1tom073
4. INFORMATYKA 148
Poniżej podano kwadratury Gaussa, w których w zależności od przedziału [u, ł>] i funkcji wagowej węzły a, są pierwiastkami określonych wielomianów ortogonalnych i stale H; są obliczane z odpowiednich równości.
Kwadratura Gaussa- I.egendrea z wagą W{x) = 1 w przedziale [—1,1] ma postać
j/(-x)dx= i HJW+E (4.10)
-I i= 1
gdzie: węzły a, (i = 1,2, ...,n) są zerami wielomianu Legendre’a, a Hi i E oblicza się ze wzorów
2 '72"+1 (n')1
z ..... - ' ’
(n+i)£„+1(ai)L„(ćJ£)
((= 1,2.....n) E =
(2n+ l)(2n/!)
(r/ leży w przedziale [— 1,1]).
Tablica 4.8. Zera wielomianów Legendre’a i współczynniki kwadratury Gaussa-Legendre’a
|
n |
Węzły Oj |
Współczynniki H, |
|
2 |
±0,577350 = ± 1A/3 |
1 |
|
3 |
0 |
8/9 |
|
+0,774597 |
5/9 | |
|
4 |
+0,339981 |
0,652145 |
|
+0,861136 |
0,347855 | |
|
5 |
0 |
0,568889 |
|
+0,538469 |
0,478629 | |
|
±0.906180 |
0/236927 |
W tablicy 4.8 podano zera wielomianów Legendre'a i współczynniki H, dla n = 2,3,4, 5. Wielomiany Legendre’a można obliczać ze wzoru rekurencyjncgo.
Przykład 4.3. Stosując kwadraturę Gaussa-Legendre’a dla n = 4, obliczyć całkę
i
J e*dx -1
Znaleźć oszacowanie błędu tego przybliżenia. Posługując sic tabl. 4.8 dla n = 4, oblicza się
j e*dx = 0,652145-e0,339981 + 0,652145-e0-339981 + 0,347855-e°-86łł38 + 0,34 7 8 55 e °'8bn30 = 2,35040196 -1
Dokładna wartość całki jest równa e - — = 2,35040238. Błąd metody wynosi
e
•c'1 = 2,8-10 7-e’
E = -
29-(4!)4
9 - (8!)3
przy czym tj — leży w przedziale (-1,1). Stąd oszacowanie 10"7 w2,810-7-e-1 <£<2,8-10 7-e fi? 7,8-10"7
Kwadratura Gaussa-Laguerre’a z wagą W(x) = e x w przedziale (0, oc) ma postać | e~xf(x)dx = £ Hif(ai) + E
0 i= 1
PM) =
gdzie węzły a,(i = 1,2,...,«) są zerami wielomianu Laguerre’a d
dx”
natomiast współczynniki Hi oraz błąd E oblicza się ze wzorów ("!> (i = 1,2,..., n); E =-^-f(2">(,
(2 nf
gdzie ii — leży w przedziale [0, oo].
W tablicy 4.9 podano zera wielomianów Laguerre’a i współczynniki Ht kwadratury Gaussa-Lagucrrc’a dla n = 2,3,4,5. Wielomiany Laguerre’a najłatwiej obliczać ze wzoru
rekurencyjnego
P„+i(x) = (1 +2n—x)P„(x)—n2Pll_l(x) (n > 1)
Tablica 4.9. Zera wielomianów Laguerre*a i współczynniki kwadratury Gaussa-Laguerre’a
|
n |
Węzły a{ |
Współczynniki Hf |
n |
Węzły a. |
Współczynniki Hf |
|
2 |
0,585786 |
0,853553 |
4.536620 |
0,038888 | |
|
3,414214 |
0,146447 |
9,395071 |
0,000539 | ||
|
3 |
0.415775 |
0,711093 |
5 |
0,263560 |
0,521756 |
|
2,294280 |
0,278518 |
1,413403 |
0,398667 | ||
|
6,289945 |
0,010389 |
3.596426 |
0,075942 | ||
|
4 |
0,322548 |
0,603154 |
7.085810 |
0,003612 | |
|
1,745761 |
0,357419 |
12,640801 |
0,000023 |
Przykład 4.4. Obliczyć całkę J (2e)'*dx
i
stosując kwadraturę Gaussa-Laguerre’a dla n — 4. Oszacować błąd przybliżenia.
Z tablicy 4.9 odczytuje się współczynniki H} i węzły dla n = 4; zatem
J (2e)"*dx« Je x(~] dx * 0,603154-2 °-32254ft+ 0,357419•2-,•,4576,+0,038888-2-4'53662+ 0,000539 x o o \2/
x 2"9,395071 =0,48231591+0,10657398 + 0,00167554 + 0,0000008 = 0,59056623 Błąd wyraża się wzorem
gdzie 11 leży w przedziale (0, zo). natomiast 2 " można dla rj należącego do przedziału (0, oc) oszacować następująco: 0 < 2 " < 1. Stąd
(4?)- / i V
0<£< — In- 35 0.00076121
8! V 2)
Kwadratura Gaussa-Her mi te'a z wagą W(x) — e x‘ w przedziale ( — co, oc) ma postać
«C n
I e-*7(x)dx= X HJ(at)+E
-CO i= 1
gdzie węzły af (i =1,2,..., n) są zerami wielomianu Hermitc’a
dxn
a Współczynniki Hi i błąd E są dane wzorami
nL/Jt ,
E = ^—f2n\v)
n(2n)V
r, 2n+in\Jn
~ 77--- (i = 1,2,.... ń);
Hn + l(ai)HM)
Ptzy czym t] — leży w przedziale [—oc, oo].
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
skanuj0003 Tabeli 1 podano rozpuszczalność tlenu w wodzie w zależności od temperatury pod ciśnieniem
Błąd obliczenia objętości za pomocą siatki kwadratów będzie generalnie zależny od: •długości a boku
Zadanie 4. W tabeli poniżej podano wartości na podstawie których należy zreplikować opcję za pomocą
26 Informator o sprawdzianie od roku szkolnego 2014/2015 Zadanie 11. (0-2) Poniżej podano słownikowe
1tom074 4. INFORMATYKA 150 Tablica 4.10. Zera wielomianów Hermite’a i współczynniki kwadratury
Obszar 3 Poniżej podano dodatkowe Informacje dotyczące wskaźników pokazanych w obszarze 3 na stronie
001zII Statystyka - Zestaw II ‘Zadanie 1. Poniżej podano liczbę punktów zdobytych przez studentów in
KLUB MATEMATYKA (29) WM w mPrzeczytaj informacje i uzupełnij poniżej:Pawełek idzie 1 km w 20 minut.☆
skanuj0005 (368) Ćwiczenie 42 333 Ćwiczenie 42 333 4. Dla zależności zastosować metodę najmniejszych
P6010270 Kwadratury Gaussa Kwadratury Gaussa Do tej pory tworzyliśmy kwadratury postaci rb
P6080238 (2) kwadratury Newtona Cola Zbieżność i błąd IWspółczynniki dowolnej kwadratury Gaussa są
P6080240 (2) Twierdzenie 3.4 Jeśli f e C2n[a, b], to kwadratura Gaussa z rf węzłami ma tę własność,
jak długo Jak długo? Przeczytaj informacje i uzupełnij poniżej: Pawełek idzie 1 km w 20 minut. Tomek
więcej podobnych podstron