1
Zbiory w Rn
" Otoczeniem punktu a " Rn o promieniu ´ > 0 nazywamy
zbiór punktów x " Rn , których odległość od punktu a jest
mniejsza od ´ , co zapisujemy
U(a, ´) = { x " Rn : d(a, x) < ´ } .
Powyzszy zbiór często jest nazywamy kulą otwartą o środku w
punkcie a i promieniu ´ .
" Niech A będzie podzbiorem przestrzeni Rn . Punkt
a " A nazywamy punktem wewnętrznym zbioru A , gdy istnieje
otoczenie U(a, ´) tego punktu zawarte w zbiorze A .
" Zbiór wszystkich punktów wewnętrznych zbioru A oznaczać
będziemy symbolem Int A i nazywać jego wnętrzem.
2
" Zbiór A nazywamy otwartym, gdy pokrywa się on ze swoim
wnętrzem, a więc gdy każdy jego punkt jest punktem wewnętrznym.
" Zbiór A nazywamy domkniętym, gdy jego dopełnienie Rn - A
jest zbiorem otwartym.
" Punkt a nazywamy punktem brzegowym zbioru A , jeżeli
dowolne otoczenie punktu a zawiera punkty ze zbioru A jak i
z jego dopełnienia.
" Zbiór punktów brzegowych zbioru A nazywamy jego brzegiem.
" Zbiór A nazywamy ograniczonym, jeżeli istnieją punkt a " Rn
i M > 0 takie, że zbiór A jest zawarty w kuli o środku w a i
promieniu M .
3
Funkcje wielu zmiennych
Definicja (Funkcji dwóch (trzech) zmiennych)
FunkcjÄ… f okreÅ›lonÄ… na zbiorze D ‚" R2 (R3) o wartoÅ›ciach w
R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru D
dokładnie jednej liczby rzeczywistej.
f : D R
z = f(x, y) (x, y) " D
( w = f(x, y, z) (x, y, z) " D )
" Zbiór D ‚" R2 (R3) nazywamy dziedzinÄ… funkcji f .
" Zbiór Wf = { z " R : z = f(x, y), (x, y) " D }
4

Wf = { w " R : w = f(x, y, z), (x, y, z) " D } nazywamy
zbiorem wartości funkcji f .
Uwaga Jeżeli dany jest tylko wzór określający funkcję, to zbiór
punktów płaszczyzny, dla których wzór ten ma sens, nazywamy dziedziną
naturalnÄ… funkcji.
Przykład Wyznacz i narysuj zbiór będący dziedziną naturalną
funkcji:

1
a) f(x, y) = + 9 - x2 - y2
xy
"
b) f(x, y) = 1 - x2 · arccos y
c) f(x, y, z) = ln(4 - x2 - y2 - z2)

"
d) f(x, y) = arcsin y - x
5
Definicja Wykresem funkcji f (dwóch zmiennych) nazywamy
zbiór
Å„Å‚ üÅ‚
òÅ‚ żł
( x, y, f(x, y) ) " R3 : (x, y) " D .
ół þÅ‚
Przykład Wyznaczyć dziedzinę i narysować wykres funkcji:

a) f(x, y) = 4 - x2 - y2

b) f(x, y) = 1 + x2 + y2
1
c) f(x, y) = 1 - x2 - y2
9
d) f(x, y) = x2
6
Definicja Funkcja f : D R jest ograniczona, jeżeli istnieje
liczba rzeczywista M taka, że dla dowolnego punktu (x, y) " D
( (x, y, z) " D ) zachodzi
| f(x, y) | M.
( | f(x, y, z) | M. )
Przykład Czy funkcje z poprzedniego przykładu są funkcjami
ograniczonymi?
7
Granica funkcji wielu zmiennych
Definicja (Zbieżności ciągu punktów w R2 lub R3 )
Mówimy, że ciąg punktów płaszczyzny (przestrzeni)
{ Pn } = { (xn, yn) } ( { Pn } = { (xn, yn, zn) } ) jest zbieżny do
punktu P0 = (x0, y0) ( P0 = (x0, y0, z0) ) , co zapisujemy
lim Pn = P0,
n"
wtedy i tylko wtedy, gdy
lim xn = x0 oraz lim yn = y0.
n" n"
ëÅ‚ öÅ‚
íÅ‚ Å‚Å‚
lim xn = x0, lim yn = y0 oraz lim zn = z0 .
n" n" n"
8
Przykład Zbadać, czy podane ciągi są zbieżne:
"
2 n + 1
n
a) Pn = ( logn+1 2 , ), b) Pn = ( n , , 4 )
n n
Definicja (Granicy funkcji dwóch (trzech) zmiennych)
Niech P0 " R2 ( R3 ) oraz niech funkcja f będzie określona
przynajmniej w sÄ…siedztwie punktu P0 . Liczba g jest granicÄ…
właściwą funkcji f w punkcie P0 , co zapisujemy,
lim f( P ) = g,
P P0
wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ciągu { Pn } , takiego, że
Pn " S(P0) ‚" D , zachodzi
lim Pn = P0 =Ò! lim f(Pn) = g.
n" n"
9
Uwaga
" Definicję powyższą nazywamy definicją Heinego granicy funkcji
wielu zmiennych.
" Definicja powyższa nie zmieni się, jeżeli g = ą" .
" Granica sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu funkcji wielu zmiennych
jest odpowiednio sumą, różnicą, iloczynem, lorazem granic.
Przykład Obliczyć następujące granice:
tg xy x3-x2y+2xy-2y2
a) lim b) lim
y x-y
(x,y)(2,0) (x,y)(1,1)
sin(x3+y3)
x2+y2
"
c) lim d) lim
x2+y2
x2+y2+1 - 1
(x,y)(0,0) (x,y)(0,0)
10
Uwaga Granica funkcji f w punkcie P0 nie istnieje, jeżeli

istnieją dwa ciągi Pn i Pn zbieżne do punktu P0 takie, że

lim f( Pn ) = g oraz lim f( Pn ) = g ,
n" n"
gdzie g = g .

Przykład Wykazać, że następujące granice nie istnieją:
xy2
sin x
a) lim b) lim
sin y
x2+y4
(x,y)(0,0) (x,y)(Ä„,0)
11
Pochodne cząstkowe funkcji dwóch zmiennych
Definicja (Pochodnych cząstkowych rzędu pierwszego)
Niech funkcja f będzie określona co najmniej w otoczeniu punktu
(x0, y0) .
" Pochodną cząstkową pierwszego rzędu funkcji f względem x
w punkcie (x0, y0) określamy wzorem:
"f f(x0 + "x, y0) - f(x0, y0)
(x0, y0) = lim .
"x0
"x "x
Pochodną tą oznaczamy także symbolem: fx(x0, y0) .
" Pochodną cząstkową pierwszego rzędu funkcji f względem y
w punkcie (x0, y0) określamy wzorem:
12
"f f(x0, y0 + "y) - f(x0, y0)
(x0, y0) = lim .
"y0
"y "y
Pochodną tą oznaczamy także symbolem: fy(x0, y0) .
Przykład Korzystając z definicji obliczyć pochodne cząstkowe
x
pierwszego rzędu funkcji f(x, y) = w punkcie (-1, 1) .
y
Przykład Wykazać, że nie istnieją pochodne czastkowe rzędu

pierwszego funkcji f(x, y) = x2 + y2 w punkcie (0, 0) .
13
Pochodne czÄ…stkowe funkcji trzech zmiennych
Definicja (Pochodnych cząstkowych rzędu pierwszego)
Niech funkcja f będzie określona co najmniej w otoczeniu punktu
(x0, y0, z0) .
" Pochodną cząstkową pierwszego rzędu funkcji f względem x
w punkcie (x0, y0, z0) określamy wzorem:
"f f(x0 + "x, y0, z0) - f(x0, y0, z0)
(x0, y0, z0) = lim .
"x0
"x "x
Pochodną tą oznaczamy także symbolem: fx(x0, y0, z0) .
" Pochodną cząstkową pierwszego rzędu funkcji f względem y
w punkcie (x0, y0, z0) określamy wzorem:
14
"f f(x0, y0 + "y, z0) - f(x0, y0, z0)
(x0, y0, z0) = lim .
"y0
"y "y
Pochodną tą oznaczamy także symbolem: fy(x0, y0, z0) .
" Pochodną cząstkową pierwszego rzędu funkcji f względem z
w punkcie (x0, y0, z0) określamy wzorem:
"f f(x0, y0, z0 + "z) - f(x0, y0, z0)
(x0, y0, z0) = lim .
"z0
"z "z
Pochodną tą oznaczamy także symbolem: fz(x0, y0, z0) .
15
Definicja (Pochodnych czÄ…stkowych na zbiorze otwartym)
Jeżeli funkcja f ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w każdym
punkcie zboru otwartego D ‚" R2 (R3) , to funkcje:
"f "f
(x, y) (x, y),
"x "y
ëÅ‚ öÅ‚
"f "f "f
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
(x, y, z) (x, y, z) (x, y, z),
íÅ‚ Å‚Å‚
"x "y "z
gdzie (x, y) " D ( (x, y, z) " D ) , nazywamy pochodnymi czÄ…stkowymi
pierwszego rzędu funkcji f na zborze D i oznaczamy odpowiednio
ëÅ‚ öÅ‚
"f "f "f
íÅ‚ Å‚Å‚
, lub fx , fy ( fz ) .
"x "y "z
16
Uwaga
" Przy obliczaniu pochodnej cząstkowej względem jednej zmiennej,
drugą zmienną traktujemy jako stałą.
" Do obliczania pochodnych cząstkowych można stosować reguły
różniczkowania funkcji jednej zmiennej, tj. wzory na pochodne
sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu, pochodne funkcji złożonej.
Przykład Obliczyć pochodne cząskowe rzędu pierwszego następujących
funkcji:
x2-y2
a) f(x, y) =
2xy+x+y
b) f(x, y) = xy + yx + 5
"
c) f(x, y) = arctg (y x) + sin2(3x2 + xy - 5y3)
xz
d) f(x, y, z) = arctg z
2y
17
Pochodne cząstkowe rzędu drugiego
Definicja (Pochodnych cząstkowych rzędu drugiego funkcji dwóch
zmiennych)
"f
Niech funkcja f ma pochodne cząstkowe rzędu pierwszego ,
"x
"f
co najmniej w otoczeniu punktu (x0, y0) . Pochodne czÄ…stkowe
"y
rzędu drugiego funkcji f w punkcie (x0, y0) określamy wzorem:
ëÅ‚ öÅ‚
"2 f " "f
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
(x0, y0) = (x0, y0)
íÅ‚ Å‚Å‚
" x2 "x "x
ëÅ‚ öÅ‚
"2 f "f "f
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
(x0, y0) = (x0, y0),
íÅ‚ Å‚Å‚
"x "y "x "y
18
ëÅ‚ öÅ‚
"2 f " "f
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
(x0, y0) = (x0, y0)
íÅ‚ Å‚Å‚
"y "x "y "x
ëÅ‚ öÅ‚
"2 f "f "f
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
(x0, y0) = (x0, y0).
íÅ‚ Å‚Å‚
" y2 "y "y
Powyższe pochodne oznacza się także symbolami: fxx(x0, y0) ,
fxy(x0, y0) , fyx(x0, y0) , fyy(x0, y0) .
Uwaga Analogicznie definiujemy pochodne cząstkowe rzędu drugiego
funkcji trzech zmiennych: fxx(x0, y0, z0) , fxy(x0, y0, z0) , fxz(x0, y0, z0)
fyx(x0, y0, z0) , fyy(x0, y0, z0) , fyz(x0, y0, z0) , fzx(x0, y0, z0) ,
fzy(x0, y0, z0) , fzz(x0, y0, z0) .
19
Definicja (Pochodnych cząstkowych rzędu drugiego funkcji dwóch
zmiennych na zbiorze otwartym)
Jeżeli funkcja f ma pochodne cząstkowe rzędu drugiego w każdym
punkcie zboru otwartego D ‚" R2 , to funkcje:
"2 f "2 f "2 f "2 f
(x, y) (x, y) (x, y) (x, y)
" x2 "x "y "y "x " y2
gdzie (x, y) " D , nazywamy pochodnymi czastkowymi rzędu drugiego
na zbiorze D .
Uwaga Analogicznie definiujemy pochodne cząstkowe rzędu drugiego
funkcji trzech zmiennych na zbiorze otwartym D ‚" R3 .
20
Przykład Obliczyć pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:
a) f(x, y) = sin xy
x2-y2
b) f(x, y) =
xy
c) f(x, y, z) = x3 + z3 + 3xyz
Twierdzenie (Schwartza o pochodnych mieszanych)
Jeżeli pochodne cząstkowe mieszane, różniące się kolejnością
różniczkowania, są ciagłe, to są sobie równe.
Przykład Sprawdz
, czy pochodne czÄ…stkowe mieszane funkcji z
poprzedniego przykładu spełniają założenia twierdzenia Schwartza.
21
Płaszczyzna styczna do wykresu funkcji dwóch zmiennych
"f "f
Niech funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe , w
"x "y
punkcie (x0, y0) . Wówczas płaszczyzna styczna do wykresu funkcji
f w punkcie (x0, y0, f(x0, y0)) ma postać:
"f "f
z - f(x0, y0) = (x0, y0) (x - x0) + (x0, y0) (y - y0).
"x "y
Przykład Napisać równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji
Ä„
f w punkcie (1, 0, ) , jeżeli:
4
arctg x
f(x, y) = .
1 + y2
22
Różniczka zupełna funkcji
"f "f
Definicja Niech funkcja f ma pochodne czÄ…stkowe ,
"x "y
ëÅ‚ öÅ‚
"f
íÅ‚ Å‚Å‚
w punkcie (x0, y0) ( (x0, y0, z0) ) . Różniczką zupełną funkcji
"z
f w punkcie (x0, y0) ( (x0, y0, z0) ) nazywamy funkcjÄ™ df (x0, y0)
( df (x0, y0, z0) ) zmiennych "x, "y ( "z ) określoną wzorem:
"f "f
df (x0, y0) ( "x, "y ) = (x0, y0) "x + (x0, y0) "y
"x "y
ëÅ‚
"f
ìÅ‚
ìÅ‚
ìÅ‚
df (x0, y0, z0) ( "x, "y, "z) = (x0, y0, z0) "x +
íÅ‚
"x
öÅ‚
"f "f
÷Å‚
÷Å‚
÷Å‚
+ (x0, y0, z0) "y + (x0, y0, z0) "z .
Å‚Å‚
"y "z
Rózniczkę funkcji f oznaczamy krótko df .
23
Uwaga Niech funkcja f ma pochodne cząstkowe rzędu pierwszego
w punkcie (x0, y0) ( (x0, y0, z0) ) . Wtedy
"f "f
f (x0+"x, y0+"y) H" f(x0, y0) + (x0, y0) "x + (x0, y0) "y
"x "y
( f (x0 + "x, y0 + "y, z0 + "z) H" f(x0, y0, z0) +
öÅ‚
"f "f "f
÷Å‚
÷Å‚
÷Å‚
+ (x0, y0, z0) "x + (x0, y0, z0) "y + (x0, y0, z0) "z .
Å‚Å‚
"x "y "z
Przykład Korzystając z różniczki zupełnej obliczyć wartość przybliżoną
wyrażenia:



3

(2, 06)2 + (1, 97)2 .
24
Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych
Definicja Funkcja f ma w punkcie (x0, y0) minimum (maksimum)
lokalne, jeżeli istnieje otoczenie tego punktu takie, że dla dowolnego
(x, y) z tego otoczenia zachodzi nierówność:
f(x, y) f(x0, y0)
( f(x, y) f(x0, y0) ) .
Przykład Zbadać z definicji, czy funkcja f(x, y) = 5 + x6 + |y|
ma w punkcie (0, 0) ekstremum.
25
Twierdzenie (Warunek konieczny istnienia ekstremum)
"f "f
Załóżmy, że funkcja f ma pochodne cząstkowe , w
"x "y
punkcie (x0, y0) . Wówczas jeżeli funkcja f ma ekstremum w
punkcie (x0, y0) , to
"f "f
(x0, y0) = (x0, y0) = 0.
"x "y
Twierdzenie (Warunek dostateczny istnienia ekstremum)
Niech funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe rzędu drugiego w
otoczeniu punktu (x0, y0) oraz niech
"f "f
" (x0, y0) = (x0, y0) = 0
"x "y
26
"




"2 f "2 f


(x0, y0) (x0, y0)

"x "y

" x2





W = > 0.






"2 f "2 f


(x0, y0) (x0, y0)

"y "x

" y2
Wtedy funkcja f ma w punkcie (x0, y0) ekstremum lokalne
właściwe i jest to:
"2 f
" minimum, gdy (x0, y0) > 0 ,
" x2
"2 f
" maksimum, gdy (x0, y0) < 0 .
" x2
Uwaga Gdy wyznacznik w powyższym twierdzeniu jest ujemny,
to funkcja f nie ma ekstremum w punkcie (x0, y0) . W przypadku,
gdy wyznacznik ten jest równy 0, to badanie, czy funkcja f ma
ekstremum przeprowadzamy innymi metodami (np. z definicji).
27
Przykład Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji:
a) f(x, y) = 3x3 + 3x2y - y3 - 15x
b) f(x, y) = ex-y (x2 - 2y2)
28
Ekstrema lokalne funkcji trzech zmiennych
Definicja Funkcja f ma w punkcie (x0, y0, z0) minimum
(maksimum) lokalne, jeżeli istnieje otoczenie tego punktu takie, że
dla dowolnego (x, y, z) z tego otoczenia zachodzi nierówność:
f(x, y, z) f(x0, y0, z0)
( f(x, y, z) f(x0, y0, z0) ) .
Twierdzenie (Warunek konieczny istnienia ekstremum)
"f "f "f
Załóżmy, że funkcja f ma pochodne cząstkowe , , w
"x "y "z
punkcie (x0, y0, z0) . Wówczas jeżeli funkcja f ma ekstremum w
punkcie (x0, y0, z0) , to
29
"f "f "f
(x0, y0, z0) = (x0, y0, z0) = (x0, y0, z0) = 0.
"x "y "z
Twierdzenie (Warunek dostateczny istnienia ekstremum)
Niech funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe rzędu drugiego w
otoczeniu punktu (x0, y0, z0) . Oznaczmy
"2 f
W1(x0, y0, z0) = (x0, y0, z0)
" x2




"2 f "2 f


(x0, y0, z0) (x0, y0, z0)

"x "y

" x2





W2(x0, y0, z0) =






"2 f "2 f


(x0, y0, z0) (x0, y0, z0)

"y "x

" y2
30
W3(x0, y0, z0) =




"2 f "2 f "2 f


(x0, y0, z0) (x0, y0, z0) (x0, y0, z0)

"x "y "x "z

" x2



"2 f "2 f "2 f

=
(x0, y0, z0) (x0, y0, z0) (x0, y0, z0)


"y "x "y "z
" y2




"2 f "2 f "2 f


(x0, y0, z0) (x0, y0, z0) (x0, y0, z0)


"z "x "z "y
" z2
Wówczas, jeżeli
"f "f "f
" (x0, y0, z0) = (x0, y0, z0) = (x0, y0, z0) = 0
"x "y "z
" W1 (x0, y0, z0) > 0, W2 (x0, y0, z0) > 0, W3 (x0, y0, z0) > 0
(W1 (x0, y0, z0) < 0, W2 (x0, y0, z0) > 0, W3 (x0, y0, z0) < 0),
to funkcja f ma w punkcie (x0, y0, z0) minimum (maksimum)
lokalne właściwe.
31
Uwaga Gdy wyznacznik W2 w powyższym twierdzeniu jest
ujemny, to funkcja f nie ma ekstremum w punkcie (x0, y0, z0) .
Przykład Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji:
f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 - xy + x + 2z.
32
Wartość najmniejsza i największa funkcji dwóch zmiennych
na zbiorze domkniętym
Twierdzenie (Weierstrassa o osiąganiu kresów)
Jeżeli funkcja f jest określona i ciągła na zbiorze D domkniętym
i ograniczonym, to jest ona ograniczona oraz w zbiorze D istniejÄ…
punkty Pm i PM takie, że:
f(Pm) = min f(P )
P "D
i
f(PM) = max f(P ).
P "D
33
Algorytm wyznaczania wartości najmniejszej i największej funkcji:
" szukamy ewentualnych ekstremów lokalnych we wnętrzu zbioru
D
" brzeg obszaru D dzielimy na kawałki, dające się opisać wzorem:
y = p(x) lub x = p(y) , a nastepnie wyznaczamy ewentualne
ekstrema lokalne funkcji jednej zmiennej f(x, p(x)) lub f(p(y), y)
" obliczamy wartości funkcji f(x, y) we wszystkich wcześniej
wyznaczonych punktach, a następnie wyszukujemy te, w których
funkcja osiąga wartość najmniejszą i najwiekszą.
Przykład W trójkącie ograniczonym prostymi x = 0, y =
0, x + y = -4 znalez
ć najmniejszą i największą wartość funkcji
f(x, y) = xy - x(x + 1) - y(y + 1) .
34
Przykład Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji
f(x, y) = xy - x(x + 1) - y(y + 1) na zbiorze

D = (x, y) " R2 : x2 + y2 25, y 3 .
Przykład Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji
f(x, y) = 3x + 4y w obszarze mieszczącyn się między krzywymi
y = ln x , y = - ln x i prawą połówką okręgu (x - e)2 + y2 = 1 .
35
Pochodne funkcji złożonej
Twierdzenie (O pochodnej funkcji złożonej) Niech
" funkcje x = x(t), y = y(t) mają pochodne właściwe w punkcie
t0
" funkcja z = f(x, y) ma ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego
rzędu w punkcie (x(t0), y(t0)) .
Wtedy funkcja złożona F (t) = f(x(t), y(t)) ma pochodną właściwą
w punkcie t0 oraz
dF "f dx "f dy
= · + · ,
dt "x dt "y dt
dy
dx
gdzie pochodne , sÄ… obliczane w punkcie t0 , a pochodne
dt dt
"f "f
, sÄ… obliczane w punkcie (x(t0), y(t0)) .
"x "y
36

Przykład Obliczyć F (t) , jeżeli F (t) = f(x(t), y(t)) i x(t) =
sin2 t oraz y(t) = ln t .
Twierdzenie (O pochodnych cząstkowych funkcji złożonej) Niech
" funkcje x = x(u, v), y = (u, v) majÄ… pochodne czÄ…stkowe
pierwszego rzędu w punkcie (u0, v0)
" funkcja z = f(x, y) ma ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego
rzędu w punkcie (x(u0, v0), y(u0, v0)) .
Wtedy funkcja złożona F (u, v) = f(x(u, v), y(u, v)) ma w punkcie
(u0, v0) pochodne cząstkowe pierwszego rzędu oraz
"F "f "x "f "y
= · + · ,
"u "x "u "y "u
37
"F "f "x "f "y
= · + · ,
"v "x "v "y "v
"y "y
"x "x
gdzie pochodne , , , sÄ… obliczane w punkcie (u0, v0) ,
"u "v "u "v
"f "f
a pochodne , sÄ… obliczane w punkcie (x(u0, v0), y(u0, v0)) .
"x "y
Przykład Obliczyć pochodne cząstkowe funkcji F = f(x, y) ,
gdzie x = u cos v i y = u sin v .
38
Funkcje uwikłane
Definicja Funkcją uwikłaną określoną przez warunek F (x, y) = 0
nazywamy każdą funkcję y = y(x) spełniającą równość
F (x, y(x)) = 0
dla wszystkich x z pewnego przedziału I .
Analogicznie definiujemy funkcję uwikłaną postaci x = x(y) .
Przykład Naszkicować wykresy wszystkich uwikłanych funkcji
ciągłych postaci y = y(x) o maksymalnych dziedzinach, które są
określone przez warunek:
x2 + y2 = 9 .
39
Twierdzenie (O istnieniu i rózniczkowalności funkcji uwikłanej)
Niech funkcja F ma pochodne cząstkowe rzędu pierwszego w
otoczeniu punktu (x0, y0) oraz niech spełnia warunki:
" F (x0, y0) = 0
"F
" (x0, y0) = 0

"y
Wówczas na pewnym otoczeniu U(x0) istnieje jednoznacznie określona
funkcja uwikłana y = y(x) spełniająca warunki:
" y0 = y(x0)
"F
(x, y(x))
"x
" y (x) = - dla każdego x " U(x0) .
"F
(x, y(x))
"y
Uwaga Jeżeli ponadto funkcja F ma pochodne cząstkowe rzędu
drugiego w otoczeniu punktu (x0, y0) , to funkcja uwikłana
40
y = y(x) jest dwukrotnie różniczkowalna w pewnym otoczeniu
U(x0) i jej pochodna wyraża się wzorem:
Fxx (Fy)2 - 2 Fxy Fx Fy + Fyy (Fx)2
y = - .
(Fy)3
Przykład Obliczyć pierwszą i drugą pochodną funkcji uwikłanych
y = y(x) określonych podanymi równaniami:
a) y - arctg y - x3 = 0
b) x ey + y ex - 2 = 0 w punkcie x0 = 0 .


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
funwzm23
funwzm
funwzm

więcej podobnych podstron