Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
1. Wyznaczyć maksymalne dziedziny funkcji określonych następująco
" "
a) f(x, y) = x sin y, b) f(x, y) = arcsin y - x,
x2y x2+y2-4
"
c) f(x, y) = , d) g(x, y) = ln ,
9-x2-y2
x2+y2-25
"
" "
e) g(x, y, z) = x + y - 1 + z - 2, f) g(x, y, z) = ln(z2 - x2 - y2 - 1),
1
"
g) g(x, y, z) = .
sin(x2+y2+z2)
2. Obliczyć
a) lim(x,y)(0,0) x4-y4 , b) lim(x,y)(a,0) y2+sin xy ,
x+y y
"
y2+x2
1
c) lim(x,y)(1,0) ln(ex+y , d) lim(x,y)(0,0)(x2 + y2) sin ,
xy
e) lim(x,y)(Ą,0) sin2 x.
y2
3. Wykazać, że nie istnieją granice
x2+y2 (x-1)2y
a) lim(x,y)(0,0) x2-xy+y2 , b) lim(x,y)(1,0) (x-1)4+y2 ,
ln x+y+z
c) lim(x,y)(0,0) x|x|+y|y|, d) lim(x,y,z)(1,0,0) (x-1)2+y2+z2 ,
x2+y2
e) lim(x,y,z)(0,0,0)|x + y + z|z.
4. Obliczyć pochodne cząstkowe względem każdej zmiennej
"
a) f(x, y, z) = xy2z3 - y sin z, b) f(x, y) = ln(x + x2 + y2),
c) f(x, y) = xy, d) f(x, y, z) = 2x3y - 5x2y3 + x cos 2y,
"
e) f(x, y) = ln(x + x2 + y2), f) f(x, y) = ln (x + ln y).
5. Obliczyć pochodne cząstkowe drugiego rzędu względem każdej zmiennej
"
a) f(x, y, z) = xy2z3 - y sin z, b) f(x, y, z) = x y - ez ln y,
"
y
"
c) h(x, y) = x y + , d) g(x, y) = (1 + xy)y,
x
e) f(x, t) = ln sin(x - 2t) f) h(x, y) = (sin x)ln y.
6. Wykazać, że funkcja f(x, y) = ln(ex + ey) spełnia równanie
"f "f
(x, y) + (x, y) = 1.
"x "y
7. Wykazać, że funkcja f(x, y) = xyyx spełnia równanie
"f
x"f (x, y) + y (x, y) = (x + y + ln f(x, y))f(x, y).
"x "y
x-y
8. Wykazać, że funkcja f(x, y, z) = x + spełnia równanie
y-z
"f "f "f
(x, y, z) + (x, y, z) + (x, y, z) = 1.
"x "y "z
9. Wykazać, że funkcja f(x, y) = xy spełnia równanie
x "f 1 "f
(x, y) + (x, y) = 2f(x, y).
y "x ln x "y
10. Wyznaczyć różniczki zupełne funkcji
xy by
a) f(x, y) = y ln 2x, b) f(x, y, z) = , c) f(x, y, z) = eax cos ,
z z
d) f(x, y) = arctgx.
y
11. Wyznaczyć o ile istnieją ekstrema funkcji f określonej wzorem
a) f(x, y) = x2 + xy + y2 - 6x - 9y,
b) f(x, y) = 2xy - 2x 4y,
"-
c) f(x, y) = (x2 + y) ey,
d) f(x, y) = x3 + y3 - 3axy, a " R
e) f(x, y) = x2y3(6 - x - y),
f) f(x, y, z) = x3 + x, y + y2 - 2xz + 2z2 + 3y - 1,
2
g) f(x, y, z) = (x + y + 2z)e-(x +y2+z2).
12. Wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji
a) f(x, y) = x2 - y2 + 2a2, w kole x2 + y2 a2,
b) f(x, y) = 2x3 + 4x2 + y2 - 2xy, w obszarze domkniętym ograniczonym
liniami y = x2 oraz y = 4,
c) f(x, y) = xy(4 - x - y) w trójkącie ograniczonym prostymi x = 1, y = 0
oraz x + y = 6.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Rachunek rozniczkowy funkcji wielu zmiennych,analiza matematyczna 1, rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennejRachunek rozniczkowy funkcji dwoch zmiennychAnaliza Matematyczna Rachunek Różniczkowy Funkcji Jednej Zmiennej 025 Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennejAnaliza Matematyczna Rachunek Różniczkowy Funkcji Jednej Zmiennej 0104 Rozdział 02 Różniczkowanie funkcji wielu zmiennychRachunek różniczkowy funkcji 2 i 3 zmiennychGranice funkcji wielu zmiennychgranica i ciągłość funkcji wielu zmiennychanaliza matematyczna funkcje wielu zmiennych pwnwięcej podobnych podstron