d a r z a j s i w
z a d a n i a c h . N o i o d z w i e r c i e d l e n i e t y c h f u n k c j i w u k Ba d z i e w s p Br z d n y c h c z y l i w i e d z i e n p . c o w
k t r e j w i a r t c e ( n i e m y l i p o k t r e j w i a r t c e ) m a j a k i z n a k , d o d a t k o w a w i e d z a w i e l c e
p r z y d a t n a . D o d a t k o w o , d o b r z e w i e d z i e , c o t o j e s t w y Bc z a n i e w s p l n e g o c z y n n i k a p r z e d n a w i a s ,
c z y j a k o [ c o [ p o d o b n e g o .
O c z y w i [c i e , n i e j a k i [ t a m k o s m i c z n y i r o z s z e r z o n y p o z i o m , w y s t a r c z y t o , c o t a m p i s z w
p o d r c z n i k a c h d o t e c h n i k u m n a o b o j t n i e k t r y m p o z i o m i e . J a k t o z w y k l e b y w a t r o c h t e o r i i ,
j e |e l i k o m u [ s i n u d z i c z y j e s t p o d w p By w e m m o |e s p o k o j n i e p o c z y t a , k i l k a p r z y k Ba d w i
r o z w i z a D t e | s i z n a j d z i e .
1 . L i c z b a z e s p o l o n a p o s t a a l g e b r a i c z n a
Z a c z y n a m y o d p y t a n i a c o t o j e s t l i c z b a z e s p o l o n a ? N a r a z i e u z n a j m y , |e t o j e s t t a k i e
g w i e n k o :
z = a + b i
C z y l i t a k i t w r , s k Ba d a j c y s i z w Ba [c i w i e d w c h l i c z b , d w c h e l e m e n t w . P i e r w s z y z
n i c h j e s t c z [c i r z e c z y w i s t l i c z b y z e s p o l o n e j , d r u g a , t a p r z y l i t e r c e i j e s t c z [c i u r o j o n .
O , n a p r z y k Ba d m a m y t a k l i c z b :
z = 1 + 2 i
J e s t t o t a k i e c o [, s k Ba d a j c e s i z c z [c i r z e c z y w i s t e j r w n e j w n a s z y m p r z y p a d k u l i c z b i e
1 , o r a z c z [c i u r o j o n e j , r w n e j l i c z b i e 2 .
Z a t r z y m a j m y s i p r z y t y m t a j e m n i c z y m i :
z = i
C z y m , d o c h u j a , j e s t t o i i p o j a k c h o l e r o n o t a m s t o i ? U z n a j m y , |e p r z y t e j c z [c i u r o j o n e j
t o i m a t a m s t a . I n i e c h s o b i e s t o i w s p o k o j u , n o , c h y b a , |e j e s t p o d n o s z o n e d o k w a d r a t u , t o w t e d y
s i w a u t o m a g i c z n y i d z i w n y s p o s b s t a j e l i c z b 1 :
i 2 = - 1
W t y m j e d n y m p r z y p a d k u c o [ s i f a k t y c z n i e d z i e j e z t t a j e m n i c z l i t e r k , a j a k s i t y l k o d a
A u t o r : v b x W I M i I I n f o r m a t y k a 2 0 0 8
A l g e b r a l i n i o w a / L i c z b y z e s p o l o n e 2 / 1 6
z o s t a w i a m y w s p o k o j u .
A j e d n a k , p o s t a n a w i a m s o b i e p o e k s p e r y m e n t o w a .
Z a p e w n e w s z k o l e [r e d n i e j b y Bo t a k i e c o [, j a k f u n k c j e k w a d r a t o w e . I t a m b y Bo t a k i e c o [,
j a k w y l i c z a n i e j a k i e j [ d e l t y , p i e r w i a s t k w , o g l n i e d a j P a n s p o k j .
K a |d y k i e d y [ c o [ p i e r w i a s t k o w a B. I t a k , n a p r z y k Ba d p i e r w i a s t e k z l i c z b y 4 :
4 = 2 l u b
4 = - 2
D a j e l i c z b d w a a l b o m i n u s d w a . P r o s t e s p r a w d z e n i e p o d n o s i m y d o k w a d r a t u t o l u b t a m t o
i t e | m a m y c z t e r y . A l e k a |d y z a p i s t y p u :
- 4
p o w o d o w a B, |e n a u c z y c i e l s i p o p r z y j a c i e l s k u p y t a B C o T y , k u r w a , o d p i e r d a l a s z , a j a k
z a c h o w y w a l i [m y s i p o k o j o w o t o p o p r o s t u p i s a l i [m y N i e m a , n i e i s t n i e j e . T a k , p a t r z c t y l k o
p r z e z p r y z m a t t e g o , c o s i t a m d z i e j e w l i c z b a c h r z e c z y w i s t y c h .
T o p o p a t r z m y , w y k o r z y s t u j c p o s i a d a n w i e d z . Z a p i s z m y p i e r w i a s t e k t r o c h i n a c z e j :
- 4 =
- 1 "4
N o i t e r a z p a t r z y m y p o d k o n i e c p o p r z e d n i e j s t r o n y i w y k o r z y s t a m y , c z e m u t a m r w n a s i ( -
1 ) :
- 1 "4 = i 2 "4
I r o z p i e r d a l a m y n a d w a p i e r w i a s t k i ( j a k m a m y m n o |e n i e p o d p i e r w i a s t k i e m , t o h u l a j d u s z a ,
p i e k Ba n i e m a ) :
i 2 "4 = i 2 " 4
T u t a j t r a k t u j e m y l i c z b i j a k o n u d n i z w y k B l i t e r k p o d p i e r w i a s t k i e m , j a k n p . n w a n a l i z i e
m a t e m a t y c z n e j w g r a n i c a c h . Z a u w a |m y , |e z p i e r w s z e g o c z y n n i k a m o |l i w e w y n i k i t o i o r a z i
( c z e m u ? P o d n i e [c i e s o b i e n p . n i ( n ) d o k w a d r a t u , t e | w y j d z i e t y l k o i w y Bc z n i e n 2 ) , a z d r u g i e g o
m o |l i w e t o 2 i ( 2 ) . P o m i j a j c w s z e l k i e l o g i c z n e r o z w i z a n i a i i n n e n i e m o r a l n e s p o s o b y
r o z w i z a D, w y c h o d z i o s t a t e c z n i e , |e
i 2 "4 = 2 i l u b
i 2 "4 = - 2 i
C z y l i p i e r w i a s t e k z l i c z b y :
- 4
j e s t r w n y : 2 i l u b ( - 2 i ) .
A u t o r : v b x W I M i I I n f o r m a t y k a 2 0 0 8
A l g e b r a l i n i o w a / L i c z b y z e s p o l o n e 3 / 1 6
W a r t o z a p a m i t a s o b i e t a k i w z o r e k :
- a = a i l u b
- a = - a i
G d z i e a j e s t c z y m k o l w i e k r z e c z y w i s t y m .
I t y m s p o s o b e m , p r o s z j a w a s , d z i k i p o w y |s z e m u w z o r k o w i o r a z t a k i e j z a l e |n o [c i :
i 2 = 1
w Ba [c i w i e m a m y z a Ba t w i o n e c a Be l i c z e n i e l i c z b z e s p o l o n y c h w t e j n o r m a l n e j , a l g e b r a i c z n e j
p o s t a c i .
P r z y k Ba d y :
a ) d o d a j d o s i e b i e l i c z b y z 1 = 5 + 3 i ; o r a z l i c z b z 2 = 6 + i .
N i c p r o s t s z e g o . P r z y d o d a w a n i u ( j a k i p r z y o d e j m o w a n i u ) p o p r o s t u l i c z y m y o s o b n o t o , c o
s t o i p r z y t y m j e b n i t y m i i t o , c o s t o i p r z y r e s z c i e .
Z 3 = z 1 + z 2 = ( 5 + 3 i ) + ( 6 + i ) = 5 + 6 + 3 i + i = 1 1 + 4 i
I w s i o . Z a b a w a z a c z y n a s i p r z y m n o |e n i u .
b ) p o m n | p r z e z s i e b i e t e s a m e l i c z b y .
I t u t a j r w n i e | n i e m a w i e l k i e j f i l o z o f i i . W y m n a |a m y n a w i a s y t a k , j a k B g n a k a z a B ( k a |d y
e l e m e n t p i e r w s z e g o n a w i a s u z k a |d y m e l e m e n t e m d r u g i e g o ) , c z y l i :
z 3 = z 1 * z 2 = ( 5 + 3 i ) * ( 6 + i )
( 5 + 3 i ) * ( 6 + i ) = 3 0 + 5 i + 1 8 i + 3 i 2 = 3 0 + 2 3 i + 3 i 2
p a m i t a m y , |e i 2 = ( 1 ) , w i c :
3 0 + 2 3 i + 3 i 2 = 3 0 + 2 3 i + 3 * ( - 1 ) = 3 0 + 2 3 i 3 = 2 7 + 2 3 i
T o j e s t n a s z o s t a t e c z n y w y n i k . D o b r z e , d o b r z e . . . a l e n i e b e z n a d z i e j n i e .
2 . L i c z b a z e s p o l o n a s p r z |e n i e , m o d u B
L i c z b a z e s p o l o n a m a t a k i e s w o j e d w i e c h a r a k t e r y s t y c z n e , w y p l u j t o s Bo w o , f u n k c j e .
P i e r w s z a z n i c h t o :
R e ( z )
O r a z d r u g a :
I m ( z )
A u t o r : v b x W I M i I I n f o r m a t y k a 2 0 0 8
A l g e b r a l i n i o w a / L i c z b y z e s p o l o n e 4 / 1 6
F u n k c j a R e ( z ) m a t a k s p e c y f i k a c j ( s y g n a t u r ) :
R e : C R
g d z i e C o z n a c z a z b i r l i c z b z e s p o l o n y c h , a R z b i r l i c z b r z e c z y w i s t y c h .
C o r o b i t a f u n k c j a ? W r z u c a m y d o n i e j l i c z b z e s p o l o n , a o n a w z a m i a n w y p l u w a n a m t o ,
c o j e s t w n i e j c z [c i r z e c z y w i s t .
N a p r z y k Ba d , m a m y l i c z b 3 + 2 i . F u n k c j a R e ( 3 + 2 i ) w y p l u j e n a m p o p r o s t u l i c z b 3 .
P o d o b n i e p r z y - 1 0 + 2 5 i f u n k c j a R e ( - 1 0 + 2 5 i ) w y p l u j e n a m - 1 0 .
F u n k c j a I m ( z ) m a t a k s p e c y f i k a c j :
I m : C R
g d z i e C o z n a c z a z b i r l i c z b z e s p o l o n y c h , a R z b i r l i c z b r z e c z y w i s t y c h .
M o |n a s i d o m y [l i . W r z u c a m y d o f u n k c j i l i c z b z e s p o l o n , a w z a m i a n d o s t a j e m y t o , c o
s t o i p r z y c z [c i u r o j o n e j . C z y l i p o p r o s t u t o , c o s t o i p r z y l i c z b i e i . K i l k a j u | c z y s t y c h
p r z y k Ba d z i k w :
I m ( 3 + 2 i ) = 2
I m ( - 1 0 + 2 5 i ) = 2 5
J e |e l i n i e c h c e c i e , b y c o [ z Be g o w y l a z Bo z t e j [c i g i , n i e c z y t a j c i e t e g o a k a p i t u . P o n i e w a |
z b i r l i c z b z e s p o l o n y c h j e s t n a d z b i o r e m l i c z b r z e c z y w i s t y c h ( l i c z b y r z e c z y w i s t e m i e s z c z s i w
z b i o r z e l i c z b z e s p o l o n y c h ) , w i c w p o w y |s z e f u n k c j e m o |e m y w r z u c a n a w e t l i c z b y r z e c z y w i s t e
( f a n i t e o r i i m n o g o [c i s i u c i e s z , a s z a l e n i p r o g r a m i [c i s i n i e l u d z k o u [m i e c h n , w i d z c z a t a j o n y
p o l i m o r f i z m ) .
P i e r w s z y n i e t y p o w y p r z y k Ba d :
R e ( i )
C o z r o b i z t a k i m f a n t e m ? J a k d o r o z g Bo [n i r a d i o w e j w T o r u n i u m o |e m y w y s y Ba k w o t y
b l i s k i e z e r u ( i t y m s a m y m n a r a |a r o z g Bo [n i n a k o s z t y t r a n s p o r t u ) , t o i t u t a j d o d a j m y s o b i e z e r o :
R e ( 0 + i )
N o c o ? P r z e c i e | t o n o r m a l n a , s p o k o j n a , m i Ba i c i c h a l i c z b a z e s p o l o n a z = 0 + i . C z y l i , j a k s i
d o m y [l a c i e , w y n i k b r z m i :
R e ( 0 + i ) = 0
T a k n a m a r g i n e s i e , l i c z b , k t r a n i e m a n i c r z e c z y w i s t e g o , a t y l k o j a k i e [ [m i e c i p r z y i ,
n a z y w a m y l i c z b c z y s t o u r o j o n . C o o d d a j e d o b r z e a t m o s f e r t e j c a Be j , b Be , a l g e b r y .
A u t o r : v b x W I M i I I n f o r m a t y k a 2 0 0 8
A l g e b r a l i n i o w a / L i c z b y z e s p o l o n e 5 / 1 6
A n a l o g i c z n i e w y g l d a s p r a w a z t a k i m p r z y p a d k i e m :
I m ( 6 6 6 )
P o n o w n i e , p o w y |s z l i c z b r z e c z y w i s t :
6 6 6
z a p i s z s o b i e w p o s t a c i l i c z b y z e s p o l o n e j ( n i c t u , b r o D B o |e n i e z m i e n i a m , w i c m o g ) :
6 6 6 + 0 * i
C z y l i :
I m ( 6 6 6 ) = I m ( 6 6 6 + 0 * i ) = 0
L i c z b a z e s p o l o n a m a t e | t a k i e c u d o , j a k s p r z |e n i e , k t r e f a c h o w o s i t a k z a p i s u j e :
J e |e l i z = a b i z i
= a - b
L i c z b a s p r z |o n a d o d a n e j l i c z b y z e s p o l o n e j j e s t p o p r o s t u j a k [ t a m l i c z b z e s p o l o n , k t r a
m a t y l k o z m i e n i o n y z n a c z e k p r z y i . N a p r z y k Ba d :
z = 5 8 i
t o :
z
= 5 - 8 i
A j e |e l i :
z = 5 - 8 i
t o :
z
= 5 8 i
Z b o c z e Dc y , z n a j c y a l g e b r B o o l a , u c i e s z s i z t y c h k r e s e c z e k n a d l i t e r z , b o , j a k w i d a ,
p o d w j n e s p r z |e n i e , n i c z y m p o d w j n a n e g a c j a . . . t a k c h u j a r o b i . A s a m a z n a j o m o [ z n a j d o w a n i a
l i c z b s p r z |o n y c h d o d a n e j ( j a k w i d a n i e j e s t t o s p e c j a l n i e t r u d n e ) b d z i e p r z y d a t n a p r z y
z n a j d o w a n i u p i e r w i a s t k w r w n a n i a , k o r z y s t a j c z o g l n e g o t w i e r d z e n i a a l g e b r y . . . c o k o l w i e k t o
z n a c z y .
T e r a z p r z e c h o d z i m y n i e m a l d o m e r i t u m l i c z b z e s p o l o n y c h , c z y l i m o d u Bu z l i c z b y
z e s p o l o n e j , c o p r o w a d z i w k o n s e k w e n c j i d o r a k a p Bu c , i m p o t e n c j i i p o s t a c i t r y g o n o m e t r y c z n e j .
M o d u B l i c z b y z e s p o l o n e j l i c z y m y z t a k i e g o w z o r k u :
#"z #"= x 2 y 2
A u t o r : v b x W I M i I I n f o r m a t y k a 2 0 0 8
A l g e b r a l i n i o w a / L i c z b y z e s p o l o n e 6 / 1 6
A s k d s i o n w z i B? S p j r z m y n a p r o f e s j o n a l n y r y s u n e k , s t w o r z o n y z p o m o c
n a j d o s k o n a l s z y c h p r o g r a m w m a t e m a t y c z n y c h :
M a m y p r o f e s j o n a l n t z w . p Ba s z c z y z n z e s p o l o n , k t r a r |n i s i o d t e j n o r m a l n i e j s z e j t y m ,
|e d l a j a j n a z w a n o i n a c z e j o s i e l i c z b o w e . K a |d l i c z b m o |e m y s e n a r y s o w a w t a k i m u k Ba d z i e
j a k o p u n k c i k , g d z i e c z [ r z e c z y w i s t a j e s t i k s e m , a r e s z t a u r o j o n y c h [m i e c i - i g r e k i e m .
Z a z n a c z y Be m s o b i e j a k [ t a m l i c z b z e s p o l o n z = x + y i . M o d u Be m l i c z b y t z e s p o l o n e j
n a z w i e m y d Bu g o [ t e g o p r o s t e g o n i c z y m . . . n o , c o [ t a m , o d c i n k a . C z y l i , z t w . P i t a g o r a s a , w y c h o d z i ,
|e :
#"z #"= x 2 y 2
P r z y k Ba d :
O b l i c z m y | z | z t a k i e j l i c z b y :
z = 1 2 i 5
B i e r z e m y p o d p i e r w i a s t e k w s z y s t k i e w s p Bc z y n n i k i , p o d n o s i m y d o k w a d r a t u , s u m u j e m y i
z o b a c z m y , c o z a d z i a d o s t w o n a m w y j d z i e :
#"z #"= x 2 y 2 = - 5 2 1 2 2 = 1 6 9 = 1 3
W i c | z | = 1 3 .
J e |e l i k t o [ j e s t i d i o t , t r o c h t a m z n a j c y m f i z y k , t o z a u w a |y , |e m a m y j a k i [ t a m u k Ba d
w s p Br z d n y . J e |e l i t a k , t o p r z e c i e | p u n k t m o |e m y z a p i s a j a k o w e k t o r w o d z c y i k t p o m i d z y t y m
w e k t o r e m i o s i R e Z , c z y l i . . .
3 . P o s t a t r y g o n o m e t r y c z n a l i c z b y z e s p o l o n e j
S p j r z m y r a z j e s z c z e n a , j u | b a r d z i e j p r o f e s j o n a l n y , r y s u n e k :
A u t o r : v b x W I M i I I n f o r m a t y k a 2 0 0 8
A l g e b r a l i n i o w a / L i c z b y z e s p o l o n e 7 / 1 6
N a d a l j e s t w Ba [c i w i e d o d u p y , a l e m n i e j s z a z t y m . Z a u w a |m y ( a l b o p r z y j m i j c i e n a w i a r ) , |e
k a |d y p u n k t m o |n a z a p i s a j a k o d Bu g o [ o d c i n k a , Bc z c e g o g o z p o c z t k i e m u k Ba d u w r a z z k t e m ,
j a k i o n t w o r z y z o s i X ( c z y t e |, j a k t u t a j n a p Ba s z c z y zn i e z e s p o l o n e j z o s i R e Z ) .
S p j r z m y n a t e n p i o n o w y , s z a r y o d c i n e k . J e g o d Bu g o [ t o j a k i e [ t a m y ( b o o t y l e d a n y p u n k t
j e s t o d d a l o n y o d o s i i k s w ) . H m m . . . K r e t y n i m a t e m a t y c z n i o d r a z u b d c h c i e l i w Ba d o w a w t o
w s z y s t k o k t y . . . i d a j m y i m t p r z y j e m n o [.
Z a u w a |m y , |e s i n u s k t a m o |e m y z a p i s a j a k o ( p a t r z c t y l k o n a r y s u n e k ) :
s i n = y / | z |
M n o |c o b u s t r o n n i e p r z e z | z | :
| z | * s i n = y
D o b r a , w y l i c z y l i [m y s o b i e i g r e k i , t y l k o p o c o , d o c h o l e r y ?
Z a c h w i l b d z i e c i e b l u z g a z a w p r o w a d z a n i e j a k i c h [ t a m u d z i w n i e D, a l e z o b a c z m y t e r a z n a
p o z i o m y s z a r y o d c i n e k , m a j c y d Bu g o [ x ( j e s t t o o d l e g Bo [ p u n k t u o d o s i y ) :
Z a u w a |m y r w n i e |, |e c o s i n u s t e g o s a m e g o k t a , z g o d n i e z r y s u n k i e m , m o |n a z a p i s a :
c o s = x / | z |
C z y l i :
| z | * c o s = x
A u t o r : v b x W I M i I I n f o r m a t y k a 2 0 0 8
A l g e b r a l i n i o w a / L i c z b y z e s p o l o n e 8 / 1 6
N o d o b r a , a t e r a z s p j r z m y n a w z r , n a j n o r m a l n i e j s z y w [w i e c i e n a l i c z b z e s p o l o n :
z = x + y * i
P o d s t a w m y z a i k s i i g r e k t o , c o w y l i c z y l i [m y ( p o d k r e [l o n e w z o r k i z p o p r z e d n i e j
s t r o n y ) :
z = | z | * c o s + | z | * s i n * i
W y Bc z a m y | z | p r z e d n a w i a s :
z = | z | ( c o s + s i n * i )
P o w y |s z y w z r j e s t p o s t a c i t r y g o n o m e t r y c z n l i c z b y z e s p o l o n e j . C z s t o , z a m i a s t | z | , p i s z e
s i l i t e r k e r ( j a k j u | w s p o m n i a Be m , k t o [ m g B b y f i z y c z n i e k o p n i t y i w s z y s t k o s p r o w a d z a B d o
w e k t o r a p r o m i e n i a w o d z c e g o ) . M n i e j s z a z t y m i n u d z i a r s t w a m i , p r z y k Ba d :
Z a m i e D l i c z b :
z = 3 - i
n a p o s t a t r y g o n o m e t r y c z n .
N i e p o w i n n o b y z t y m n i c t r u d n i e j s z e g o , n i e m n i e j j e d n a k , z r b m y s o b i e r y s u n e k
p o m o c n i c z y :
W z r o g l n y w y g l d a t a k : z = | z | ( c o s + s i n * i ) , w i c w y l i c z m y , c o s i d a . P a m i t a m y
t a k |e , |e x = , a y = ( - 1 ) .
3
J a k p a m i t a m y , w z r n a | z | w y g l d a t a k :
#"z #"= x 2 y 2
c z y l i :
2
#"z #"= x 2 y 2 = 3 - 1 2 = 3 1 = 4 = 2
A u t o r : v b x W I M i I I n f o r m a t y k a 2 0 0 8
A l g e b r a l i n i o w a / L i c z b y z e s p o l o n e 9 / 1 6
J a k k i e d y [ t a m p i s a l i [m y ,
s i n = y / | z |
W i c j e b n i j m y w t e n w z r t o , c o w i e m y :
s i n = ( - 1 ) / 2 = ( - 0 , 5 )
N i e s t e t y , k u l t u r a w y m a g a t e g o , b y p o l i c z y l i o d n a s t e n k t , b a n a w e t l e p i e j , b y p o d a g o o
z g r o z o w r a d i a n a c h . N i e s t e t y r w n i e |, w y l i c z a n i a k t w d l a f u n k c j i t r y g o n o m e t r y c z n y c h n i e b d
t Bu m a c z y w s z y s t k o p o w i n n o b y o p i s a n e w j a k i m k o l w i e k p o d r c z n i k u d o m a t m y .
D l a t e g o , n i e z n a j c z a b a r d z o p o s z c z e g l n y c h w a r t o [c i , s p j r z m y n a w y k r e s f u n k c j i i n a u k Ba d
w s p Br z d n y c h . W i d z i m y , |e s i n u s p r z y j m i e w a r t o [ ( - 0 , 5 ) g d z i e [ w o k o l i c a c h 3 3 0 s t o p n i , i n a c z e j
m w i c :
s i n = ( - 0 , 5 ) - > = 2 - / 6 = 1 1 / 6
J e d z i e m y t e r a z z c o s . W a l n i j m y c o t a m w i e m y d o w z o r u , k t r y s a m i s o b i e w y z n a c z y l i [m y
k i e d y [:
c o s = x / | z | = / 2
3
P a t r z c n a r y s u n e k ( o d p o w i e d z, |e = 3 0 s t o p n i , j e s t t r o c h z a m a Ba ) i n a w y k r e s f u n k c j i ,
w i d z i m y , |e = 1 1 / 6 .
J a k i z t e g o w n i o s e k ? W y s t a r c z y p o l i c z y | z | , z j a k i e j k o l w i e k f u n k c j i w y l i c z y k t ( p a t r z c
n a t o , g d z i e p u n k t , o z n a c z a j c y l i c z b z e s p o l o n s i z n a j d u j e w k t r e j w i a r t c e ) i m a m y
z a m i e n i o n l i c z b n a p o s t a t r y g o n o m e t r y c z n . P r z y o k a z j i , k t z w a n y j e s t r w n i e | a r g u m e n t e m
g B w n y m , a t a w i e d z a b d z i e n a m p r z y d a t n a p r z y p i e r w i a s t k o w a n i u l i c z b z e s p o l o n y c h .
C z y l i n a s z l i c z b m o |e m y z a p i s a w p o s t a c i :
z = | z | ( c o s + s i n * i ) = 2 [ c o s ( 1 1 / 6 ) + i s i n ( 1 1 / 6 ) ]
Z n w s i z a p y t a c i e a p o c h o l e r t a k k o m b i n o w a z l i c z b ? N o r m a l n e x , y , k i l k a z n a c z k w
i j e s t z a p i s a n a , a n i e j a k i e [ c u d o w a n i e z B g w i e j a k i m i s i n u s a m i c z y m o d u Ba m i .
N o t a k , a l e p r z y p o t g o w a n i u i p i e r w i a s t k o w a n i u s i t a k n i e d a , b o i s t n i e j e t a k i j e d e n ,
s p e c j a l n y w z o r e k n a p o t g o w a n i e l i c z b z e s p o l o n y c h . . .
4 . P i e r w i a s t k i / p o t g i l i c z b z e s p o l o n y c h
Z a c z n i e m y o d k o Dc a , c z y l i o d p r z y k Ba d u :
O b l i c z
z = 3 - i 6
O d r a z u l e n i w y c z Bo w i e k z Ba p i e s i z a g Bo w . R a n y B o s k i e , j a k i e z n o w u p o d n o s z e n i e d o
s z s t e j p o t g i ? O w s z e m , d o k w a d r a t u m o |n a , j e s t w z o r e k . D o p o t g i t r z e c i e j t e | m o |n a . A l e d o
A u t o r : v b x W I M i I I n f o r m a t y k a 2 0 0 8
A l g e b r a l i n i o w a / L i c z b y z e s p o l o n e 1 0 / 1 6
s z s t e j ? C z Bo w i e k s i z a l i c z y n a [m i e r .
N a s z c z [c i e , i s t n i e j e t a k i j e d e n w z o r e k , z w a n y w z o r e m d e M o i v r e ` a ( t a k i e g o f r a n c u s k i e g o
z b o c z e Dc a m a t e m a t y c z n e g o ) :
z n ( c o s n + i * s i n n )
= | z | n
C z y l i w y s t a r c z y p o d s t a w i a , c o w i e m y ( z a k t p o d s t a w i a m y a r g u m e n t g B w n y ) i m a m y
w y l i c z o n e . . . n o , p r a w i e , b o n a j c z [c i e j |d a j w y n i k u w n o r m a l n e j , l u d z k i e j p o s t a c i x + y i .
J e d z i e m y . P a m i t a m y z p o p r z e d n i e g o p r z y k Ba d u , |e
z = 3 - i = 2 [ c o s ( 1 1 / 6 ) + i s i n ( 1 1 / 6 ) ]
P o d n i e [m y d o p o t g i , k o r z y s t a j c z e w z o r u d e M o i v r e ` a :
z 6 = 2 6 [ c o s ( 6 * 1 1 / 6 ) + i s i n ( 6 * 1 1 / 6 ) ]
P o p o s p r z t a n i u :
2 6 [ c o s ( 6 * 1 1 / 6 ) + i s i n ( 6 * 1 1 / 6 ) ] = 6 4 ( c o s 1 1 + i s i n 1 1 )
Z a u w a |m y , |e c o s 1 1 = c o s ( 1 0 + )
P o n i e w a | f u n k c j a c o s i n u s j e s t o k r e s o w a ( z o k r e s e m 2 ) , b l a b l a b l a . . . w i c m o |e m y w y r z u c i
p a r z y s t w i e l o k r o t n o [ l i c z b y :
c o s ( 1 0 + ) = c o s = ( - 1 )
P o d o b n i e p o s t p i m y z s i n u s e m :
s i n 1 1 = s i n ( 1 0 + ) = s i n ( ) = 0
P o d s t a w m y , c o s o b i e w y l i c z y l i [m y :
6 4 ( c o s 1 1 + i s i n 1 1 ) = 6 4 [ ( - 1 ) + 0 * i ]
W y m n |m y t o , c o s t o i p r z e d n a w i a s e m k w a d r a t o w y m z t y m , c o j e s t w n a w i a s i e :
6 4 [ ( - 1 ) + 0 * i ] = 6 4 * ( - 1 ) + 6 4 * 0 * i
W i a d o m o , |e n a w e t n a j s z c z e r s z e c h c i n i e s p o w o d u j , b y c o [ p o m n o |o n e p r z e z z e r o b y Bo i n n e o d
z e r a :
6 4 * ( - 1 ) + 6 4 * 0 * i = ( - 6 4 ) + 0 = ( - 6 4 )
W i c
z 6 = ( - 6 4 )
A u t o r : v b x W I M i I I n f o r m a t y k a 2 0 0 8
A l g e b r a l i n i o w a / L i c z b y z e s p o l o n e 1 1 / 1 6
Z p i e r w i a s t k o w a n i e m s p r a w a w y g l d a t r o c h b a r d z i e j z a b a w n i e . J a k w a m w i a d o m o ,
1
n
n
a = a
D l a t e g o w z r d e M o i v r e ` a b d z i e w y g l d a B p o d o b n i e , z j e d n j e d n a k r |n i c :
2 k 2 k
n n
z = | z | [ c o s ( ) i s i n ( ) ]
n n
p o p r o s t u d o d a t n i p i e r w i a s t e k
k t r e g o [ t a m s t o p n i a z l i c z b y
r z e c z y w i s t e j
O m w i e n i a w y m a g a s y m b o l k . O t |, j e |e l i s p i e r w i a s t k u j e m y c h u j w i e c o , t o w y Ba z i n a m
n p i e r w i a s t k w . N a p r z y k Ba d , p i e r w i a s t e k s z e [s e t n e g o s t o p n i a z l i c z b y 1 d a n a m . . . s z e [s e t
p i e r w i a s t k w !
G d y j u | p o l i c z y m y l i c z b z g o d n i e z e w z o r e m , w s t a w i a m y p o k o l e i z a l i c z b k n a j p i e r w
l i c z b 0 , l i c z y m y , z a p i s u j e m y w y n i k , p zn i e j l i c z b 1 , l i c z y m y , z a p i s u j e m y i t d . a | d o j d z i e m y d o
l i c z b y o j e d e n m n i e j s z , o d s t o p n i a p i e r w i a s t k a . Z a p i s u j c p o b a r d z o m d r e m u :
k n a l e |y d o z b i o r u { 0 , 1 , 2 , . . . , n - 1 }
M a m n a d z i e j , |e r o z j a [n i t o t r o c h t a k i t r y w i a l n y p r z y k Ba d :
2
K o r z y s t a j c z e w z o r w d e M o i v r e ` a , w y l i c z .
1
Z g o d n i e z e w z o r e m , n = 2 ( b o t a k i j e s t s t o p i e D p i e r w i a s t k a ) :
2 k 2 k
n n
z = | z | [ c o s ( ) i s i n ( ) ]
n n
b d z i e m y p o t r z e b o w a | z | o r a z . Z a p i s z m y s o b i e t e | l i c z b 1 . . . t a k w p o s t a c i z e s p o l o n e j ,
c z y l i z = 1 + 0 * i .
#"z #"= x 2 y 2 = 1 2 0 2 = 1 = 1
2
T e r a z p o l i c z m y d o d a t n i p i e r w i a s t e k , c z y l i t o b d z i e p o p r o s t u 1 . T e r a z k t :
1
s i n = y / | z | = 0 / 1 = 0 - > = 0
A u t o r : v b x W I M i I I n f o r m a t y k a 2 0 0 8
A l g e b r a l i n i o w a / L i c z b y z e s p o l o n e 1 2 / 1 6
Z a p i s z m y d o w z o r u t o , c o w y l i c z y l i [m y :
2 k 2 k
n n
z = | z | [ c o s ( ) i s i n ( ) ]
n n
2 k 2 k 0 2 k 0 2 k
n
| z | [ c o s ( ) i s i n ( ) ] = 1 [ c o s ( ) i s i n ( ) ]
n n 2 2
0 2 k 0 2 k
1 [ c o s ( ) i s i n ( ) ] = 1 ( c o s k i s i n k )
2 2
N a j p i e r w z a k p o d s t a w i a m y , z g o d n i e z t y m , c o n a p i s a Be m n a p o p r z e d n i e j s t r o n i e , 0 :
d l a k = 0
1 ( c o s k i s i n k ) = 1 ( c o s 0 i s i n 0 ) = 1 ( c o s 0 i s i n 0 ) = 1 ( 1 0 "i ) = 1
C z y l i n a s z y m p i e r w s z y m p i e r w i a s t k i e m b d z i e z = 1 , a t e r a z z a k p o d s t a w i a m y 1 :
d l a k = 1
1 ( c o s k i s i n k ) = 1 ( c o s 1 i s i n 1 ) = 1 ( c o s i s i n ) = 1 ( - 1 0 "i ) = - 1
C z y l i d r u g i m p i e r w i a s t k i e m j e s t ( 1 ) .
C z y l i z g a d z a s i , w m o r d s t r z e l i B, z e z w y k By m p i e r w i a s t k i e m k w a d r a t o w y m z l i c z b y 1 .
S p r b u j e m y j e d n a k z r o b i a m b i t n i e j s z y i |m u d n y ( n a w e t b a r d z o ) w l i c z e n i u p r z y k Ba d , o
t a k i :
z = 3
- 1 i
S p o k o j n i e . N a j p i e r w n a l e |y t o , c o p o d p i e r w i a s t k i e m , z a p i e r d o l i n a p o s t a
t r y g o n o m e t r y c z n ( p a m i t a j m y , |e z = - 1 + i - > x = - 1 i y = 1 ) :
( - 1 ) + i = | z | ( c o s + s i n * i )
K o r z y s t a j c z e z n a n y c h j u | w z o r w :
#"z #"= x 2 y 2
s i n = y / | z |
c o s = x / | z |
o b l i c z m y n a j p i e r w | z | :
#"z #"= x 2 y 2 = - 1 2 1 2 = 2
P r z e d w y z n a c z a n i e m k t a n a j p i e r w n a r y s u j m y s o b i e a r t y s t y c z n y b u r d e l :
A u t o r : v b x W I M i I I n f o r m a t y k a 2 0 0 8
A l g e b r a l i n i o w a / L i c z b y z e s p o l o n e 1 3 / 1 6
J a k w i d z i m y n a t y m p i k n y m r y s u n k u , k t b d z i e w i k s z y o d 9 0 , a l e m n i e j s z y o d 1 8 0
s t o p n i . A w i c z g a d u j e m y .
s i n = y / | z | = 1 / = / 2
2 2
W d r u g i e j w i a r t c e s i n u s o s i g n i e t a k w a r t o [ p r z y k c i e / 2 + / 4 = 3 / 4
W z w i z k u z t y m , n a s z k t = 3 / 4 .
Z a p i s z m y t n a s z l i c z b p o d p i e r w i a s t k i e m , z n a j c j u | k t i | z | , w i c p r z y s t p u j e m y d o n a j g o r s z e j
c z y n n o [c i , c z y l i w j e b n i c i a w e w z r d e M o i v r e ` a t e g o , c o w i e m y :
2 k 2 k 3 / 4 2 k 3 / 4 2 k
n n
z = | z | [ c o s ( ) i s i n ( ) ] = 6 2 [ c o s ( ) i s i n ( ) ]
n n 3 3
3
3 2 6
b o
2 = 2 = 2
w y l i c z m y n a w i a s ( t a k s a m o d l a o b y d w u f u n k c j i ) :
3
2 k
4 2
= k
3 4 3
A u t o r : v b x W I M i I I n f o r m a t y k a 2 0 0 8
A l g e b r a l i n i o w a / L i c z b y z e s p o l o n e 1 4 / 1 6
c z y l i n a s z e p r a w i e p i e r w i a s t k i w y g l d a j t a k :
3 / 4 2 k 3 / 4 2 k 2 2
6 6
2 [ c o s ( ) i s i n ( ) ] = 2 [ c o s ( k ) i s i n ( k ) ]
3 3 4 3 4 3
T e r a z z a k w s t a w i a m y , c o s i n a m p o d o b a . . . n o , p r a w i e :
d l a k = 0
2 2
6 6
2 [ c o s ( k ) i s i n ( k ) ] = 2 ( c o s i s i n )
4 3 4 3 4 4
6 2 2
2 ( c o s i s i n ) = 6 2 ( i )
4 4 2 2
I t a k t o z o s t a w i m y , |e b y n i c z Be g o , b r o D B o |e , n i e w y l a z Bo . O c z y w i [c i e , m o |n a t o p o s k r a c a , a l e t o
j u | t a k i e r a c h u n k o w e [m i e c i d o p o l i c z e n i a . A n a l o g i c z n i e :
d l a k = 1 :
2 2 2 2
6
2 [ c o s ( k ) i s i n ( k ) ] = 6 2 [ c o s ( ) i s i n ( ) ]
4 3 4 3 4 3 4 3
2 2 1 1 1 1
6 6
2 [ c o s ( ) i s i n ( ) ] = 2 ( c o s i s i n )
4 3 4 3 1 2 1 2
T u t a j p o z w a l a m s o b i e n a z a m i a n n a s t o p n i e :
1 1 1 1
6
2 ( c o s i s i n ) = 6 2 ( c o s 1 6 5 i s i n 1 6 5 )
1 2 1 2
N i e s t e t y , w y s z By n a m d o s y s z p e t n e s t o p n i e d o p o l i c z e n i a , a l e i z t y m d a s i c o [ z r o b i . K o r z y s t a m y
z e w z o r w n a f u n k c j e s u m y d w c h k t w :
s i n ( a + b ) = s i n a * c o s b + c o s a * s i n b
c o s ( a + b ) = c o s a * c o s b s i n a * s i n b
Z a u w a |m y , |e k t 1 6 5 s t o p n i m o |e m y z a p i s a j a k o s u m k t w 1 2 0 i 4 5 s t o p n i . S k o r z y s t a j m y z
t e g o :
s i n ( 1 6 5 ) = s i n ( 1 2 0 + 4 5 ) = s i n 1 2 0 * c o s 4 5 + c o s 1 2 0 * s i n 4 5 =
6 2 2 " 3 2 "1 2 "( 3 - 1 )
= - = - =
4 4 4 4 4
c o s ( 1 6 5 ) = c o s ( 1 2 0 + 4 5 ) = c o s 1 2 0 * c o s 4 5 s i n 1 2 0 * s i n 4 5
O b l i c z e n i a , b d z c o b d z, s a m y c h f u n k c j i p o m i n , w y n i k w y c h o d z i n a s t p u j c y :
2
c o s 1 6 5 = "( 1 -
3 )
4
A u t o r : v b x W I M i I I n f o r m a t y k a 2 0 0 8
A l g e b r a l i n i o w a / L i c z b y z e s p o l o n e 1 5 / 1 6
A w i c d r u g i p i e r w i a s t e k w y g l d a t a k :
6 2 "( 1 - 3 ) i 2
2 ( c o s 1 6 5 i s i n 1 6 5 ) = 6 2 ( "( 3 - 1 ) )
4 4
O c z y w i [c i e , m o |n a t o w s z y s t k o p o w y Bc z a p r z e d n a w i a s , a n a w e t n a l e |y , a l e t o j u | r w n i e |
c z y s t o r a c h u n k o w o r o b o t a .
W r a c a m y n a m o m e n c i k n a p o c z t e k p o p r z e d n i e j s t r o n y , b o w e w z o r z e :
2 2
6
2 [ c o s ( k ) i s i n ( k ) ]
4 3 4 3
M u s i m y z a k w s t a w i j e s z c z e l i c z b 2 , b y z n a l e z t r z e c i i n a s z c z [c i e o s t a t n i p i e r w i a s t e k .
D l a k = 2 :
2 2 4 4
6
2 [ c o s ( k ) i s i n ( k ) ] = 6 2 [ c o s ( ) i s i n ( ) ]
4 3 4 3 4 3 4 3
4 4 1 9 1 9
6
2 [ c o s ( ) i s i n ( ) ] = 6 2 ( c o s i s i n )
4 3 4 3 1 2 1 2
Z a m i e n i a j c 1 9 / 1 2 n a s t o p n i e , o t r z y m u j e m y 2 8 5 s t o p n i . N a l e |y z t a k i e j w a r t o [c i w y l i c z y
s i n u s a i c o s i n u s a , a l e p o s t p u j e m y p o d o b n i e , j a k p r z y p o p r z e d n i m z a d a n i u :
s i n ( a + b ) = s i n a * c o s b + c o s a * s i n b
s i n ( 2 4 0 + 4 5 ) = s i n 2 4 0 * c o s 4 5 + c o s 2 4 0 * s i n 4 5 =
2
= "- 1 -
3
4
c o s ( a + b ) = c o s a * c o s b s i n a * s i n b
c o s ( 2 4 0 + 4 5 ) = c o s 2 4 0 * c o s 4 5 s i n 2 4 0 * s i n 4 5 =
2
= "- 1 3
4
c z y l i :
6 1 9 1 9 2 2 "( - 1 - 3 ) ]
2 ( c o s i s i n ) = 6 2 [ "( - 1 3 ) i
1 2 1 2 4 4
T o r w n i e | m o |n a s o b i e p o w y m n a |a , a l e , p r a w d m w i c , n a t a k i e l u k s u s y j e s t e m z a l e n i w y .
U f f . . . z d e c y d o w a n i e n a j g o r s z r z e c z j e s t p zn i e j s z e l i c z e n i e k t w , a l e w y d a j e m i s i , |e
w y s t a r c z y d o j [ d o p o s t a c i z p o c z t k u p o p r z e d n i e j s t r o n y , b o p o t e m j u | t y l k o , p r z e p r a s z a m z a
s Bo w o , j e b a n e f u n k c j e t r y g o n o m e t r y c z n e , a n i e l i c z e n i e n a l i c z b a c h z e s p o l o n y c h .
A u t o r : v b x W I M i I I n f o r m a t y k a 2 0 0 8
A l g e b r a l i n i o w a / L i c z b y z e s p o l o n e 1 6 / 1 6
P o d s u m u j m y :
W w y n i k u d z i a Ba n i a :
z = 3
- 1 i
w y l e z n a m t r z y r o z w i z a n i a :
6 2 2
2 ( i ) ,
2 2
6 2 "( 1 - 3 ) i 2 "( 3 - 1 ) ] o r a z
2 [
4 4
6 2 "( - 1 3 ) i 2 "( - 1 - 3 ) ]
2 [
4 4
J a k w i d z i c i e , w y n i k i n i e s t a k i e Ba t w e d o s t r a w i e n i a , a l e w y d a j e m i s i , |e b y B t o p r z y k Ba d
t a k i e g o n a j b a r d z i e j . . . |m u d n e g o p i e r w i a s t k o w a n i a c z e g o k o l w i e k , c o b y n a m w l a z Bo p o d r k .
P o l e c a m p o c z y t a n i e s o b i e i p r z e j r z e n i e p r z y k Ba d o w y c h r o z w i z a D z A l g e b r y L i n i o w e j 1 :
P r z y k Ba d y i z a d a n i a . Z a p e w n e p r z y k Ba d y d o b r a l i t a m t r o c h Ba t w i e j s z e , n i e w y m a g a j c e w i e l k i e g o
r |n i c i a w l i c z b y . W y s t a r c z y p o s t p o w a w e d l e s c h e m a t u , e w e n t u a l n i e c z a s e m p o b a w i s i w k t y .
M a m n a d z i e j , |e p o w y |s z y b r y k , c h o c i a | w k a w a Bk u w c z y m [ s i p r z y d a B.
p j
p o a p [ a t ] i n t e r i a . p l
L i n k i d o i n n y c h p o m o c y ( b y m o |e n a u k o w y c h ) :
h t t p : / / w w w . p o a p . y o y o . p l / m a t d /
A u t o r : v b x W I M i I I n f o r m a t y k a 2 0 0 8
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