Tadeusz Sozański
Paradoksy preferencji grupowych: twierdzenia Arrowa i Sena
Notatka dla słuchaczy kursu
Teoria gier i decyzji z elementami teorii wyboru społecznego
Maj 1993 Maj 2004
Profile preferencji
Niech X={x1,& ,xm} oznacza zbiór opcji (zwanych też alternatywami społecznymi'), zaS N={1,& ,n}
zbiór decydentów (lub, przy drugiej interpretacji, zbiór kryteriów, które jeden decydent stosuje do
oceny opcji). Zbiór relacji preferencji na X oznaczmy R; R R wtedy i tylko wtedy, z definicji, gdy
relacja R jest zwrotna (xRx), przechodnia (xRy i yRz pociąga za sobą xRz) i spójna (xRy lub yRx).
Niech P i I oznaczają odpowiednio podyktowane przez R relacje preferencji Scisłej (xPy wtedy i tylko
wtedy gdy xRy i -yRx) i indyferencji (xIy wtedy i tylko wtedy gdy xRy i yRx).
Przykład. Niech X = {x,y,z}. Zbiór R ma wtedy 13 elementów. Są to relacje, które można
zanotować następująco
R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8 R9 R10 R11 R12 R13
x x y y z z x y z x-y x-z y-z x-y-z
y z x z x y y-z x-z x-y z y x
z y z x y x
Dla R1 mamy xP1y, yP1z (opcja x jest przedkładana ponad y, a y ponad z), a z przechodnioSci
xP1z. Relacja indyferencji I1 zachodzi tylko między elementami identycznymi. W R7 mamy xP7y i xP7z
(x jest lepsze od y i z) oraz yI7z (opcje y i z są jednakowo dobre).
Załóżmy, że zbiór N ma conajmniej dwa elementy (n 2). Profilem preferencji indywidualnych w
zbiorze N nazywamy każdą uporządkowaną n-tkę (R1,& ,Rn) elementów R. Relację Ri (nie mylić z
oznaczeniami zastosowanymi w przykładzie) interpretujemy jako relację preferencji, którą posługuje
się i-ty decydent porównując opcje ze zbioru X (lub relację odpowiadającą i-temu kryterium oceny
opcji stosowanemu przez jednego decydenta). Zbiór profili oznaczmy Rn. Dla n=2 zbiór ten liczy więc
13 13=169 elementów.
Niech zbiór D oznacza niepusty podzbiór Rn złożony z profili okreSlonych jako dopuszczalne, czyli
te które teoretycznie mogą pojawić się w grupie N. Zbiór D może zawierać profile, w których
występuje konflikt preferencji. Dla przykładu załóżmy, że N={1,2,3}, X={x,y,z}. Rozważmy następujący
profil.
R1 R2 R3
x y z
y z x
z x y
Mamy zatem trzy osoby, z których każda na pierwszym miejscu stawia inną opcję. Powstaje pytanie
jak skonstruować wspólną dla trójosobowej grupy relację opisującą kompromisowy sposób
wartoSciowania tych opcji przez grupę jako całoSć, umożliwiający też grupie wybranie najlepszego
elementu spoSród elementów danego podzbioru Y zbioru X. Z pozoru najwłaSciwszym rozwiązaniem
wydaje się zastosowanie reguły zwykłej większoSci do porównywania opcji parami. Zauważmy, że
dwie osoby (1 i 3) wolą x od y, jak również dwie osoby (1 i 2) wolą y od z, a zatem grupa powinna
przedkładać opcję x nad y, a y nad z. JeSli okreSlona w ten sposób relacja miałaby być przechodnia,
wówczas trójka powinna przedkładać x nad z. Tymczasem jest odwrotnie, bo dwie osoby (2 i 3) wolą
z od x. Fakt ten pierwszy zauważył markiz Antoine de Condorcet (odkryłby może jeszcze inne fakty,
lecz w 1794 roku padł ofiarą jakobińskiego terroru).
Funkcja społecznego dobrobytu
JeSli relacja preferencji przypisana grupie ma mieć te same własnoSci co relacja wyrażająca
wartoSciowanie jednostki, a więc w szczególnoSci ma być przechodnia, wówczas reguła zwykłej
większoSci nie spełnia swojego zadania. Kenneth Arrow, autor Social Choice and Individual Values
(1951), uznał, że wartoSciowanie grupowe powinno być przechodnie, co oznacza, że rozwiązaniem
problemu może być jedynie funkcja, która każdemu dopuszczalnemu profilowi przypisuje jakąS relację
preferencji na zbiorze X, a więc z założenia relację przechodnią.
Funkcję postaci F:D ) R Arrow nazwał funkcją społecznego dobrobytu (social welfare function).
Relacja R=F(R1,& ,Rn) przyporządkowana dopuszczalnemu profilowi (R1,& ,Rn) interpretowana jest
jako sposób wartoSciowania opcji, który powinna zastosować grupa, jeSli jej członkowie indywidualnie
oceniają opcje posługując się odpowiednio relacjami R1,& ,Rn. Przedmiotem badań Arrowa były
warunki, jakie powinny spełniać każda demokratyczna' funkcja społecznego dobrobytu. Główne
twierdzenie, które zostanie niżej przedstawione, stwierdza niemożnoSć pogodzenia ze sobą kilku
postulatów, które z osobna wzięte wydają się rozsądne'. Pierwszym takim postulatem jest żądanie,
by reguła wyznaczania preferencji grupowej miała najszerszy możliwy zakres stosowalnoSci. Postulat
ten oznaczymy numerem 0, gdyż jest najbardziej elementarny; wyznacza on jedynie dziedzinę funkcji
F i nie przesądza sposobu jej okreSlenia.
Postulat 0 (nieograniczonoSć dziedziny).
D=Rn.
Postulat ten głosi, że dopuszczalny jest każdy profil preferencji indywidualnych.
NiezależnoSć od alternatyw nieistotnych
Do sformułowania następnych postulatów będą potrzebne dalsze definicje. Niech Y będzie niepustym
podzbiorem zbioru opcji X ( Y X) in niech R i R' będą dwoma relacjami preferencji na X (R, R' R).
Definicja 1 (zgodnoSci relacji i profili na podzbiorze opcji)
R i R' są zgodne na Y wtedy i tylko wtedy, gdy : xRy xR'y
x,y Y
Dwa profile (R1,& ,Rn), (R' ,& ,R' ) są zgodne na Y wtedy i tylko wtedy, gdy Ri i R' są zgodne na
1 n i
Y dla i=1,& ,n.
PrzypuSmy np. że dwa profile opisują oceny poszczególnych członków grupy w wyrażone w dwu
kolejnych badaniach. ZgodnoSć na Y oznacza, że każdy członek grupy zachował swoje poprzednie
uporządkowamie elementów zbioru Y. Ewentualne różnice mogły się pojawić jedynie przy
porównywaniu opcji należących do zbioru Y z pozostałymi opcjami (elementami X-Y) oraz przy
porównywaniu między sobą opcji spoza Y. Wydaje się naturalne żądać, by w takiej sytuacji grupa jako
2
całoSć zachowała się tak jak poszczególni członkowie, tzn. nie zmieniała wartoSciowania elementów
Y.
Postulat 1 (niezależnoSć od alternatyw nieistotnych).
Dla dowolnego niepustego podzbioru Y zbioru X, jeSli dowolne dwa dopuszczalne profile
(R1,& ,Rn), (R' ,& ,R' ) są zgodne na Y to odpowiadające im relacje grupowe R=F(R1,& ,Rn) i
1 n
R'=F(R' ,& ,R' ) są także zgodne na Y.
1 n
W szczególnoSci zbiór Y może mieć postać {x,y}. Postulat niezależnoSci od alternatyw
nieistotnych (mówi się też niezwiązanych', ang. independence of irrelevant alternatives) oznacza
wówczas, że dla dowolnych dwu różnych opcji x i y to, czy grupa woli x od y, zależy wyłącznie od
tego, jak wyglądają preferencje poszczególnych członków grupy w odniesieniu do tych dwu
elementów bez względu na kontekst. Nieistotne jest zatem jak dane dwa elementy mieszczą się w
ogólnej hierarchii wartoSci danego decydenta, lecz jedynie to, która z nich dwu jest dlań lepsza.
Demokracja
Kolejny postulat uważany jest również za rozsądny'. Idzie w nim o to, by demokratycznie'
uzgodniona preferencja grupy maksymalnie wyrażała preferencje indywiduów i była wrażliwa na
zmianę układu sił', tzn. jeSli więcej osób indywidualnie opowie się za jakąS opcją przeciw innej opcji
to opinia grupy jako całoSci powinna przechylić się' w tę samą stronę. JeSli przy pewnym profilu
preferencji indywidualnych grupa woli x od y, to preferencja grupowa dla tej pary opcji nie ulegnie
odwróceniu, gdy wzroSnie poparcie dla x, tzn. gdy profil ten zmieni tak, że więcej osób będzie wolało
x od y. Bardziej formalnie wyraża to następująca definicja. Niech R,R' R.
Definicja 2 (demokratycznego poparcia)
W R' jest nie mniejsze poparcie dla x przeciw y niż w R wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzą dwie
implikacje
xPy xP'y
xIy (xI'y lub xP'y)
JeSli zatem według relacji R opcja x jest lepsza od y, to także według relacji R' opcja x jest lepsza
od y. JeSli zaS według relacji R opcje x i y są jednakowo dobre, to według relacji R' jest tak samo lub
opcja x jest uważana za lepszą od y. Zauważmy, że jeSli według relacji R opcja y jest gorsza od x
(yPx), to poprzednik obu implikacji jest fałszywy, a zatem bez względu na to jak wartoSciowane są
opcje x i y według relacji R', w R' jest nie mniejsze poparcie dla x przeciw y niż w R.
JeSli relacje R i R' przypisane są jednej osobie, wówczas stosunek między nimi opisuje
ewentualną zmianę poglądów jednostki idącą w okreSlonym kierunku. JeSli dana osoba wolała x od
y, to zmiany nie ma, musi nadal przedkładać x nad y. JeSli osoba ta była początkowo indyferentna,
może pozostać taka, jeSli jednak zmieni zdanie, to będzie to uznanie x za opcję lepsza od y. JeSli
wolała y od x, wszelka zmiana (na indyferencję lub przeciwną preferencję) daje przewagę x. Kolejny
postulat powiada, że jeSli zmiana w tym samym kierunku zachodzi u każdej osoby (niekoniecznie
zmiana musi być jednakowo radykalna u wszystkich), wówczas preferencja grupowa odpowiadająca
nowemu profilowi powinna to odzwierciedlać.
Postulat 2 (demokratyczne okreSlanie preferencji zbiorowych)
Dla każdej uporządkowanej pary opcji (x,y): jeSli dla każdego i poparcie dla x przeciw y w R' jest
i
3
nie mniejsze niż w Ri, to w R'=F(R' ,& ,R' ) jest nie mniejsze poparcie dla x przeciw y niż w
1 n
R=F(R1,& ,Rn).
Postulat ten formalnie oddaje istotną cechę ładu demokratycznego. Grupa powinna iSć za głosem
swoich członków, czy jednak może uchwalić dowolną hierarchię wartoSci, jeSi tylko znajdzie się dla
niej wystarczające społeczne poparcie'?
SuwerennoSć grupy
Zasadę suwerennoSci ludu' także uważa się za istotny składnik demokracji. Aby nadać formalny sens
pojęciu suwerennoSci' w kontekScie teorii Arrowa, musimy podać dalsze definicje. Niech M będzie
podzbiorem zbioru decydentów N (niekoniecznie niepustym). a (x,y) uporządkowaną parą różnych
opcji.
Definicja 3 (zbioru rozstrzygającego)
M nazywa się zbiorem rozstrzygającym dla x przeciw y ze względu na funkcję społecznego
dobrobytu F wtedy i tylko wtedy, gdy (R1,& ,Rn) D i N
( (i M xPiy) xPy), gdzie P odpowiada
R=F(R1,& ,Rn)
Definicja ta oznacza, że jeSli wszyscy członkowie zbioru M wolą x od y, to są w stanie narzucić
grupie N jako całoSci swój wybór. Także wtedy, gdy pozostali decydenci mają wszyscy dokładnie
odwrotne preferencje, tzn. jeSli mamy do czynienia z profilem takim, że xPiy dla i M i yPix dla i N-M.
Dla reguły F wrażliwej na preferencje indywidualne (czyli spełniającej postulat 2), aby sprawdzić, czy
jakiS zbiór jest rozstrzygający dla x przeciw y, wystarczy sprawdzić tylko profile o takiej
spolaryzowanej postaci.
W definicji 3 dopuszczamy także przypadek, gdy zbiór rozstrzygający dla x przeciw y jest pusty.
Mamy wówczas xPy dla każdego dopuszczalnego profilu, a jeSli przyjmiemy postulat 0 dopuszczający
wszystkie możliwe profile, to wybór grupowy xPy musiałby mieć miejsce także wtedy, gdy dla każdego
i N mamy yPix. JeSli chcemy uniknąć takiej sytuacji (x zostaje uznane za lepsze od y, np. ze
względów etycznych, chociaż wszyscy wolą y od x) musimy nałożyć na funkcję F dodatkowe
ograniczenie.
Postulat 3 (nieograniczona suwerennoSć grupy)
Dla każdych różnych x,y X istnieje profil (R1,& ,Rn) D taki, że xPy, gdzie P odpowiada
R=F(R1,& ,Rn)
Postulat ten głosi, że dla dowolnych dwu różnych opcji istnieje dopuszczalny profil taki, że
odpowiadająca mu relacja grupowa uznaje pierwszą opcję za lepszą od drugiej. Równoważnie: nie
istnieją różne opcje x i y takie, że zbiór pusty jest rozstrzygający dla x przeciw y, czyli x byłoby
zawsze przedkładane nad y niezależnie od zróżnicowania poglądów w grupie. SuwerennoSć
scharakteryzowana za pomocą postulatu 3 nie jest niczym ograniczona, grupa może uznać, że x jest
lepsze od y lub y jest lepsze od y. Żadne rozwiązanie nie może być grupie narzucone z góry (przez
wolę jednostkową lub jakąS normę moralną). Aby zostało wybrane, wystarczy jedynie wytworzenie
się odpowiedniego profilu preferencji indywidualnych.
JeSli funkcja F spełnia postulaty 2 i 3, wówczas cała grupa jest zbiorem rozstrzygającym dla
każdej opcji x przeciw każdej innej opcji y. Wniosek ten, formułowany często jako osobny postulat,
zwany postulatem albo warunkiem Pareto, uważa się także za fundamentalny dla rozumienia
demokracji.
4
Postulat demokracji Pareto (poszanowanie jednomySlnoSci)
Dla każdych dwu różnych x,y X i każdego (R1,& ,Rn) D, (xPiy dla i=1,& ,n xPy)
Inaczej mówiąc, jeSli każdy członek grupy woli x od y, to grupa jako całoSć musi respektować tę
powszechną zgodę.
Udowodnimy teraz, że warunek Pareto rzeczywiScie wynika z postulatów 2 i 3. Niech x i y będą
dwoma różnymi opcjami, zaS (R1,& ,Rn) dowolnym profilem takim, że xPiy dla każdego i. Profil ten
ma tę własnoSć, że dla każdego profilu (R' ,& ,R' ) y ma przeciw x w każdej relacji R' niemniejsze
1 n i
poparcie niż w relacji Ri. Postulat 2 implikuje zatem, że w R'=F(R' ,& ,R' ) jest nie mniejsze poparcie
1 n
dla y przeciw x niż w R=F(R1,& ,Rn). Mamy wykazać, że xPy. Dla dowodu nie wprost przypuSćmy
najpierw, że yPx. Ponieważ w R' jest niemniejsze poparcie dla y przeciw x niż w R, więc musi być
yP'x. Profil, któremu funkcja F przypisuje relację R', był jednak dowolnie dobranym profilem
dopuszczalnym, a więc konkludujemy, że yP'x dla każdego profilu w D, co jest sprzeczne z
postulatem 3. Z kolei przypuSćmy, że yIx (przypomnijmy, że są trzy możliwoSci: xPy, xP y, czyli yPx,*
oraz xIy równoważne yIx; aby udowodnić, że zachodzi pierwsza możliwoSć, musimy wykazać, że
pozostałe dwie prowadzą do sprzecznoSci). Wynika stąd (w związku z niemniejszym poparciem dla
y przeciw x w R' niż w R), że yI'x lub yP'x. Nie ma więc takiego profilu, dla którego xP'y wbrew
postulatowi 3.
Zauważmy jeszcze, że postulat nieograniczonej suwerennoSci grupy daje się wyprowadzić z
postulatu Pareto i postulatu niegraniczonoSci dziedziny. Istotnie, nieograniczonoSć dziedziny oznacza,
że profil preferencji taki że xPiy dla i=1,& ,n jest dopuszczalny, a postulat Pareto implikuje z kolei, że
dla tego profilu musi być xPy.
Paradoks Arrowa
Wszystkie cztery postulaty (0-3) wydają się rozsądne' jako formalne wymogi, jakie powinna spełniać
demokratyczna' procedura wyprowadzania wartoSciowania społecznego z indywidualnych ocen.
Rzecz w tym, że łącznie implikują one zaprzeczenie demokracji, czyli dyktaturę, jeSli tylko zbiór opcji
ma co najmniej 3 elementy. Na tym własnie polega słynny paradoks odkryty przez Arrowa.
Dyktator to jednoelementowy zbiór rozstrzygający dla każdej uporządkowanej pary opcji.
Formalna definicja wygląda następująco.
Definicja 4 (dyktatury)
Osoba i nazywa się dyktatorem ze względu na F wtedy i tylko wtedy, gdy {i} jest zbiorem
rozstrzygającym dla każdej opcji x przeciw każdej innej opcji y.
Funkcja społecznego dobrobytu F nazywa się dyktatorską wtedy i tylko wtedy, gdy w grupie N
istnieje osoba i będąca dyktatorem ze względu na F.
Tak więc, jeSli i jest dyktatorem, to dla dowolnych dwu różnych opcji x i y i dowolnego profilu
(R1,& ,Rn) stąd, że xPiy, wynika, że xPy, gdzie P pochodzi od R=F(R1,& ,Rn). Dyktatura oznacza, że
niezależnie od zapatrywań wszystkich osób wyjąwszy i-tą, grupa zawsze (przy porównaniu każdej
pary opcji) zmuszona jest mocą reguły przyjąć punkt widzenia jednej i zawsze tej samej osoby. Łatwo
wykazać, że jeSli grupa ma dyktatora, może nim być tylko jedna osoba. Ponieważ osoba ta rozstrzyga
każdy dylemat, dyktatura tak zdefiniowana zasługuje na miano 'totalitarnej'.
Twierdzenie 1 (Arrowa)
JeSli m 3, wówczas dowolna funkcja społecznego dobrobytu F spełniająca postulaty 0, 1,2 i 3 jest
dyktatorska.
5
W równoważnym sformułowaniu twierdzenie Arrowa głosi, że przy m 3 postulaty 0-3 oraz postulat
4 wykluczenia dyktatury są ze sobą sprzeczne. W literaturze spotyka się często inny wariant
twierdzenia Arrowa, w którym zamiast postulatów 2 (demokracji) i 3 (suwerennoSci) występuje
postulat Pareto. ParadoksalnoSć tego wyniku jest jeszcze bardziej uderzająca. Oto bowiem trzy
naturalne warunki, nieograniczonoSć zakresu stosowalnoSci demokratycznej procedury,
przetwarzanie indywidualnych hierarchii wartoSci na hierachię grupową w sposób lokalny', oraz
postulat poszanowania jednomySlnoSci, dają się pogodzić tylko wtedy, gdy członkowie grupy
podporządkują się dyktatorowi.
Dowód twierdzenia Arrowa
Dowód twierdzenia (oparty na podanym w książce Luce'a i Raiffy) jest elementarny, aczkolwiek doSć
żmudny. Osoby mniej zainteresowane wywodami matematycznymi a bardziej ideologicznymi'
implikacjami twierdzenia Arrowa mogą go pominąć.
Niech M oznacza minimalny podzbiór zbioru N, będący zbiorem rozstrzygającym dla pewnego x
przeciw pewnemu y x. MinimalnoSć oznacza, że żaden właSciwy podzbiór M' zbioru M nie ma już tej
własnoSci, tzn. nie istnieją różne między sobą opcje x' i y' takie, że M' jest rozstrzygający dla x'
przeciw y'. Zbiór N na mocy postulatu Pareto (wyprowadzonego wczeSniej z postulatów 2 i 3) jest
rozstrzygający dla każdego x przeciw każdemu y, posiada więc (z nadmiarem) żądaną własnoSć, nie
musi być wszakże minimalny. JeSli nie jest, zbiór M konstruujemy, usuwając z N kolejne elementy,
aż dostaniemy zbiór, który nie będzie już rozstrzygający dla żadnej opcji przeciw innej opcji. Zbiór M
nie może być pusty, bo w przeciwnym wypadku pogwałcony byłby postulat 3 (nieograniczonej
suwerennoSci grupy).
PrzypuSćmy, że M jest zbiorem rozstrzygającym dla x przeciw y, gdzie x i y są dwoma różnymi
ustalonymi opcjami. Najpierw pokażemy, że M jest zbiorem rozstrzygającym nie tylko dla x przeciw
y, ale dla każdej opcji przeciw każdej innej opcji. Gdy to zostanie dowiedzione, udowodnimy z kolei,
że zbiór M musi być jednoelementowy, co oznacza dyktaturę.
Zaczniemy od dowodu, że M jest zbiorem rozstrzygającym dla ustalonego x przeciw każdemu x'
różnemu od x. JeSli x'=y, wynika to z założenia o M. Pozostaje więc zbadać przypadek x' y.
Rozważmy dowolny profil taki, że xPix' dla każdego i M. Mamy wykazać, że xPx', czyli cała grupa
przejmuje punkt widzenia podgrupy M. Dodatkowo możemy założyć, że rozważany profil spełnia
warunek x'Pix dla każdego i N-M. JeSli bowiem dla takiego profilu udowodnimy, że xPx', to z uwagi
na postulat 2, to samo otrzymamy dla każdego profilu takiego, że xPix' dla każdego i M, gdyż w
każdym takim profilu poparcie dla x przeciw x' jest niemniejsze niż w profilu, w którym wszyscy
członkowie N-M wolą x' od x. Ponadto, z uwagi na postulat 1 (niezależnoSć od alternatyw nieistotnych;
w tym przypadku istotne są tylko x i x') profil postaci [wszyscy w M za x przeciw x', wszyscy w N-M
za x' przeciw x] można wyposażyć w dodatkowe własnoSci, zakładając w szczególnoSci, że opcja y
jest położona w szczególny sposób w stosunku do opcji x i x'. Postulat nieograniczonoSci dziedziny
gwarantuje nam, że wszystkie profile, skonstruowane na poszczególnych etapach dowodu są
dopuszczalne. Profil potrzebny nam teraz będzie miał postać następującą.
M N-M
x y
y x'
x' x
Powyższy zapis oznacza, że wszyscy członkowie podgrupy M mają identyczne preferencje, i to samo
zakłada się o członkach podgrupy N-M. Ponadto zaznaczono jedynie preferencje w obrębie zbioru
Y={x,y,x'}; wewnątrz zbioru X-Y i między zbiorami Y i X-Y preferencje także muszą być jakoS
okreSlone dla każdej osoby, lecz na mocy postulatu 1 nie ma to wpływu na to jak relacja grupowa
odpowiadająca temu profilowi szereguje elementy zbioru Y.
Zauważmy że yPix' dla każdego i N, a więc z warunku Pareto mamy yPx'. Zauważmy dalej, że
6
xPiy dla i M, skąd z uwagi na to, że M jest zbiorem rozstrzygającym dla x przeciw y wynika, że xPy.
Korzystamy teraz z przechodnioSci P, wnioskując z xPy i yPx', że xPx'. W ten sposób dowiedliSmy,
że M jest zbiorem rozstrzygającym dla x przeciw każdemu x' x.
W następnym kroku dowiedziemy, że M jest zbiorem rozstrzygającym dla dowolnego x" przeciw
dowolnemu x', gdzie x' i x" są dowolnymi opcjami różnymi od x. Rozważmy profil taki, że x"Pix' dla
każdego i M i x'Pix" dla każdego i N-M. Trzeba wykazać, że x"Px'. Jak poprzednio skonstruujemy
profil z dodatkową opcja, którą teraz będzie x.
M N-M.
x" x'
x x"
x' x
Dla profilu tego mamy x"Pix dla każdego i N, a zatem x"Px z warunku Pareto. Z kolei odnotujmy, że
dla każdego i M spełniony jest warunek xPix' Z udowodnionej wyżej rozstrzygalnoSci M dla x przeciw
dowolnemu x' x wynika, że xPx'. Z przechodnioSci P mamy x"Px'.
Aby zakończyć dowód tego, że M jest zbiorem rozstrzygającym dla każdej opcji przeciw każdej
innej opcji, należy jeszcze rozważyć przypadek x" przeciw x, gdzie x" jest dowolną opcją różną od x.
W tym celu konstruuje się następujący profil
M N-M
x" x'
x' x
x x"
z dodatkową opcją x' różną od x i x" i rozumowanie przebiega podobnie z wykorzystaniem warunku
Pareto, rozstrzygalnoSci dla przypadków rozważanych wczeSniej oraz przechodnioSci P.
Do zakończenia dowodu twierdzenia Arrowa pozostało pokazanie, że M jest zbiorem
jednoelementowym. Niech j będzie elementem M i niech M'=M-{j}. Dla dowodu nie wprost
przypuSćmy, że zbiór M' jest niepusty. Utwórzmy profil
{j} M' N-M
x z y
y x z
z y x
gdzie x, y i z są dowolnymi trzema różnymi elementami X (założyliSmy, że zbiór X zawiera co najmniej
3 opcje). Mamy teraz xPiy dla każdego i M={j} M', a stąd xPy, ponieważ M jest rozstrzygający dla
x przeciw y.
Zauważmy, że zPiy dla każdego i M' oraz yPiz dla każdego i N-M'. Gdyby było zPy dla tego
profilu, to i dla każdego innego profilu zgodnego z nim na zbiorze {z,y}; x oraz wszelkie inne opcje są
tu nieistotne. To jednak oznaczałoby, że M' jest rozstrzygający dla z przeciw y, co być nie może,
albowiem zbiór M został skonstruowany jako minimalny zbiór rozstrzygający dla jakiejS opcji przeciw
innej opcji. Musi być zatem -zPy, czyli yPz lub yIz. Razem z xPy implikuje to xPz. Z drugiej strony
mamy xPjz, co w połączeniu z xPz prowadzi to do wniosku, że {j} jest zbiorem rozstrzygającym dla
x przeciw z, a zatem M nie jest minimalny. Otrzymujemy sprzecznoSć, która kończy dowód
twierdzenia Arrowa.
7
Komentarz do twierdzenia Arrowa
Twierdzenie Arrowa było i jest wykorzystywane przez konserwatystów do ataku na demokrację (patrz
załączony felieton J. Korwina-Mikkego) jako na ustrój polityczny logicznie (nie tylko społecznie lub
fizycznie) niemożliwy do zrealizowania. KonserwatyScie w demokracji najbardziej nie podoba się
doktryna suwerennoSci ludu, suwerennoSci niczym nieograniczonej, nawet normami moralnymi.
Według demokratów, w kwestiach spornych takich jak np. aborcja ze względów społecznych i kara
Smierci, prawo stanowione powinno wyrażać wolę obywateli. JeSli ludzie jednomySlnie opowiadają
się za jedną opcją legislacyjną przeciw innej (zakaz/dopuszczalnoSć jakiejS praktyki), wówczas grupa
powinna wybrać opcję zgodnie preferowaną przez swoich członków. W praktyce oczywiScie
demokraci nie żądają jednomySlnoSci, wystarcza im większoSć zwykła lub kwalifikowana.
Pozostałe postulaty Arrowa także mogą budzić wątpliwoSci. Zakwestionować można w
szczególnoSci nałożenie na racjonalnoSć zbiorową tych samych formalnych wymogów, zwłaszcza
przechodnioSci, które ma spełniać racjonalnoSć indywidualna. Kłopoty z przechodnioScią znikają, gdy
zbiór opcji X ma tylko dwa elementy. W dowodzie twierdzenia Arrowa istotną rolę odgrywa założenie,
że m 3. Gdy m=2, paradoks demokracji nie występuje. I w rzeczy samej, demokracja parlamentarna
najlepiej funkcjonuje w krajach anglosaskich, gdzie wytworzył się i ugruntował system dwupartyjny.
Liberalizm
W pewnych sytuacjach zbiór alternatyw społecznych' (X) z natury musi jednak liczyć więcej
elementów, socjologicznie' interpretowanych jako rozmaite stany rzeczy pojawiające się we
wspólnym otoczeniu grupy ludzi (N) i wartoSciowane przez nich indywidualnie. OkreSlenie alternatywa
społeczna' wskazuje tu, że zbiór X składa się ze stanów, których zaistnienie nie jest obojętne dla
członków danej grupy, choć oczywiScie nie musimy zakładać, że każdy stan każdego jednakowo
obchodzi. Kiedy mój sąsiad pomaluje sobie drzwi do swojego mieszkania od zewnątrz na czerwono,
bo woli ten kolor od białego, ja zaS preferuję biel na każdych drzwiach, mogę mu zwrócić uwagę, że
zmusił mnie do oglądania nieprzyjemnego widoku, ilekroć przechodzę obok jego' drzwi, które od
zewnątrz stanowią częSć przestrzeni wspólnej, a więc nie może z nimi robić co zechce. Spotykając
się z sąsiadem w jego mieszkaniu od czasu do czasu i widząc, że i tam zrealizował swoje upodobania
kolorystyczne, pogodzę się z dyskomfortem, jednak tym razem nie będę się odzywał, bo to w końcu
nie moja sprawa: wolnoć Tomku w swoim domku. Nie chciałbym przecież, by i on mnie pouczał jak
mam pomalować Sciany w swoim mieszkaniu. Inaczej mówiąc, jako liberał życzę sobie, by moje
preferencje w tym zakresie zostały uszanowane przez dwuosobową grupę, a choćbym był
fundamentalistycznym wyznawcą tezy, że biel jest zawsze lepsza od czerwieni, takie samo prawo
przyznam sąsiadowi: niech grupa zaakceptuje prywatne preferencje każdej osoby w przyznanym jej
obszarze suwerennego decydowania.
Załóżmy, że zbiór N składa się z dwu osób, a zbiór X z 16 stanów otoczenia opisanych za pomocą
4 współrzędnych przyjmujących 2 wartoSci: B (biel) i C (czerwień). Pierwsze dwie wspórzędne niech
opisują kolor Scian i drzwi do mieszkania pierwszej osoby, następne dwie - to samo dla mieszkania
drugiej osoby. Przykładowo, czwórka (B,C,B,B) oznacza, że sąsiad 1 pomalował swoje mieszkanie
na biało, a drzwi wejSciowe na czerwono, natomiast sąsiad 2 jedno i drugie pomalował u siebie na
biało. Oto przykładowa relacja preferencji osoby 1
x1 =(B,B,B,B) - x2 =(B,B,C,B)
x3 =(B,B,B,C) - x4 =(B,B,C,C)
x5 =(B,C,B,B) - x6 =(B,C,C,B)
x7 =(B,C,B,C) - x8 =(B,C,C,C)
x9 =(C,B,B,B) - x10=(C,B,C,B)
x11=(C,B,B,C) - x12=(C,B,C,C)
x13=(C,C,B,B) - x14=(C,C,C,B)
x15=(C,C,B,C) - x16=(C,C,C,C)
8
Osoba 1 za najlepsze, a przy tym jednakowo dobre, uważa dwa stany rzeczy: x1=(B,B,B,B) i
x2=(B,B,C,B). Stan x1 oznacza powszechne panowanie bieli, stan x2 różni się od x1 jedynie tym, że
osoba 2 pomalowała sobie mieszkanie na czerwono; dla osoby 1, która jest liberałem, różnica ta nie
ma jednak znaczenia. Na drugim miejscu osoba 1 jednakowo ceni dwa stany: x3=(B,B,B,C) i
x4=(B,B,C,C), które jej zdaniem gorsze są od x1 i x2, ponieważ sąsiad pomalował sobie drzwi na
czerwono, a kolor drzwi w przeciwieństwie do koloru wnętrza ma znaczenie dla osoby 1. Kolejne stany
rzeczy, x5=(B,C,B,B) i x6=(B,C,C,B), gorsze są dla osoby 1 od x3 i x4, bo to jej drzwi zostały
pomalowane na czerwono, zaS lepsze od stanów x7=(B,C,B,C) i x8=(B,C,C,C), bo przynajmniej u
sąsiada zastosowano właSciwy kolor. Z kolei wyższoSć stanów x5, x6, x7 i x8 nad stanami x9, x10, x11
i x12 oznacza, że osoba 1 za ważniejszy uważa kolor u siebie w mieszkaniu niż kolor drzwi od
zewnątrz. W sumie osoba 1 ma bardzo klarowny system wartoSci: woli biel od czerwieni, toleruje
wybór dokonany przez drugą osobę w jej przestrzeni prywatnej, oraz swoją przestrzeń prywatną
uważa za ważniejszą od przestrzeni wspólnej.
Opisana wyżej relacja jest tylko jedną z ogromnej liczby relacji preferencji, jakie można okreSlić
w zbiorze X={x1,& ,x16}. Liczba profili dwuwymiarowych (n=2) jest jeszcze większa. Z twierdzenia
Arrowa wiemy, że nie istnieje demokratyczna (tzn. spełniająca podane wyżej postulaty) reguła
wyznaczania preferencji zbiorowych.
W cywilizacji zachodniej z pojęciem liberalnej demokracji kojarzona jest nie tylko idea
suwerennoSci ludu, lecz także zasada respektowania praw jednostki. KonserwatySci od dawna
przeczuwali, że wolnoSć jednostki może być trudna do pogodzenia z poszanowaniem woli
powszechnej, ale dopiero odkrycie przez Amartyę Sena kolejnego paradoksu potwierdziło te intuicje
(w 1998 r. Sen dostał nagrodę Nobla, jednak w uzasadnieniu na pierwszym miejscu wskazano inne
jego prace).
Sen zachował konceptualizację problemu pochodzącą od Arrowa, zmodyfikował wszakże układ
postulatów nałożonych na funkcję społecznego dobrobytu. Do postulatu nieograniczonoSci dziedziny
(czyli postulatu swobody indywidualnego wartoSciowania) i postulatu demokracji Pareto (czyli
poszanowania jednomySlnoSci) dodał trzeci postulat oddający jego zdaniem istotę liberalizmu. Otóż
każda jednostka musi mieć prawo decydowania co jest dla niej lepsze w pewnym zakresie opcji (a
więc np. zdecydować czy pomalować własne mieszkanie na biało czy na czerwono) a grupa powinna
uszanować ten wybór, tzn. preferencję indywidualną danej jednostki przyjąć jako preferencję
grupową. Formalnie postulat ten zapisuje się następująco.
Postulat liberalizmu Sena (poszanowania suwerennoSci jednostki)
Dla każdego i=1,& ,n istnieją w X dwie różne opcje x i y takie, że zbiór {i} jest rozstrzygający ze
względu na funkcję społecznego dobrobytu F dla x przeciw y i dla y przeciw x.
Zauważmy, że postulat Sena wyklucza dyktaturę, bo dyktator to osoba, która rozstrzyga każdy
dylemat {x,y}. Osoba i jest panem', lecz tylko dla pewnej pary opcji, a mianowicie dla dowolnego
profilu (R1,& ,Rn), to osoba i wyłącznie decyduje o tym czy grupa poprzez relację R=F(R1,& ,Rn) uzna
x za lepsze od y, czy y za lepsze od x; jeSli xPiy, to xPy (choćby dla każdego j różnego od i było yPjx),
jeSli zaS yPix, to yPx. Tylko indyferencja osoby i-tej (xIiy) umożliwia grupie uwzględnienie preferencji
innych osób.
Paradoks Sena
Niepusty podzbiór Y zbioru X nazwijmy sferą wolnoSci decydenta i ze względu na funkcję F jeSli dla
każdych dwu różnych elementów y i y' w Y zbiór {i} jest rozstrzygający ze względu na F dla y przeciw
y' i dla y' przeciw y. Łatwo wykazać, że jeSli funkcja społecznego wyboru ma nieograniczoną
dziedzinę, wówczas sfery wolnoSci dwu różnych osób mogą mieć co najwyżej jedną opcję wspólną.
Niech Y i Y' będą sferami wolnoSci osoby i oraz osoby j. PrzypuSćmy, że Y Y' zawiera dwie różne
9
opcje x i y. Założenie, że wszystkie profile są dopuszczalne, pozwala utworzyć profil taki, że xPiy
oraz yPjx. Ponieważ {i} jest rozstrzygający dla x przeciw y, a {j} rozstrzygający dla y przeciw x,
otrzymujemy dwa sprzeczne warunki xPy i yPx.
Udowodnimy teraz następujące twierdzenie.
Twierdzenie 2 (Sena)
Postulat nieograniczonoSci dziedziny, postulat demokracji Pareto i postulat liberalizmu Sena są
sprzeczne.
Dowód twierdzenia Sena jest znacznie prostszy od dowodu twierdzenia Arrowa. Niech i oraz j
oznaczają dwie różne osoby (n 2), a Y i Y' ich sfery wolnoSci. Z postulatu nieograniczonoSci dziedziny
wynika, jak wyżej udowodniliSmy, że zbiory te mogą mieć co najwyżej jeden element wspólny.
Możliwe są zatem dwie sytuacje: (1) Y Y'={x} dla pewnego x; (2) Y Y'= . Pokażemy, że w obu
przypadkach z trzech postulatów dają się wyprowadzić dwa zdania sprzeczne.
Rozważmy najpierw przypadek (1). Postulat liberalizmu Sena oznacza, że zbiory Y i Y' mają co
najmniej po 2 elementy, a zatem istnieją y Y-{x} i y' Y'-{x}. Postulat nieograniczonoSci dziedziny
pozwala skonstruować profil preferencji indywidualnych taki, że
j {h j}
y x
y' y
x y'
W profilu tym dla każdego h j relacja preferencji Scisłej Ph tak samo porządkuje elementy zbioru
{x,y,y'}. W szczególnoSci i j, a więc xPiy, a stąd xPy, jako że {i} jest zbiorem rozstrzygającym dla x
przeciw y. Podobnie, ponieważ {j} jest zbiorem rozstrzygającym dla y' przeciw x, y'Px implikuje y'Px.
j
Zauważmy teraz, że dla każdego h=1,& ,n mamy yPhy', a zatem yPy' na mocy warunku Pareto. Z xPy
i yPy' wynika xPy' (P jest relacją przechodnią), co przeczy wyprowadzonemu wczeSniej warunkowi
y'Px.
Rozważmy teraz przypadek (2), w którym zbiory Y i Y' są rozłączne. Niech {x,y} i {x',y'} będą
parami różnych opcji w Y i Y'. Skonstruujemy profil indywidualnych preferencji, w którym jak
poprzednio wystąpią dwa uporządkowania, tym razem zbioru 4 opcji {x,y,x',y'}, jedno dla osoby j, a
drugie wspólne dla pozostałych osób, w tym osoby i.
j {h j}
y x'
y' x
x' y
x y'
Ponieważ {i} jest zbiorem rozstrzygającym dla x przeciw y, a {j} dla y' przeciw x', grupowa relacja P
odpowiadająca temu profilowi spełnia warunki xPy i y'Px'. Z uwagi na to, że dla każdego h mamy
x'Phx oraz yPhy', możemy zastosować postulat Pareto, otrzymując x'Px i yPy'. Dwukrotnie
skorzystamy teraz z przechodnioSci relacji P: Najpierw z xPy i yPy' otrzymujemy xPy', a następnie z
tego ostatniego warunku oraz warunku y'Px' dostajemy warunek xPx', sprzeczny z wyprowadzonym
wczeSniej warunkiem x'Px. Dowód twierdzenia Sena został tym samym zakończony.
10
Próby usunięcia paradoksu Sena
JeSli X jest zbiorem dwuelementowym, czyli X={x,y}, wówczas sam postulat liberalizmu generuje
sprzecznoSć. JeSli dylemat {x,y} stanowi sferę wolnoSci osoby 1, to nie może stanowić sfery wolnoSci
osoby 2. Grupie, która wolałaby uniknąć przyznania na stałe jednemu swojemu członkowi uprawnień
dyktatorskich, pozostaje rozstrzyganie ewentualnych sporów przez losowanie, sąd boży', bądx
pojedynek między dwiema osobami, z których pierwsza uważa x za lepsze od y, a druga y za lepsze
od x.
Wszelako, jak pokazaliSmy na przykładzie, zbiór X zazwyczaj ma więcej niż dwie opcje. W takiej
sytuacji celowa wydaje się rozbudowa teorii poprzez wprowadzenie jakiejS struktury w zbiorze
alternatyw społecznych, który w twierdzeniu Sena pozostaje bliżej niesprecyzowany.
Załóżmy znowu dla uproszczenia, że n=2. Dla każdej opcji x X niech a1(x) oznacza aspekt stanu
rzeczy x ważny dla osoby 1, zaS a2(x) aspekt ważny dla osoby 2. Będziemy mówić, że opcje x i y
należą do tej samej sfery osobistej osoby 1, jeSli a2(x)=a2(y). Inaczej mówiąc stany rzeczy x i y z
punktu widzenia osoby 2 niczym się nie różnią, a wobec tego różnica między nimi może mieć
znaczenie tylko dla osoby 1. Tak zdefiniowana relacja jest relacją równoważnoSciową. Dzieli ona zbiór
X na parami rozłączne podzbiory zwane sferami osobistymi osoby 1. Podobnie, za pomocą warunku
a1(x)=a1(y) definiuje się przynależnoSć opcji x i y do sfery osobistej osoby 2.
Zilustrujmy wprowadzone pojęcia na prostym przykładzie. Niech osoby 1 i 2 oznaczają męża i
żonę planujących sposób spędzenia wakacji. Załóżmy, że dla każdej osoby liczy się jedynie czy ona
sama zostanie w domu (D) czy wyjedzie na wczasy (W). Zbiór X okreSlimy jako układ 4 opcji:
x1=(D,D) (oboje zostają w domu); x2=(D,W) (mąż zostaje w domu, żona jedzie na wczasy); x3=(W,D)
(mąż jedzie na wczasy, żona zostaje w domu); x4=(W,W) (oboje wyjeżdżają). Ponieważ
a2(x1)=a2(x3)=D, opcje x1 i x3 należą do sfery osobistej męża. Drugą sferę osobistą męża tworzą
opcje x2 i x4. Żona ma też dwie sfery osobiste: {x1,x2} i {x3,x4}.
Dla liberała jest oczywiste, że sfera osobista jednostki powinna być jej sferą wolnoSci, tzn. każdy
wybór dokonany przez osobę 1 (2) między opcjami należącymi do jej sfery osobistej powinien być
uszanowany przez grupę. Rozważmy następujący profil preferencji
R1 (mąż) R2 (żona)
x3=(W,D) x4=(W,W)
x2=(D,W) x3=(W,D)
x4=(W,W) x2=(D,W)
x1=(D,D) x1=(D,D)
Mąż wolałby wyjechać sam, a jeSli to niemożliwe zostać w domu bez żony, wspólny wyjazd ceni w
trzeciej kolejnoSci, a zostanie razem w domu uważa za najgorszą dla siebie opcję. System wartoSci
męża wyraża formuła: lepiej wakacje spędzić bez żony niż z żoną, lepiej wyjechać niż zostać w domu.
System wartoSci żony jest bardziej skomplikowany. Ceni sobie one wspólny wyjazd z mężem, uważa
wyjazd za lepszy od zostania w domu tak siebie jak dla męża, wszelako jeSli wyjazd tylko jednej
osoby jest możliwy, zrzeka się tego przywileju na rzecz męża.
Niech P oznacza grupową relację preferencji Scisłej podyktowaną przez regułę F dla profilu
(R1,R2). JeSli reguła F spełnia postulat Pareto, relacja P powinna odzwierciedlać każdy przypadek
zgodnoSci preferencji męża i żony. Mąż i żona zgodnie uznają opcję x1 za gorszą od pozostałych, a
zatem dla pary powinno być: x2Px1, x3Px1, x4Px1. Ponadto małżonkowie zgadzają się, że x3 jest
lepsze od x2, a stąd x3Px2. W pozostałych parach opcji {x2,x4} i {x3,x4} ma miejsce konflikt
preferencji, mamy mianowicie x2P1x4 (mąż) i x4P2x2 (żona), a także x3P1x4 (mąż) i x4P2x3 (żona).
W obu przypadkach idzie o to, że mąż chce spędzić wakacje bez żony, a żona woli mu towarzyszyć,
gdy to możliwe.
Czy relacja P daje jakieS rozwiązanie opisanego wyżej konfliktu? Dylemat {x2,x4} stanowi sferę
osobistą osoby męża (osoby 1), a zatem para małżeńska powinna uznać za swoją jego preferencję,
11
tzn. x2Px4. Z kolei dylemat {x3,x4} stanowi sferę osobistą żony (osoby 2), a więc tym razem para
powinna uszanować wybór żony, tzn. x4Px3. Obie konsekwencje postulatu Sena, czyli x2Px4 i x4Px3
prowadzą do wniosku, że x2Px3 sprzecznego z wnioskiem wyprowadzonym z postulatu Pareto, czyli
x3Px2.
Tak więc wprowadzenie sfer osobistych nie usuwa sprzecznoSci. Paradoks pojawia się
nieuchronnie, jeSli dopuszczone zostaną wszelkie teoretycznie możliwe profile preferencji
indywidualnych. Okazuje się, że liberalna demokracja jest systemem polityczno-prawnym, który
może funkcjonować tylko na gruncie okreSlonego, liberalnego, systemu wartoSci podzielanego przez
członków grupy. Poszanowanie wolnoSci jednostki daje się pogodzić z suwerennoScią grupy wtedy,
gdy jej członkowie mają liberalne relacje preferencji.
Relację preferencji Ri osoby i nazwiemy liberalną, jeSli dla dowolnej osoby j i i dowolnych dwu
różnych opcji x i y należących do sfery osobistej osoby j mamy xIiy. Liberałowi powinno być zatem
obojętne, którą z dwu opcji wybrać, gdy opcje te należą do sfery osobistej jego blixniego. W podanym
wyżej przykładzie ani relacja preferencji męża ani żony nie spełnia tego warunku. Żonie nie jest
wszystko jedno czy mąż wyjedzie na wczasy czy zostanie w domu, gdy ona sama zostaje w domu.
Przekonana, że wyjazd zawsze jest lepszy niż zostanie w domu, chciałaby męża uszczęSliwić. Mężowi
nie jest wszystko jedno co zrobi żona, gdy on zdecyduje się zostać w domu, z tym że jemu chodzi o
to by uszczęSliwić siebie, pozbywając się żony. Przy takiej interpretacji systemu wartoSci męża
opisany wyżej przykład nie całkiem dobrze nadaje się do ilustracji pojęcia sfery osobistej, gdyż
aspekty indywidualne alternatyw społecznych zostały okreSlone w sposób ignorujący znaczenie dla
męża i żoną samej interakcji społecznej między nimi. Można jednak powtórzyć rozumowanie bez
założenia, że (W,W) oznacza wspólne wczasy.
Wielowymiarowe okreSlenie zbioru alternatyw społecznych (wymiary=aspekty zdarzeń
obchodzące poszczególnych decydentów) oraz rezygnacja z postulatu nieograniczonoSci dziedziny
na rzecz dopuszczenia wyłącznie preferencji liberalnych umożliwiają usunięcie paradoksu Sena. O
innych formalnych próbach uporania się z problemem pogodzenia liberalizmu i demokracji, jakie
podejmowano na gruncie teorii wyboru społecznego po ukazaniu się pracy Sena The Impossibility
of a Paretian liberal ( Journal of Political Economy' 78 (1970): 152-157), traktuje obszernie monografia
Grzegorza Lissowskiego Prawa indywidualne a wybór społeczny (Warszawa 1992: Wydawn. IFiS
PAN).
http://www.cyf-kr.edu.pl/~ussozans/
12
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Pan skałą i twierdząSozański Statystyczne miary zmienności a kwantyfikacja nierówności społecznejTwierdzenia ekstremalne teorii plastycznościfunction cpdf set viewer preferencesTWIERDZENIE ROLLEAduzynska język a świadomość odrębności grupowejWIARYGODNOŚĆ TWIERDZEĹ PRZYRODNICZYCHksiadz paradoksTPD grupowanie2009olderProblemy techniczne odwodnienia, stablizacji i modernizacji części zabytkowej twierdzy w Srebrnej GóModele preferencji optymalizacja wielokryterialnaRozgrzewka grupowa z elementami techniki indywidualnejwięcej podobnych podstron