kolokwium nr1 13 14

Kolokwium nr 1 s matematyki Wydział WILiS, Budownictwo, sem. 3, r.ak. 2013/2014

Zad.l. [ 8p - rozwiązanie piszemy na stronie 1 |

Wykazać, że pole wektorowe

F(x, y, z) * (sin y + z cos x , sin z 4- z cos y , sin z + y cos z) jest potencjalne. Wyznaczyć potencjał tego pola a następnie obliczyć całkę

J (sin y + z cos z) dx + (sin z + z cos y) dy + (sin z + ycosz) dz,

gdzie łuk I: y = - z², z = z - * dla z € [0, f ].

Zad.2. ( 6p - rozwiązanie piszemy na stronie 2 ]

Oblicz f ^?-^ry dl , gdzie jL jest lukiem okręgu o równaniu z² + y² = 4 , leżącym w pierwszej L

ćwiartce układu współrzędnych.

Zad.3. [ 2p+5p - rozwiązanie piszemy na stronie 3 J

a) Sformułować twierdzenie Greena.

b) Korzystając z twierdzenia Greena obliczyć f (z² -f y²) dx + (z² — y²) dy , gdzie łuk L jest

brzegiem trójkąta o wierzchołkach 0(0,0) , A{-3,0) , 5(0,6) , zorientowanym ujemnie względem swego wnętrza.

Zad.4. [ 5p - rozwiązanie piszemy na stronie 4 ]

* Wyznaczyć równanie prostej binormalnej i płaszczyzny normalnej do krzywej

f\t) = [t + lnt, t - lnt, f²]

w punkcie odpowiadającym ^ = 1.

Zad.5. | 4p - rozwiązanie piszemy na stronie 5 ]

Wykazać, że krzywa L : {y = z², z = 3Z² + y} jest płaska. Wyznaczyć równanie płaszczyzny, w której leży.