MES1_Wykład 2_PRZEDSTAWIENIE METOD PRZYBLIŻONYCH NA PRZYKAADZIE RÓWNANIA POISSONA.doc
Przedstawienie metod przybliżonych na przykładzie równania Poissona
Równanie Poissona opisuje wiele zjawisk o dużym znaczeniu w technice: stacjonarny przepływ ciepła,
stacjonarny bezwirowy przepływ nieściśliwej i nielepkiej cieczy,
proste pola magnetyczne i elektryczne.
naprężeń w przekroju pręta skręcanego (TS).
"2u "2u
+ + f (x1, x2) = 0
2 2
"x1 "x2 x2
,
n2
(y)
n
W przypadku f(x1,x2)=0 mamy r-nie Laplacea.
n1
&!
" "
q
"2T = 0
"2 = +
Np. , gdzie
2 2
"x1 "x2
u
Rozważmy warunki brzegowe Dirichleta na u i Neumanna na q:
u(x) = u0 , x " u
x1
(x)
"u(x)
q(x) = = q0 , x " q
"n
gdzie u0 i q0 są danymi funkcjami określonymi na odpowiednich częściach brzegu.
W szczególnych przypadkach (prosta geometria i warunki brzegowe) zadanie ma swoje analityczne rozwiązanie.
1
MES1_Wykład 2_PRZEDSTAWIENIE METOD PRZYBLIŻONYCH NA PRZYKAADZIE RÓWNANIA POISSONA.doc
Metoda Różnic Skończonych
MRS przybliża rozwiązanie równania różniczkowego za pomocą zastępowania operatorów różniczkowych operatorami różnicowymi.
Pochodna funkcji w punkcie a z definicji:
może zostać przybliżona ilorazem różnicowym: dla małych wartości h.
Dyskretyzacja polega na zastąpienie poszukiwanej funkcji przez zbiór jej wartości w węzłach siatki (regularnej lub nieregularnej).
Wartości pochodnych w punkcie zastępowane są za pomocą przyrostów (różnic) funkcji w sąsiadujących węzłach. W ten sposób równanie
różniczkowe zastępowane są przez równania algebraiczne tzw. równania różnicowe.
Zamiast równania różniczkowego otrzymujemy układ równań algebraicznych z niewiadomymi będącymi wartościami funkcji w węzłach.
xi=xo+ih,
y
Dla siatki prostokątnej mamy:
yk=yo+kg,
h h
ui,k+1
u ui,k=u(xi, yk )
i+1,k
Można przyjąć różne
ui-1,k u i,k ui+1,k g
ui,k-1 schematy różnicowe:
ui,k+1
yk
g
ui,k-1
u
i-1,k
ui,k+1 - ui,k iloraz różnicowy przedni,
"u "u
a) H" = ,
"y "y g
ui,k
"u "u - ui,k-1 iloraz różnicowy tylny
b) H" = ,
y0
"y "y g
ui,k+1 - ui,k-1 iloraz różnicowy centralny
"u "u
c) H" = .
x0 xi x "y "y 2g
xo, yo - ponkt referencyjny siatki,
u(x, y)
- funkcja poszukiwana
2
MES1_Wykład 2_PRZEDSTAWIENIE METOD PRZYBLIŻONYCH NA PRZYKAADZIE RÓWNANIA POISSONA.doc
Różnice odpowiadające wyższym pochodnym:
ui+1,k - 2ui,k + ui-1,k
"2u "2u
H" = ,
ui+2, j - 4ui+1, j + 6ui, j - 4ui-1, j + ui-2, j
"4u "4u
"x2 "x2 h2
H" =
"x4 "x4 h4
ui,k+1 - 2ui,k + ui,k-1
"2u "2u
H" = .
"y2 "y2 g2
Za pomocą schematy rożnicowego możemy wyrazić równanie różniczkowe w dowolnym punkcie (xi, yj ) za pomocą równania algebraicznego.
W przypadku r-nia Poissona:
1 1
ui+1, -2ui, +ui-1, + ui, -2ui, +ui, +f xi, yj =0
( ) ( ) ( )
h2 j j j g2 j+1 j j-1
Dla siatki regularnej ( h=g ) i fa"0 (równanie Laplacea) mamy:
ui+1, j+ui-1, j+ui, j+1+ui, j-1
ui, j=
4
N węzłów w obszarze &! , N równań, N niewiadomych (każde równanie odpowiada odpowiedniemu węzłowi siatki).
A u= b
[ ]{}{}
Żądamy spełnienia równania różnicowego we wszystkich węzłach wewnętrznych. W podobny sposób aproksymuje się warunki brzegowe i żąda
ich spełnienia:
a)
b)
W przypadku nieregularnych kształtów brzegu:
hu0+u2
a) zakładamy u1= zamiast u=u0
2 1 0 0 1 h+
2
h
hu0-u2
h
b) zakładamy u1= zamiast u=u0
h-
interpolacja warunku brzegowego ekstrapolacja warunku brzegowego
3
MES1_Wykład 2_PRZEDSTAWIENIE METOD PRZYBLIŻONYCH NA PRZYKAADZIE RÓWNANIA POISSONA.doc
a) b)
y
y
x x
c)
y
d)
y
r
x
x
h
e)
6
g
l
4
0
1
2
3
5
Przykłady regularnych siatek MRS
4
MES1_Wykład 2_PRZEDSTAWIENIE METOD PRZYBLIŻONYCH NA PRZYKAADZIE RÓWNANIA POISSONA.doc
Metoda Elementów Brzegowych
Można przedstawić brzegowe równanie całkowe, które stanowi sformułowanie równoważne dla zagadnienia Poissona:
"u(x)u x
* * *
c()u()+ (,)d(x)= (,)d(x)+ (,)d&!(x)
+"u(x)q x +" +"f(x)u x
"n
&!
Funkcje u* i q* zależą od położenia dwóch punktów:
c(- punkt żródłowy, (x)
) u - punkt obserwacyjny
x
2
c() - współczynnik równy na gładkim konturze lub 1 wewnątrz obszaru &!.
n
n2 n
1 1
ł ł
Rozwiązanie fundamentalne (znane w teorii r-ń całkowych): u" = ( , x) = ln , (36)
&!
n1
ł ł
2Ą r
ł łł
r2 x
r
r
r= (x1-1)2+(x2-2)2 .
x
q
r1
"u"(, x)
Funkcja q* określona jest przez pochodną kierunkową u* : q"(, x) =u . (37)
"n
=
u q
"u" "u"
q" = " n1 + "n2,
"x1 "x2 ,
x
1
Dokonując różniczkowania, otrzymamy:
-(r1 " n1 + r2 " n2)
q" = ,
2Ąr2
gdzie ri=xi-i , i=1,2, n=n1,n2 jest jednostkowym wektorem zewnętrznym, normalnym do brzegu
.
"u(x)
u(x) q(x) =
Brzegowe równanie całkowe wiąże ze sobą nieznaną funkcją i jej pochodną normalną na brzegu .
"n
5
MES1_Wykład 2_PRZEDSTAWIENIE METOD PRZYBLIŻONYCH NA PRZYKAADZIE RÓWNANIA POISSONA.doc
Schemat rozwiązania numerycznego
1. Brzeg
dzielimy na LE elementów brzegowych, będących odcinkami lub krzywoliniowymi segmentami
u(x) q(x)
2. Na każdym elemencie brzegowym aproksymujemy funkcje i
(np. u(Pi), q(Pi) stałe na elementach brzegowych)
3. Przekształcamy równanie całkowe dla każdego węzła () w algebraiczne r-nie liniowe
c( )
LE LE
*
1
u(Pi)= q*(Pi , x)u(Pj)dj + f(x)u*(Pi , x)d&!, i = 1,2,...LE
" i "
2
+"u(P , x)q(Pj)dj - +" +"
j=1 j=1
j j &!
LE LE
x2
* *
1
u(Pi)=
"U q(Pj)-"Q u(Pj)+ fi , i = 1,2,...LE,
ij ij
2
j=1 j=1
fi = f(x)u*(Pi , x)d&!(x)
Pj
+"
&!
r
1
" "
u = ł łł q
{} {}- ł łł u + f
{} { }
.
łU ł łQ ł
2
u(Pj )
LE liniowych równań z niewiadomymi: (jeśli punkt Pj "q ) lub q(Pi ) (jeśli Pi "u )
Pi
x1
A y= b
[ ]{}{}
Ostatecznie:
Rozwiązanie {y} przedstawia poszukiwane wartości brzegowe u i q.
Macierz A pełna i niesymetryczna
u(x) q(x)
4. Rozwiązanie - daje pełną informację o funkcji i jej pochodnej na brzegu
6
MES1_Wykład 2_PRZEDSTAWIENIE METOD PRZYBLIŻONYCH NA PRZYKAADZIE RÓWNANIA POISSONA.doc
Metoda Elementów Skończonych
x
2
węzły elementy
Równoważne (dla zadania Poissona) zadanie minimalizacji funkcjonału:
łł ł2 ł "u ł2 łł
1 "u
I (u) = + - 2 f (x1, x2)uśłd&! - ud,
obszar
ł 0
+"ł +"q
2 "x1 ł ł "x2 ł e
ł śł
&! q
łł łł ł łł ł
gdzie funkcja u spełnia warunek Dirichleta:
u(x)=u0, x "u
kontur
1. Dyskretyzacja obszaru rozwiązania &! &!
&! na elementy &!i , i=1,LE,
&! &!
&! &!
połączone w węzłach
x
1
LE
&! = i &!iI&! = 0 i`"j ,
U&! j
e
i=1
2. Aproksymacja funkcji u(x) w elemencie skończonym za pomocą funkcji kształtu i nieznanych parametrów węzłowych ui
u(x ,x )
1 2
LWE
Aproksymacja funkcji u(x,y)
u5
u(x1, x2)= (x1, x2)ui
"N
i
wewnątrz elementu &!e
i=1
x2
LWE liczba węzłów w elemencie
u6
5
u4
ui , i = 1,...,LWE - wartości węzłowe poszukiwanej funkcji,
6
4
u3
Ni(x1,x2) funkcje kształtu
u7
e
3
7
u2
3. Postać dyskretna funkcjonału
u8
8 2
LE LK
łł ł2 ł ł2 łł
1 "u "u
I (u) E" łł + - 2 f (x1, x2)uśłd&!i - q0ud
" " j
1 u1 LWE=8
+" +"
2 "x1 ł ł "x2 ł
i=1 ł śł j=1
&!i
j
łł łł ł łł ł
x 7
1
MES1_Wykład 2_PRZEDSTAWIENIE METOD PRZYBLIŻONYCH NA PRZYKAADZIE RÓWNANIA POISSONA.doc
Wewnątrz każdego elementu mamy:
LWE
"u
i
=
""N ui,
"x1 i=1 "x1
LWE
"u
i
=
""N ui.
"x2 i=1 "x2
ui, i=1,2,..., LW
W ten sposób zastępujemy funkcjonał I za pomocą funkcji wielu zmiennych , gdzie LW oznacza liczbę węzłów w
elemencie. W postaci macierzowej funkcja ta ma postać:
k11 k12 k13 K k1LW ńł ł
ł łł u1 b1
ńł ł
LW
ł śł
ł ł ł ł
k21 k22 k23
u2 b2
ł śł
ł ł ł ł
1
ł ł ł
ł k31 k32 śł - łu1,u2,u3,K,uLW śł b3 ł
I(u) H" ,u2,u3,...,uLW ł u3 ł
ł śł
ł żł ł żł
łu1
ł m
2
ł śł
ł ł
K
Kł Kł
ł śł
ł ł ł ł
ł
kLW1 kLW LW śł ł ł
uLW ł ł
bLW
ół ł ół ł
ł ł
elementy
zerowe
1
IH"
ł [ ]{}-ł {}
łuśłK u łuśłb .
ł ł
2
1LW LWLW LW1 1LW LW1
Warunkiem koniecznym minimum tej funkcji jest zerowanie się wszystkich pochodnych cząstkowych:
"I
= 0, i=1,K, LW .
"ui
Stąd:
K u = b
[ ]{} {}
, (+ warunki brzegowe)
Układ równań algebraicznych liniowych z nieznanymi wartościami węzłowymi poszukiwanej funkcji.
8
MES1_Wykład 2_PRZEDSTAWIENIE METOD PRZYBLIŻONYCH NA PRZYKAADZIE RÓWNANIA POISSONA.doc
9
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
wyklad 2 mesl ekonomiczna w starozytnosci na przykladzie ArystotelesaMotywacyjna rola systemu wynagrodzen na przykladzie przedsiebiorstwa Pol Hun [ www potrzebujegotowkiPrzedstaw cechy dramatu awangardowego na przykładzie SzewcówDyfuzja innowacji produktowych w przedsiębiorstwie na przykładzie XXXZnaczenie korytarzy ekologicznych dla funkcjonowania obszarów chronionych na przykładzie GorcówCzłowiek wobec przestrzeni Omów na przykładzie Sonetó~4DBorigin dopasowanie gausem na przykladzie wahadla matematycznegoIdentyfikacja leśnych siedlisk przyrodniczych NATURA 2000 na przykładzie Nadleśnictwa Oleśnica ŚląskNurty poezji barokowej Scharakteryzuj na przykładachPrzemoc seksualna wobec kobiet analiza zjawiska na przykładzie historii Kuby Rozpruwacza41 Scharakteryzuj oddzialywania czasteczkowe na przykladzie wykresuPoeci współcześni o roli poezji Powołaj się na przykładyKSZTAŁTOWANIE PROCESÓW W OBSZARZE DYSTRYBUCJI NA PRZYKŁADZIE BROWARU XYZwięcej podobnych podstron