§ 4. SZEREGI POTĘGOWE O WYRAZACH ZESPOLONYCH — WZORY EULERA 27

v = 1 /zlinię C, leżącą w płasz-= 1?

Promieniem zbieżności szeregu potęgowego (4.1) nazywamy liczbę r> 0 tak dobraną, że dla \z—z₀\<r szereg (4.1) jest zbieżny, a dla |z—z₀|>r— rozbieżny. Innymi słowy, jeżeli r>0 jest promieniem zbieżności szeregu potęgowego (4.1), to

(4.3)    \z-z₀\<r

x>\

1,

7’

^z2 ^ ^— 1>

—2xy

^x+2y¹-2x¹+2x¹yⁱ‘

i) u = i.

o li równobocznej, dla a = 0

, dla a = 0 równanie osi Oy,

.A gdy a # 1. Gdy 1-a /

⁷zory Eulera

szereg następującej postaci: * Z <*n(z-Zo)ⁿ>

H = 0

•lone.

przedstawia największe koło o środku w punkcie z₀ i promieniu r, wewnątrz którego szereg ten jest zbieżny.

Uzupełnienie definicji promienia zbieżności. Jeżeli szereg potęgowy jest zbieżny na całej płaszczyźnie, to przyjmujemy, że jego promień zbieżności r = co, a gdy jest on zbieżny tylko w środku z₀, to przyjmujemy r = 0.

Dla wyznaczenia promienia zbieżności szeregu potęgowego mogą być z powodzeniem stosowane kryteria d’Alemberta 1.2 lub Cauchy’ego 1.3 (por. § 1).

Twierdzenie 1 (Abela). Jeżeli szereg potęgowy (4.1) jest zbieżny w pewnym punkcie Zj#0, to jest bezwzględnie zbieżny w kole \z—z₀\<q, gdzie e = |^zi^_zol oraz jednostajnie zbieżny w każdym kole domkniętym |z —z₀| <,0q, gdzie O<0<1.

Funkcją wykładniczą zmiennej zespolonej nazywamy funkcję e^z określoną szeregiem potęgowym

(4.4)

CO

.+

Funkcje trygonometryczne sinz oraz cosz dla z zespolonych określamy odpowiednio szeregami potęgowymi

(4.5)

oraz

(4.6)

n = 0

z²ⁿ⁺¹    z³    z⁵    z⁷

1)"-= z---1----- + ...

' (2/1 + 1)!    3!    5!    7!

_2«    2    4    6

Z    Z Z Z

(2/0! ^{= 1 _} 2l⁺ 44 ~ bT ⁺ "■

co

n = 0

Między funkcją wykładniczą e¹ oraz funkcjami trygonometrycznymi sinz oraz cosz w dziedzinie zespolonej zachodzą następujące wzory Eulera dla każdego z zespolonego:

(4.7)

(4.8)

cosz =

e'² — cos z + i sin z,

e^is+e-^iz

sin z =

2 i

Z powyższych definicji oraz z wzorów Eulera wynikają następujące własności funkcji wykładniczych i trygonometrycznych dla z zespolonych:

(4.9)

e 'e ¹ — e

'i^ł*i

dla dowolnych z_x i z₂,