Szczecin, 02-02-2011 Egzamin z matematyki rok I Teoria 2 pkt. Zadanie I. Podać definicjÄ™ pierwiastka stopnia n z liczby zespolonej z. KorzystajÄ…c z definicji obliczyć " 3 -8 . 2 pkt. Zadanie II. Podać definicjÄ™ rzÄ™du macierzy. KorzystajÄ…c z definicji obliczyć îÅ‚ Å‚Å‚ 2 3 -1 4 ïÅ‚ śł rz -3 1 1 -1 ðÅ‚ ûÅ‚ -1 4 0 3 2 pkt. Zadanie III. Podać definicjÄ™ granicy wÅ‚aÅ›ciwej ciÄ…gu. KorzystajÄ…c z definicji wykazać, że 1 lim = 0 n " - 2 n 2 pkt. Zadanie IV. Podać twierdzenie Darboux o miejscach zerowych funkcji. KorzystajÄ…c z tego 1 twierdzenia wskazać przedziaÅ‚ o dÅ‚ugoÅ›ci , w którym równanie 2 3x + x3 = 0 ma rozwiÄ…zanie. 2 pkt. Zadanie V. Podać definicjÄ™ pochodnej wÅ‚aÅ›ciwej funkcji f(x) w punkcie x0. KorzystajÄ…c z definicji zbadać różniczkowalność funkcji
x dla x = 0
1 f(x) = x 1+2 0 dla x = 0 w punkcie x0 = 0. Zadania 2 pkt. Zadanie 1. Punkt A(1, 2) jest jednym z wierzchołków sześciokąta foremnego o środku symetrii w punkcie O(3, -1). Znalezć pozostałe wierzchołki tego sześciokąta. 3 pkt. Zadanie 2. Rozwiązać układ równań macierzowych
Å„Å‚ 1 2 2 1 4 3 ôÅ‚ ôÅ‚ X + Y = òÅ‚ -1 1 3 4 4 2
2 1 1 1 4 3 ôÅ‚ ôÅ‚ ół X + Y = -2 3 -2 3 4 -4 2 pkt. Zadanie 3. RozwiÄ…zać ukÅ‚ad równaÅ„ liniowych. Å„Å‚ x +4y +2z -3s = 2 ôÅ‚ òÅ‚ 2x +9y +5z +2t +s = 3 ôÅ‚ ół x +3y +z -2t -9s = 3 3 pkt. Zadanie 4. Znalezć asymptoty funkcji
3 1 y = x ln e - 2 3x 3 pkt. Zadanie 5. Wyprowadzić wzór na n - tą pochodną funkcji y = sin2 x i udowodnić go indukcyjnie. 1 pkt. Zadanie 6. Wykazać tożsamość 1 - x Ą arctgx + arctg = 1 + x 4 dla x " (-1, ") 3 pkt. Zadanie 7. Zbadać monotoniczność i znalezć ekstrema funkcji 2 x2 3 y = x3 e- 3 pkt. Zadanie 8. Obliczyć całki: