Image0009 BMP

zodnic /c wzorem (1,20) Oznuczu to, >c wektory grud tp oraz, dr są do siebie prosto-adłe. Ponieważ wektor dr wybrany został dowolnie na powierzchni ę (*, y, e) = const, ięc wektor grad tp jest prostopadły do powierzchni ekwiskałarnej.

Obecnie przypuśćmy, że wektor dr jest normalny względem powierzchni ekwiskalar-,'j 1 zwrócony w' stronę rosnących wartości tp. Na podstawie wzoru (1,20) łatwo spraw-zić, że wektor grad ę jest zwrócony w stronę wzrostu tp, czyli od punktu o niniejszej artości p do punktu o większej wartości ę, co odpowiada kierunkowi największego zrostu skalara tp. Wektor — grad ę skierowany jest oczywiście w stronę zmniejszania ę tp.

Obliczymy składową grad₍ tp gradientu wzdłuż osi l tworzącej kąty a, fi, y z osiami % Oy, Oz układu współrzędnych prostokątnych. Składowa wektora wzdłuż osi jest aitem tego wektora na tę oś, wobec czego

dę    dę    dę

grad, f = -~- cosa+ -■ cos/! +    cosy,    (1.21)

dx    dy    dz

uwiera pochodne cząstkowe są składowymi gradientu. Biorąc pod uwagę, że równanie >i / można przedstawić w postaci

.v = x₀ + / cos a, y=y₀+lcosp, c=z₀ + /cosy,

dA    dy    dz

cosa, y-=cosp, =cosy,

po podstawieniu do wzoru (1.21), mamy

dtp djc dę d y

grad, tp—----j---------

3x di dy di

Wyrażenie znajdujące się po prawej stronie tej równości jest pochodną — funkcji tp w kie-

d /

inku osi l, wobec czego składowa gradientu wzdłuż osi l wyraża się wzorem

grad, ę= —■■    (1-22)

di

rzyjmując za oś / kolejno osie Ox, Oy. Oz układu współrzędnych prostokątnych, otrzy-lujemy składowe gradientu jak w zależności (1.17).

Gradient jest operacją, która funkcję skalarną ę przekształca na funkcję wektorową rad ę.

2.2. Strumień wektora. Dywergencja wektora

W obszarze r okicślone jest pole wektorowe, a wektor A (a, y, z) jest funkcją różnicz-owulną w tym obszarze. Niecli ,Y oznacza powierzchnię w rozpatrywanym obszarze, lenient d.V tej powierzchni przedstawiamy w postaci wektora dS normalnego względem tego element u (i>^s I •■łłi wartością (mmi .1) wektora dS jest pole pi>w:er/ilmi elementu iiS. Wielkość /l,d.V A d.Y = A dS pt/obławia strumień elementarny wektora A przez powierzchnię d.S'. Strumieniem wektora A przez, powierzchnię S nazywamy całkę

Rys. 1.4. Powierzchnia 6' w polu wektorowym

powierzchniową

jA-dS.

s

Strumień wektora przez powierzchnię jest skalarem.

W ceiu uzyskania interpretacji fizycznej strumienia wektora załóżmy, że A jest wektorem prędkości cieczy nieściśliwej w pewnym obszarze. Strumień wektora A przez powierzchnię S przedstawia ilość cieczy przepływającej w ciągu jednostki czasu przez tę powierzchnię.

Strumień wektora A przez powierzchnię zamkniętą S przedstawiamy w postaci

i A • dS.

ś

Zakładamy przy tym, że wektor dS ma zwrot normalnej zewnętrznej. Strumień wektora wypływający na zewnątrz przez granicę obszaru jest dodatni, a strumień wpływający — ujemny.

Dywergencją lub rozbieżnością div A wektora A nazywamy granicę, do której dąży strumień wektora A przez powierzchnię zamkniętą 5, będącą brzegiem obszaru Av, podzielony przez objętość tego obszaru, gdy ta objętość dąży do zera, czyli

<f A-dS

div A=-........ (1.23)

Ac

Całka | A *dS przedstawia strumień wektora A przez granicę obszaru Ac i charak-

ś

teryzuje wydaj iość źródeł pola wektora A, znajdujących się we wnętrzu tego obszaru. Z tego powodu wzór (1.23) przedstawia gęstość przestrzenną źródeł w obszarze pola. Dywergencja jest wielkością skalarną.

Dywergencja jest operacją przekształcającą wektor A pola na wielkość skalarną div A. Określenie dywergencji nie zależy od przyjętego układu współrzędnych, jednakże postać wzoru dla div A zależy od tego układu.

Obliczmy div A w układzie współrzędnych prostokątnych. W tym celu rozpatrzmy prostopadłościan o krawędziach równoległych do odpowiednich osi układu współrzędnych prostokątnych (rys. 1.5) i obliczmy strumień przez powierzchnię tego prostopadłościanu.

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Image0056 BMP Kiedy po Basię przyszła Mama, pani Marta zawołała ją na chwilę do siebie. Pokazała z d
Image0069 BMP 1 gdzie (7.9) W dalszych przekształceniach wykorzystujemy tożsamość wektorową (por. p.
Image0094 BMP wiroprądowych w omawianym ukfnd/ic. Załóżmy, żc puramclry charakteryzujące oba środowi
Socjologia Kosi?skiego (26) techniki jej spraw*. a O* to Jwt władza grupowa oraz jakie są podstawy i
Jest to kilkakrotny pomiar danego kąta na przylegających do siebie partiach limbusa. Kolejność
ZAŚPIEWAJMY KOLĘDĘ ą „Zaśpiewajmy kolędę" to świąteczna, rodzinna gra / planszowa. Po
P1020080 (3) b) w ptzypadku szczególnym, gdy wektory prędkości punktów są do siebie równolegle położ
P1020080 (3) b) w ptzypadku szczególnym, gdy wektory prędkości punktów są do siebie równolegle położ
DSC
11 (10) 20. Obliczenie wartości siły okrawania wyplywki oraz dobór prasy do okrawania. Siła okra
Płytowe Są to grzejniki obecnie najbardziej rozpowszechnione. Przeznaczone są do stosowania w instal
Image0040 BMP >ovicm zwrot wektora dl określony jest przez zwrot prądu / w przewodzie, /godnie ze
Image0038 BMP Tutututututu... Co to za odgłos? Coś waliło o parapet. Basia zerwała się z łóżka i wyj
Image0049 BMP 23. Szyfr Jonatana 1 Księga Samuela 19 i 20 Jonatan i Dawid byli dobrymi przyjaciółmi.
Image0008 BMP IVlll(. I,. 1, Axl
Image0010 BMP Strumienie wektora A pr/e/ lewą i prawą ścianę boczną prostopadłościanu wynoszą (rys.
Image0012 BMP .2.4. Operator nabla Podstawowe o
Image0034 BMP mu wały my, podobnie jak w p. 2.3, przy uwzględnieniu wzoru (3.4), te składowa normaln

więcej podobnych podstron