Analiza matematyczna 3
Lista pierwsza
1
Zadanie 1.1
Obliczy podane ca ki krzywoliniowe niezorientowane po wskazanych ukach:
Z
dl
a p , , odcinek cz cy punkty 0; ,1 , 2; 0 ;
x2 + y2
,
Z
b xy dl, , cz okr gu x2 + y2 = R2 le ca w I wiartce uk adu;
,
Z
c* x + y dl, , wiartka okr gu x2 + y2 + z2 = R2, y = x le ca w pierwszym oktancie uk adu.
,
Zadanie 1.2
Obliczy d ugo ci podanych uk w:
a , : x = a t , sin t ; y = a 1 , cos t ; 0 t 2 ; a 0;
b , : jeden zw j linii rubowej o skoku h nawini tej na walec o promieniu r 0;
c , : x = e,t cos t; y = e,t sin t; z = e,t; 0 t 1.
Zadanie 1.3
Znale pole powierzchni bocznej walca x2 + y2 = 1 ograniczonej p aszczyznami z = ,x; z =5 + y.
Zadanie 1.4
Znale masy podanych uk w o wskazanych g sto ciach liniowych:
a , : x = a cos t; y = b sin t; 1 t 2 ; x; y = j yj ;
p
t2 t3
b , : x = t; y = ; z = ; 0 t 1; x; y; z = 2y;
2 3
c , : x = r cos t; y = r sin t; z = bt; 0 t 2 ; x; y; z = x2 + y2 + z2.
Lista druga
Zadanie 2.1
Okre li wsp rz dne rodk w masy podanych uk w jednorodnych:
a
a linia a cuchowa y = ex=a + e,x=a , ,a x a;
2
b x = r cos t; y = r sin t; z = bt; 0 t 2 ;
c brzeg tr jk ta sferycznego x2 + y2 + z2 =1, x 0, y 0, z 0;
Zadanie 2.2
Znale momenty bezw adno ci podanych uk w jednorodnych wzgl dem wskazanych osi, przyj =1:
0
a brzeg kwadratu o bokach a, wzgl dem przek tnej;
b odcinek AB, gdzie A = 1; 2; 3 , B = 3; 5; 4 , wzgl dem osi Oz;
c , : x = a cos t; y = a sin t; z = bt; 0 t 2 ; wzgl dem osi Ox.
Zadanie 2.3
Obliczy nat enie pola elektrycznego pochodz cego od adunku Q roz o onego r wnomiernie na brzegu kwadratu o boku
a: Nat enie pola obliczy w punkcie po o onym w odleg o ci d nad jednym z wierzcho k w kwadratu.
1
Zadania z pierwszych siedmiu list pochodz ze skryptu Elementy analizy wektorowej. Teori a, przyk ady, zadania . Zadania z
pozosta ych list pochodz ze skryptu R wnani a r ni czkowe zwyczajne Teoria przyk ady zadani a Przy czym obok kolejnych
Zadanie 2.4
Obliczy si , z jak p okr g o masie M i promieniu R przyci ga mas punktow m po o on w rodku p okr gu.
Zadanie 2.5
Obliczy ca ki krzywoliniowe zorientowane z podanych p l wektorowych po wskazanych ukach zorientowanych zgodnie
ze swoj parametryzacj :
,
~
a F x; y = x2 + y2; xy ; , : x = t; y = et; t 2 0; 1 ;
~
b F x; y; z = yz; xz; xy , : x = cos t; y = sin t; z = t; t 2 0; 2 ;
~
c F x; y; z = y; z; x ; , odcinek AB, gdzie A = 1; ,1; 2 , B = 0; 2; 3 :
Lista trzecia
Zadanie 3.1
Obliczy ca ki krzywoliniowe z podanych p l wektorowych po ukach okre lonych wskazanymi r wnaniami orientacja
uku jest zgodna ze wzrostem parametru x :
~
a F x; y = x , y; x + y , , : y = sin x; 0 x ;
~
b F x; y = ln x; ln y , , : y = x2; 1 x e:
Zadanie 3.2
Obliczy podane ca ki krzywoliniowe zorientowane po wskazanych ukach zamkni tych:
I
a xy dx + x2 dy, , brzeg tr jk ta o wierzcho kach w punktach A = 0; 0 , B = 1; 2 , C = ,1; 4 ; zorientowany
,
dodatnio;
I
b x2y dx + xy y +1 dy, , okr g x2 + y2 +2y =0; zorientowany dodatnio;
,
I
c 3x +5z dx + x +4y dy + 6x , z dz, , brzeg tr jk ta o wierzcho kach w punktach A = 2; 0; 0 , B = 0; 2; 0 ,
,
C = 0; 0; 2 ; obiegany w kolejno ci ABCA:
Zadanie 3.3
Obliczy ca ki krzywoliniowe zorientowane z podanych potencjalnych p l wektorowych po dowolnym uku o pocz tku A
i ko cu B:
~
a F x; y = x; y , A = 1; 1 , B = ,1; ,2 ;
~
b F x; y = sin x cos y; cos x sin y , A = ; , B = ; ;
2 2
,
~
c F x; y; z = x2 , 2yz; y2 , 2xz; z2 , 2xy , A = 0; 0; 0 , B = 1; 1; 1 :
Zadanie 3.4
Sprawdzi , e podane ca ki krzywoliniowe nie zale od kszta tu krzywej ca kowania i nast pnie obliczy te ca ki:
1;
2
Z
a ex cos y dx , ex sin y dy;
0;0
1;2
Z
y 1
b dx , dy; wzd u uku nie przechodz cego przez o Oy;
x2 x
2;1
2;3;4
Z
, , ,
c x2 , 2yz dx + y2 , 2xz dy + z2 , 2xy dz:
1;1;1
bezpo rednio:
I,
,
a 1 , x2 y dx + x 1 + y2 dy, , okr g x2 + y2 = R2; zorientowany dodatnio;
,
I, ,
b x + y2 dx + x2 + y2 dy, , brzeg tr jk ta o wierzcho kach w punktach A = 1; 1 , B = 3; 2 , C = 2; 5 ;
,
zorientowany dodatnio;
I
c ex 1 , cos y dx , ex y , sin y dy, , brzeg obszaru 0 x , 0 y sin x; zorientowany dodatnio.
,
Lista czwarta
Zadanie 4.1
Za pomoc ca ki krzywoliniowej zorientowanej obliczy pola obszar w ograniczonych podanymi ukami zamkni tymi:
a elipsa , : x = a cos t; y = b sin t; t 2 0; 2 ;
b kardioida , : x = 2 cos t , cos 2t; y = 2 sin t , sin 2t; t 2 0; 2 :
Zadanie 4.2
Obliczy prac w podanych polach wektorowych podczas ruchu po wskazanych ukach zorientowanych:
,
~
a F x; y = 2xy; x2 , dowolny uk , cz cy punkty A = 1; 0 ; B = 0; 3 ;
~
b F x; y; z = xy; y + z; z ; wzd u uku , : x = cos t; y = sin t; z = t od punktu A = 1; 0; 0 do punktu B = ,1; 0; ;
~
c F x; y; z = ,x; ,y; ,z wzd u dowolnego uku , cz cego, nale cy do sfery x2 + y2 + z2 = r2; punkt A =
x1 ; y1; z1 ; z punktem B = x2; y2; z2 , nale cym do sfery x2 + y2 + z2 = R2:
Lista pi ta
Zadanie 5.1
Obliczy podane ca ki powierzchniowe zorientowane:
ZZ
a xy dydz + yz dzdx + xz dxdy , zewn trzna strona powierzchni czworo cianu ograniczonego p aszczyznami
x =0, y =0, z =0, x + y + z =1;
ZZ
b xdydz + yz dzdx + z dxdy , zewn trzna strona powierzchni sze cianu 0 x 1, 0 y 1, 0 z 1;
ZZ
p
c x2 dydz + y2 dzdx + z2 dxdy ; g rna strona powierzchni sto ka z = x2 + y2 , z 1;
ZZ
d z2 dxdy , zewn trzna strona sfery x2 + y2 + z2 =4:
Zadanie 5.2
Niech funkcje f; g maj wszystkie pochodne cz stkowe pierwszego rz du na obszarze V R3: Sprawdzi , e :
f g grad f , f grad g
a grad = ;
g g2
0
b grad h f = h f grad f, gdzie h jest funkcj r niczkowaln na pewnym przedziale.
Zadanie 5.3
Sprawdzi , e podane to samo ci s prawdziwe:
~
a rot grad U = 0, gdzie U jest funkcj maj c ci g e wszystkie pochodne cz stkowe drugiego rz du na obszarze
V R3;
Zadanie 5.4
Sprawdzi , e podane to samo ci s prawdziwe:
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
a div F G = G rot F , F rot G, gdzie pola wektorowe F i G s r niczkowalne na obszarze V R3;
~ ~
b div rot F = 0, gdzie pole wektorowe F ma sk adowe dwukrotnie r niczkowalne w spos b ci g y na obszarze
V R3:
Zadanie 5.5
Przy pomocy twierdzenia Gaussa Ostrogradskiego obliczy podane ca ki powierzchniowe. Sprawdzi otrzymane wyniki
obliczaj c te ca ki bezpo rednio:
ZZ
a 2xy dydz , y2 dzdx +2z dxdy , zewn trzna strona brzegu obszaru V : x2 + y2 + z2 9, x 0, y 0, z 0;
ZZ
b x + z dydz + x + y dzdx + y + z dxdy , zewn trzna strona brzegu obszaru V : x2 + y2 R2, x + y + z
R, z 0;
ZZ
c x3 dydz + y3 dzdx + z3 dxdy , wewn trzna strona powierzchni walca V : x2 + y2 R2; 0 z H:
Lista sz sta
Zadanie 6.1
Obliczy podane ca ki powierzchniowe zorientowane:
ZZ
a xy dydz + yz dzdx + xz dxdy , zewn trzna strona powierzchni czworo cianu ograniczonego p aszczyznami
x =0, y =0, z =0, x + y + z =1;
ZZ
b xdydz + yz dzdx + z dxdy , zewn trzna strona powierzchni sze cianu 0 x 1, 0 y 1, 0 z 1;
ZZ
p
c x2 dydz + y2 dzdx + z2 dxdy ; g rna strona powierzchni sto ka z = x2 + y2 , z 1;
ZZ
d z2 dxdy , zewn trzna strona sfery x2 + y2 + z2 =4:
Zadanie 6.2
Niech funkcje f; g maj wszystkie pochodne cz stkowe pierwszego rz du na obszarze V R3: Sprawdzi , e :
f g grad f , f grad g
a grad = ;
g g2
0
b grad h f = h f grad f, gdzie h jest funkcj r niczkowaln na pewnym przedziale.
Zadanie 6.3
Sprawdzi , e podane to samo ci s prawdziwe:
~
a rot grad U = 0, gdzie U jest funkcj maj c ci g e wszystkie pochodne cz stkowe drugiego rz du na obszarze
V R3;
b rot f~ = grad f ~ gdzie f jest funkcj maj c wszystkie pochodne cz stkowe pierwszego rz du na obszarze
c c,
V R3; a ~ jest ustalonym wektorem.
c
Zadanie 6.4
Sprawdzi , e podane to samo ci s prawdziwe:
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
a div F G = G rot F , F rot G, gdzie pola wektorowe F i G s r niczkowalne na obszarze V R3;
Zadanie 6.5
Przy pomocy twierdzenia Gaussa Ostrogradskiego obliczy podane ca ki powierzchniowe. Sprawdzi otrzymane wyniki
obliczaj c te ca ki bezpo rednio:
ZZ
a 2xy dydz , y2 dzdx +2z dxdy , zewn trzna strona brzegu obszaru V : x2 + y2 + z2 9, x 0, y 0, z 0;
ZZ
b x + z dydz + x + y dzdx + y + z dxdy , zewn trzna strona brzegu obszaru V : x2 + y2 R2, x + y + z
R, z 0;
ZZ
c x3 dydz + y3 dzdx + z3 dxdy , wewn trzna strona powierzchni walca V : x2 + y2 R2; 0 z H:
Lista si dma
Zadanie 7.1
Korzystaj c z twierdzenia Stokesa obliczy podane ca ki krzywoliniowe. Sprawdzi otrzymane wyniki obliczaj c te ca ki
bezpo rednio:
I
a x2y3 dx + dy + z dz, , okr g x2 + y2 = R2, z =0; zorientowany dodatnio;
,
I
b x dx + x + y dy + x + y + z dz, , : x = sin t; y = cos t; z = sin t + cos t; t 2 0; 2 ;
,
I
c y + z dx + z + x dy + x + y dz, , okr g x2 + y2 + z2 = R2, x = y:
,
Zadanie 7.2
Obliczy strumienie podanych p l wektorowych przez wskazane p aty:
x 2z
~
a F x; y; z = ; z2 , x2; , powierzchnia ca kowita walca z = x2 + y2 R2, 0 z H ;
3 3
p !
,x ,y ,z
~
b F x; y; z = ; p ; p , powierzchnia zewn trzna sfery x2 + y2 + z2 =
x2 + y2 + z2 x2 + y2 + z2 x2 + y2 + z2
R2;
~
c F x; y; z = 5x + z; x , 3y; 4y , 2z , g rna cz p aszczyzny x + y + z = 2 odci ta p aszczyznami uk adu
wsp rz dnych.
Zadanie* 7.3
Wyprowadzi prawo Archimedesa.
Zadanie 7.4
Obliczy cyrkulacje podanych p l wektorowych wzd u wskazanych uk w zamkni tych:
,
2
~
a F x; y; z = y2; x + y ; z ; , amana zamkni ta cz c punkty A = 1; 0; 0 , B = 0; 1; 0 , C = 0; 0; 1 ;
2
~
b F x; y; z = y; 1 , x; ,z ; , uk zamkni ty otrzymany w wyniku przeci cia powierzchni walca x , 1 + y2 =1 z
2
p sfer x , 2 + y2 + z2 =4, z 0:
Lista sma
Zadanie 8.1
Z pewnej substancji radioaktywnej po up ywie 4 lat zosta o 20 gram, a po up ywie dalszych 4 lat tylko 4 gramy. Jaka
by a masa substancji w chwili pocz tkowej ?
a yy0 +4t =0; b dy =2ty2dt;
, ,
c t y2 , 1 dt + y t2 , 1 dy =0; d sin y0 = t:
Zadanie 8.3
Wyznaczy rozwi zanie zagadnienia pocz tkowego
1 + y2
y0 = , y 1 = ,1
1 + t2
oraz poda przedzia na kt rym jest ono okre lone.
Zadanie 8.4
Rozwi za podane zagadnienia pocz tkowe:
p p
a y0 sin t = y ln y, y = e; b t 1 , y2dt + y 1 , t2dy =0, y 0 = 1:
2
Zadanie 8.5
Wyznaczy rozwi zania podanych r wna r niczkowych jednorodnych:
p
a ty0 = t2 , y2 + y; b t , y dt + tdy =0;
y
c ty0 = y ln y , ln t ; d ty0 , y = t tg :
t
Zadanie 8.6
Rozwi za podane zagadnienia pocz tkowe:
, p
1
a t2 + y2 dt , 2tydy =0, y 1 = 2; b ty0 = t + y, y 1 = 0.
2
y
6
Zadanie 8.7
Znale krzywe, dla kt rych tr jk t
r
Q
Y
OSY rysunek utworzony przez o Oy, Q
QQ S
Q
Qr
styczn i wektor wodz cy punktu stycz-
Q
, y=y t
, Q
no ci jest r wnoramienny o podstawie
Q
,
r -
Q
OY . O t
Zadanie 8.8
Wyznaczy rozwi zania podanych r wna r niczkowych liniowych niejednorodnych:
2
a y0 + y = sin t; b y0 +2ty = e,t ; c ty0 , 2y = t3 cos t:
Zadanie 8.9
Wyznaczy rozwi zania podanych zagadnie pocz tkowych oraz przedzia y, na kt rych s one okre lone:
a y0 , y =1, y 3 = 3; b y0 = y + 1 sin t, y t0 = y0;
c ty0 + y = t +1, y 1 =0; d y0 sin t cos t = y + sin3 t, y =0:
4
y
6
Zadanie 8.10
@
Znale r wnanie krzywej przechodz cej
@
@
przez punkt 1, 1 , dla kt rej pole tr jk ta
S
r
y t
@
OST rysunek utworzonego przez o Ot;
,@
, @ t
styczn i wektor wodz cy punktu styczno- @y=y
, @r -
r @
ci jest sta e i r wna si 1. O t T t
@
Zadanie 8.11
Rozwi za podane r wnania Bernoulliego lub zagadnienia pocz tkowe:
p
a ty0 + y = y2 ln t, y 1 = 1; b y0 , 2y =2 yet ln t, y 1 = 0;
c y0 +2ty =2ty2 ; d 3ty2 y0 , 2y3 = t3;
1
Lista dziewi ta
Zadanie 9.1
Znale r wnania r niczkowe podanych rodzin krzywych:
a y , Ct = C , 1; b y2 =2Ct , 2t2:
Zadanie 9.2
Znale r wnania rodzin krzywych ortogonalnych do podanych rodzin krzywych:
a y = Ct2; b t2 + y2 =2Cy:
Zadanie 9.3
Basen o pojemno ci 10.000 litr wzawiera 1.000 litr w czystej wody. Do basenu wlewa si woda o ska eniu 50 z pr dko ci
20 litr w na minut . Przez otw r spustowy ciecz wylewa si z pr dko ci 10 litr w na minut . Wyznaczy procent ska enia
wody w chwili nape nienia zbiornika.
Zadanie 9.4
W hali o obj to ci 200 m3 powietrze zawiera 0, 15 dwutlenku w gla. Wentylator podaje w ci gu minuty20 m3 powietrza
zawieraj cego 0, 04 CO2. Po jakim czasie ilo dwutlenku w gla w hali zmniejszy si dwukrotnie ?
Zadanie 9.5
Dwa stulitrowe zbiorniki, z kt rych pierwszy zawiera 10 wodny roztw r soli, a drugi czyst wod po czono rur
umo liwiaj c mi dzy nimi przep yw. Je eli do pierwszego zbiornika wlewa si ciecz z zadan pr dko ci , to wymusza ona
przep yw roztworu z t sam pr dko ci ze zbiornika pierwszego do drugiego oraz z drugiego na zewn trz. Po jakim czasie
st enie soli w drugim zbiorniku b dzie najwi ksze, je eli do pierwszego zbiornika wlewa si czysta woda z pr dko ci 5
litr wna minut ?
Zadanie 9.6
Cia o, kt rego temperatura wynosi 220 C jest umieszczone w pomieszczeniu, gdzie termometry wskazuj 60 C. Po
10 minutach od chwili umieszczenia cia a w pomieszczeniu jego temperatura obni y a si do 140 C. Wtym momencie
w czono klimatyzatory, kt re obni aj temperatur otoczenia z szybko ci 1 C na minut . Jaka b dzie temperatura T
cia a po t minutach od chwili uruchomienia klimatyzator w?
Zadanie 9.7
Wobwodzie elektrycznym po czono szeregowo opornik o oporze R, cewk o indukcyjno ci L oraz r d o pr du E t =
E0 sin t: Wyznaczy nat enie pr du i wobwodzie jako funkcj czasu, je eli i 0 =0:
Zadanie 9.8
Wyznaczy rozwi zania podanych r wna :
2 2
a t2y00 , y0 =0; b ty00 , y0 = t2et; c 2ty0y00 = y0 , 1:
Zadanie 9.9
Wyznaczy rozwi zania podanych r wna :
2 2
a y3y00 +1 = 0; b 2yy00 , 3 y0 =4y2; c y , 1 y00 =2 y0 :
Zadanie 9.10
Rozwi za podane zagadnienia pocz tkowe:
y0 t2
a y00 = + , y 2 = 0, y0 2 = 4;
t y0
b 2y00 =3y2 , y ,2 =1, y0 ,2 = 1;
2
c yy00 , y0 = y2 ln y, y 0 =1, y0 0 =1:
Zadanie 9.11
2
00 0
Zadanie 9.12
Wyznaczy r wnanie ruchu spadaj cego swobodnie cia a o masie m z uwzgl dnieniem oporu powietrza wyra aj cego si
wzorem G = kv2; gdzie k jest sta dodatni , a v pr dko ci ruchu. Znale rozwi zanie tego r wnania przy warunkach
pocz tkowych x 0 = x0, v 0 =0:
Zadanie 9.13
Cz steczka o masie m porusza si po linii prostej. Niech x t oznacza odleg o tej cz steczki zmierzon w chwili t; od
k
ustalonego centrum na prostej. Cz steczka jest przyci gana przez centrum z si ; gdzie k 0: Wyznaczy r wna-
x3
nie ruchu cz steczki oraz jego rozwi zanie, je eli rozpocz a ona ruch w odleg o ci x0 od centrum z zerow pr dko ci
pocz tkow . Obliczy czas, po kt rym cz steczka osi gnie centrum.
Lista dziesi ta
Zadanie 10.1
Wyznaczy przedzia y, na kt rych podane zagadnienia pocz tkowe maj jednoznaczne rozwi zania:
, ,
a t2 , 2 y00 + 2t , 1 y0 + y =ln t, y 1 =1, y0 1 = 0;
b y000 + t , arcsin t y = arccos t, y =1, y0 = ,1, y00 =0:
4 4 4
Zadanie 10.2
Pokaza , e podane funkcje tworz na zadanym przedziale uk ady fundamentalne wskazanych r wna r niczkowych.
Znale rozwi znia tych r wna z zadanymi warunkami pocz tkowymi:
a y1 t =ln t, y2 t = t, 0; e , t2 1 , ln t y00 +ty0 , y =0, y 1 =2, y0 1 =1;
b y1 t = t, y2 t = et, ,1; 1 , t, 1 y00 , ty0 +y =0, y 0 =0, y0 0 =1.
Zadanie 10.3
Wyznaczy r wnania r niczkowe liniowe jednorodne postaci LJn odpowiednich rz d w, kt rych uk ady fundamentalne
tworz podane funkcje:
a y1 t = t, y2 t = t2, t 2 0; 1 ;
b y1 t = t, y2 t = sin t, y3 t = cos t, t 2 0; 1 :
Zadanie 10.4
Wykorzystuj c metod obni ania rz du r wnania znale rozwi zania og lne podanych r wna :
1
a t2y00 , ty0 , 3y =0, ' t = ; b t , 1 y00 , t +1 y0 +2y =0, ' t = et:
t
Zadanie 10.5
Wyznaczy warto parametru m 2 R dla kt rego funkcja ' t = emt jest rozwi zaniami r wnania 2t +1 y00 + 2 2t ,
1 y0 , 8y =0; a nast pnie sca kowa to r wnanie.
Zadanie 10.6
Napisa r wnania charakterystyczne podanych r wna r niczkowych:
a y00 , 2y0 + y =0; b y00 , 3y =0; c 4y000 + y0 =0;
d y000 , 2y00 , 2y0 =0; e y 5 + y000 + y =0; f y 10 =0:
Zadanie 10.7
Wyznaczy uk ady fundamentalne oraz r wnania r niczkowe postaci LSn mo liwie najni szego stopnia dla zadanych
pierwiastk wich r wna charakterystycznych:
p
a =1 + 3i; b = = ,2; c =2; =3;
1 1 2 1 2
Zadanie 10.8
Wyznaczy r wnania r niczkowe postaci LSn mo liwie najni szego rz du, je eli podane funkcje wchodz w sk ad ich
uk ad w fundamentalnych:
a cos 2t; b te,t; c e2t, e t, =2;
6
d 1, e,t sin t; e t2 cos 2t; f t3, et:
Zadanie 10.9
Rozwi za podane r wnania o sta ych wsp czynnikach:
a 6y00 , 5y0 + y =0; b y00 , y0 , 2y =0; c 4y00 , 4y + y =0;
1
d y00 + y0 + y =0; e y00 , 4y0 +5y =0; f y00 , 2y0 +5y =0;
4
g y000 , 8y =0; h y000 , 2y00 , y0 +2y =0; i y 4 , y =0;
j y 4 +10y00 +9y =0; k y 6 +2y 5 + y 4 =0; l y 5 +8y000 +16y0 =0:
Zadanie 10.10
Rozwi za podane zagadnienia pocz tkowe:
,
a y00 + y0 , 6y =0, y 0 =1; y0 0 = 0;
b y00 +9y =0, y =1; y0 =1;
3 3
,
c y00 , 2y0 + y =0, y 1 =2; y0 1 =3;
,
d y000 , 3y00 +3y0 , y =0, y 0 =1; y0 0 = 2; y00 0 =3;
,
e y000 + y00 =0, y 0 =1; y0 0 = 0; y00 0 =1:
Zadanie 10.11
Punkt materialny o masie m porusza si po linii acz cej dwa centra i jest przyci gany przez nie z si wprost propor-
cjonaln do jego odleg o ci od ka dego z nich. Wsp czynnik proporcjonalno ci jest r wny k 0, a odleg o mi dzy
centrami wynosi 2b: Znale r wnanie ruchu i rozwi za je wiedz c, e w chwili pocz tkowej t0 = 0 punkt znajdowa si
w odleg o ci x0 od rodka linii acz cej oba centra i mia zerow pr dko .
Zadanie 10.12
Wyznaczy te warto ci parametru 2 R; dla kt rych zagadnienie brzegowe
y00 + y =0; y 0 = y 2 ; y0 0 = y0 2
ma niezerowe rozwi zanie.
Zadanie* 10.13
Znale rozwi zania podanych r wna Eulera:
a t2y00 +2ty0 , 6y =0; b ty00 + y0 =0;
c t2y000 , 3ty00 +3y0 =0; d t3y000 , t2y00 +2ty0 , 2y =0:
Lista jedenasta
Zadanie 11.1
Sprawdzi , e podane funkcje s rozwi zaniami wskazanych r wna r niczkowych. Wyznaczy rozwi zania podanych
r wna lub zagadnie pocz tkowych:
a y00 +10y0 +25y =4e,5t, ' t =2t2e,5t;
1
b y00 +4y = sin 2t, ' t = , t cos 2t;
4
,
c y00 , y0 , 2y =4t , 2et, ' t =1 , 2t + et, y 0 =0, y0 0 =1;
Zadanie 11.2
Podane funkcje s rozwi zaniami wskazanych r wna liniowych niejednorodnych. Wyznaczy rozwi zania og lne tych
r wna :
sin t 1 1 2 1
a ' t = + , t = , y00 + y0 + y = ;
t t t t t
b ' t = t, t = sin et + t, y00 , y0 + ye2t = te2t , 1:
Zadanie 11.3
Wyznaczy rozwi zania og lne podanych r wna liniowych niejednorodnych, je eli znane s uk ady fundamentalne ich
r wna jednorodnych:
,
a 3t +2t2 y00 , 6 1 + t y0 +6y =6, y1 t = t3, y2 t = t +1, t 0;
2
b t , 1 y00 , ty0 + y = t , 1 et, y1 t = t, y2 t = et, t 1;
c t +1 y00 , 2 + t y0 = et, y1 t = 1, y2 t = tet, t ,1:
Zadanie 11.4
Metod uzmienniania sta ych rozwi za podane r wnania r niczkowe:
1 4t2 +1
a y00 +4y = ; b y00 , y = p ; c y00 , 2y0 tg t =1:
cos 2t
t t
Zadanie 11.5
Poda postaci rozwi za wskazanych r wna r niczkowych:
2
a 4y00 , 4y = t3 , 24t; b y00 , 7y0 = t , 1 ; c y00 , 8y0 +16y = 1 , t e4t;
d y00 +3y0 =3; e y00 +25y = cos 5t; f y00 + y = sin t , cos t;
g y000 + y = t; h y000 + y00 =3; i y 4 +2y000 + y00 = e,t;
j y 4 , y0 =2; k y 4 +4y00 +4y = cos t; l y 4 +4y00 +4y = t cos 2t:
Zadanie 11.6
Korzystaj c z metody wsp czynnik w nieoznaczonych rozwi za podane r wnania:
a y00 +2y0 + y = ,2; b y00 , 4y0 +4y = t2;
c y00 +4y0 +4y =8e,2t; d y00 +3y0 =3te, 3t;
e y00 +5y0 +6y = 10 1 , t e, 2t; f y00 +4y0 , 4y = 8 sin 2t;
g y00 +9y = 3 sin 3t + 2 cos 3t; h y000 , 3y00 +3y0 , y = et;
i y000 , y = sin t; j y000 , 3y00 +3y0 , y = et cos 2t;
k y 4 + y00 = t + t2; l y 4 +2y00 + y = cos t:
Zadanie 11.7
Rozwi za podane r wnania korzystaj c z twierdzenia o superpozycji:
a y00 , y0 , 2y = et + e, 2t; b y00 , y = t + sin t;
c y00 , 4y0 = 2 cos2 4t; d y00 , y0 , 2y =4t , 2et;
e y000 , 4y0 = t2 + te2t + sin t; f y 5 + y000 = t +2e,t:
Zadanie 11.8
Rozwi za podane zagadnienia pocz tkowe:
00 0
2 1 t 0 2 0 2
b y00 , 6y0 +9y =9t2 , 12t +2, y 0 = 1, y0 0 = 3;
c y00 +6y0 +9y = 10 sin t, y 0 =0, y0 0 = 0;
,
d y00 + y0 = e,t, y 0 =1, y0 0 = ,1;
,
e y000 , y0 = ,2t, y 0 =0, y0 0 = 1, y00 0 =2;
,
f y 4 , y =8et, y 0 =0, y0 0 = 2, y00 0 =4, y000 0 = 6:
Lista dwunasta
Zadanie 12.1
Sprawdzi , e dla podanych uk ad wr wna wskazane ci gi funkcji s ich rozwi zaniami na zadanych przedzia ach:
8
1
!
0
y1 = , t t
y2 y1 t ; y2 t = e, 2 2
a ; ; 2e ; R;
1
0
:
y2 =
y1
8
2y1
0
y1 =1 ,
t3 +3 t3 +3
t
b ; y1 t ; y2 t = ; 2et , ; 0; 1 ;
2y1
3t2 3t2
: 0
y2 = y1 + y2 + , 1
8 t
y1
0
y1 = , + y2
C1
t
c
y1 y2 ; y1 t ; y2 t = C1 + C2t; 2C2 + t ; 0; 1 :
:
0
y2 = ,2 +
t2 t
Zadanie 12.2
Zapisa w postaci wektorowej podane uk ady r wna r niczkowych liniowych:
8
8 8 0
y1 = y2 +3y3 , 1
0
0
y1 = ty1 + t2y2 , ln t
y1 =2y1 , 3y2 + et
0
a ; b ; c
y2 = y1 +2y3 :
y1
0
: : 0 :
y2 = + y2
y2 = y1 + e,t
0
t
y3 = y1 , y2 + t
Zadanie 12.3
Korzystaj c z twierdzenia o istnieniu i jednoznaczno ci dla uk ad w r wna okre li przedzia y, na kt rych podane
zagadnienia pocz tkowe maj jednoznaczne rozwi zania:
8
y1
0
y1 = + y2
1 1
t
a ; y1 =1; y2 =2;
1
: 0 2 2
y2 = y1 , y2 +
t , 1
8
0
y1 sin t = y1 , y2 + sin t
3 1 3 1
b ; y1 = ; y2 = :
: 0 4 2 4 3
y2 cos t = y1 + y2 + cos t
Zadanie 12.4
Korzystaj c z metody eliminacji rozwi za podane uk ady r wna r niczkowych liniowych ze wskazanymi warunkami
pocz tkowymi:
2 3 2 32 3 2 3 2 3
x0 1 3 x x 0 3
4 5 4 54 5 4 5 4 5
a = ; = ;
y0 ,1 5 y y 0 1
2 3 2 32 3 2 3 2 3
x0 3 ,2 x x 0 1
4 5 4 54 5 4 5 4 5
b = ; = ;
y0 4 7 y y 0 0
2 3 2 32 3 2 3 2 3
x0 1 2 x x 0 0
2 3 2 32 3 2 3 2 3
x0 ,t, 1 t x x 1 1
4 5 4 54 5 4 5 4 5
d* = ; = .
p
y0 ,2t, 3 t, 1 y y 1 2 + 2
Zadanie 12.5
Sprawdzi , czy podane funkcje wektorowe tworz uk ady fundamentalne wskazanych uk ad w r wna r niczkowych
liniowych na zadanych przedzia ach:
2 3 2 3 2 3
e,t e3t 1 ,1
0
4 5 4 5 4 5
a y1 t = , y2 t = ; y = y; R;
2e,t ,2e3t ,4 1
2 3 2 3 2 3
t 0 t, 1 0
0
4 5 4 5 4 5
b y1 t = , y2 t = , y = y; 0; 1 ;
t2 t 1 t, 1
2 3 2 3 2 3
1 t ,t, 1 1
0
4 5 4 5 4 5
c y1 t = , y2 t = , y = y; ,1; 0 :
t, 1 2 ,2t, 1 1
Zadanie 12.6
Korzystaj c z zadania 12.5 rozwi za podane zagadnienia pocz tkowe:
2 3 2 3 2 3 2 3
1 ,1 1 t, 1 0 0
0 0
4 5 4 5 4 5 4 5
a y = y; y 0 = ; b y = y; y 1 = ;
,4 1 1 1 t, 1 1
2 3 2 3
,t, 1 1 1
0
4 5 4 5
c y = y; y ,1 = :
,2t, 1 1 ,1
Zadanie 12.7
0
Przy pomocy metody Eulera wyznaczy uk ad fundamentalny uk adu r wna r niczkowych y = Ay, je eli:
2 3
2 3 2 3
1 0 0
6 7
,3 ,4 1 5
6 7
4 5 4 5
a A = ; b A = ; c A = 6 0 1 ,1 7 :
4 5
,2 ,5 ,1 ,3
0 1 1
Zadanie 12.8
0
Korzystaj c z metody Eulera dla r nych rzeczywistych warto ci w asnych, rozwi za uk ad r wna y = Ay lub zagad-
0
nienie pocz tkowe y = Ay, y 0 = y0 je eli:
2 3
2 3 2 3 2 3
2 ,1 1
6 7
,1 8 1 1 0
6 7
4 5 4 5 4 5
a A = ; b A = 6 7 ; y0 = :
; c A =
1 2 ,1
4 5
1 1 ,2 4 ,1
1 ,1 2
Zadanie 12.9
0
Korzystaj c z metody Eulera dla r nych zespolonych warto ci w asnych rozwi za uk ad r wna y = Ay lub zagadnienie
0
pocz tkowe y = Ay, y 0 = y0 je eli:
2 3 2 3 2 3
,7 1 0 ,1 1
4 5 4 5 4 5
a A = ; b A = ; y0 = :
,2 ,5 2 2 1
Zadanie 12.10
0
Korzystaj c z metody Eulera dla r nych rzeczywistych i zespolonych warto ci w asnych rozwi za uk ad r wna y = Ay
0
lub zagadnienie pocz tkowe y = Ay, y 0 = y0 je eli:
2 3 2 3 2 3
0 1 0 2 1 ,2 0
6 7 6 7 6 7
6 7 6 7 6 7
a A = 6 7 ; b A = 6 ,1 0 0 7 ; y0 = 6 7 :
0 0 1 ,1
4 5 4 5 4 5
Lista trzynasta
Zadanie 13.1
Metod eliminacji wyznaczy rozwi zania og lne podanych niejednorodnych uk ad w r wna r niczkowych lub zagad-
nie pocz tkowych:
8 8
x0 = x , 2y + et x0 = x + 2y
a ; b ;
: :
y0 = x + 4y + e2t y0 = x , 5 sin t
8 8
x0 = 4x , 5y + 4t , 1 x 0 = 0
c ; :
: :
y0 = x , 2y + t y 0 = 0
Zadanie 13.2
Sprawdzi , e funkcje
1 1
2 ,1
y1 t = , y2 t =
,1 1
t3 t4
s na przedziale 0; 1 uk adem fundamentalnym uk adu jednorodnego odpowiadaj cego uk adowi niejednorodnemu
1
,2 2 1
0
y = y + :
,1 ,5 t
t
2 3
11
6 7
30
Rozwi za uk ad niejednorodny z warunkiem pocz tkowym y 1 = :
4 5
1
12
Zadanie 13.3
Korzystaj c z metody uzmienniania sta ych rozwi za podane uk ady niejednorodne r wna r niczkowych liniowych:
8 8
x0 = x + y , cos t x0 = ,5x , y + et
a ; b .
: :
y0 = ,2x , y + sin t + cos t y0 = x , 3y + e2t
Zadanie 13.4
0
Rozwi za zagadnienie pocz tkowe y = Ay + h t , y 0 = y0, je eli:
2 3 2 3 2 3
1
0 1 cos t
4 5 4 5 4 5
a A = ; h t = ; y0 = ;
1
,1 0 1
2
2 3 2 3 2 3
,1 ,2 0 2e, 2t 1
6 7 6 7 6 7
6 7 6 7 6 7
b A = 6 7 ; h t = 6 7 ; y0 = :
6 7
0 ,1 ,1 1 1
4 5 4 5 4 5
0 0 ,1 1 1
Zadanie 13.5
Korzystaj c z de nicji obliczy transformaty Laplace'a podanych funkcji:
a sin 2t; b t2; c te,t; d e2t cos 2t:
Zadanie 13.6
Korzystaj c z de nicji obliczy transformaty Laplace'a funkcji o podanych wykresach:
y y y
a b c
6 6 6
y=f t y=g t y=h t
1 1
,@ ,
, @ ,
- , @ - , -
O 1 t O 1 2 t O 1 t
1 s 1
a ; b ; c ;
s +2 s2 +4s +5 s2 , 4s +3
s +2 s2 +1
d ; e :
s + 1 s , 2 s2 +4
s2 s2 , 1 2
Lista czternasta
Zadanie 14.1
Metod operatorow rozwi za podane zagadnienia pocz tkowe dla r wna r niczkowych rz du pierwszego:
a y0 , y =1, y 0 =1; b y0 , 2y = sin t, y 0 = 0:
Zadanie 14.2
Metod operatorow rozwi za podane zagadnienia pocz tkowe dla r wna r niczkowych rz du drugiego:
a y00 + y0 =0, y 0 =1, y0 0 = 1;
b y00 +3y0 = e, 3t, y 0 =0, y0 0 = ,1;
c y00 , 2y0 +2y = sin t, y 0 =0, y0 0 = 1;
d y00 , 2y0 + y =1 + t, y 0 = 0, y0 0 =0;
e y000 + y00 = t, y 0 = ,3, y0 0 =1, y00 0 = 0;
f y 4 , 5y00 +10y0 , 6y =0, y 0 =1, y0 0 = 0, y00 0 =6, y000 0 = ,14:
Zadanie 14.3
Metod operatorow rozwi za podane zagadnienia pocz tkowe dla uk ad wdw ch r wna rz du pierwszego:
8 8 8 8
x0 = ,y x 0 = 1 x0 = , y x 0 = 1
a ; ; b ; ;
: : : :
y0 = ,x y 0 = ,1 y0 = 2x + 2y y 0 =1
8
8 8 8
1
x 0 =
x0 = , 2y + 3t x 0 = 2 x0 , y0 = , sin t
2
c ; ; d ; :
1
: : : :
y0 = 2x + 4 y 0 =3 x0 + y0 = cos t y 0 = ,
2
Zadanie 14.4
Metod operatorow rozwi za podane zagadnienia pocz tkowe dla uk ad w trzech r wna rz du pierwszego:
8 8
x0 = ,2x , 2y , 4z x 0 =1
a ; ;
y0 = ,2x + y , 2z y 0 = 1
: :
z0 = 5x +2y +7z z 0 =1
8 8
x0 = ,x + y + z + et x 0 = 0
b ; :
y0 = x , y + z + e3t y 0 =0
: :
z0 = x + y + z + 4 z 0 = 0
Zadanie 14.5
Korzystaj c z podstawowych w asno ci przekszta cenia Laplace'a obliczy transformaty podanych funkcji:
a sin4 t; b cos 4t cos 2t; c t2 cos t;
d t sh 3t; e tet cos t; f e3t sin2 t;
g 1 t , 2 sin t , 2 ; h 1 t , 1 et, 1 :
Zadanie 14.6
Obliczy transformat Laplace'a funkcji:
8
1 dla 0 t 1
0 dla 1 t 2
1 dla 2 t 3
f t = :
0 dla 3 t 4
1 dla 4 t 5
:
0 dla 5 t 1
Wskaz wka. Funkcj f t zapisa wykorzystuj c jedynk Heaviside'a.
Zadanie 14.7
Korzystaj c z podstawowych w asno ci przekszta cenia Laplace'a wyznaczy funkcje, kt rych transformaty dane s wzo-
rami:
2s +3 3s2 e,s
a ; b ; c :
s3 +4s2 +5s
s3 , 1 2 s +1
Zadanie 14.8
Obliczy podane sploty:
a et e2t; b cos 3t cos t:
Zadanie 14.9
Korzystaj c ze wzoru Borela wyznaczy funkcje, kt rych transformaty dane s wzorami:
1 s 1
a ; b ; c :
2
s2 s2 +1
s2 +1 2 s , 1 s +2
Zadanie 14.10
Przedstawi rozwi zania podanych zagadnie pocz tkowych w postaci splotu:
a y00 + y0 , 2y = cos t, y 0 =0, y0 0 =0;
b y00 , 2y0 + y = et, y 0 = 0, y0 0 =0:
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Gewert M Analiza Matematyczna i Elementy Analizy Wektorowej ZadaniaAnaliza Matematyczna 2 ZadaniaKrysicki Włodarski Analiza matematyczna w zadaniach 1 poprANALIZA MATEMATYCZNA 1 zadania Ianaliza matematyczna 1 ZADANIAwięcej podobnych podstron