img053
Wykład 5
Twierdzenie 5,1. Mech (Z^,d) będzie pr2estrzenię zupełnę. Deśli podzbiór ZCZj wraz z metrykę d Jest przestrzeni? prezwartę, to (Z,d) jest kompaktem wtedy 1 tylko wtedy, gdy Z Jest zbiorem domkniętym w przestrzeni (Z^,d).
Dowód. Oeśli Z jest domknięty w przestrzeni zupełnej (Z^.d), to (1.4) Jest również przestrzeni? zupełnę. Ale (Z;d) jest też z założenia przestrzeni? prezwartę, zatem (Z#d) Jest kompaktem.
Odwrotnie, jeśli (Z,d) jest kompaktem, to (Z,d) jest przestrzeni? prezwartę i należy tylko udowodnić, ż* zbiór Z jest domknięty w (Z^,ci), Przypuśćmy, że Z nie jest oomknięty w (Z^,d). Wówczcs istoiełby cięg ł,?,... elementów zbioru Z zbieżny do pewnego punktu xcZj\ Z. Ale cięg £,£«••• jest fundamentelny i na mocy kompaktyczności przestrzeni (Z,d) jego granica 9 powinna należeć do Z. Mielibyśmy więc cięg me-jęcy dwie r$*ne grenicet Jednę należęcę do zbioru Z, a drugę do Z^\Z. co jest oczywiście niemożliwe (zobacz twierdzenie l.l).
Łęczęc twierdzenia 4.8 i 5.1 otrzymujemy
Twierdzenie 5.2. Deśli (Z^,d) Jest przestrzenie zupełnę oraz ZCZj, to (Z,d) Jest kompaktem wtedy i tylko wtedy, gdy Z Jest domknięty w (Z1#d) i dla każdego t > 0 istnieje w Z^ skończona e - sieć dla zbioru Z.
Wynika stęd w szczególności, że w przestrzeni Rn dowolne nula domknięta jest kompaktem i w konsekwencji (zobacz twierdzenie 4,5 i 4.6) każda funkcja rzeczywista cięgła na takiej kuli jeet w niej ograniczona i osięga w niej maksimum i minimum.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
§3.3. IY-16 Twierdzenie 2. * Niech V będzie przestrzenią wektorową, a f : V1 —> F funkcją wieloli
Farmakologia wykład018 fizyczne i chemiczne (powstanie związku zupełnie nie spełniającego właściweg
59 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 Twierdzenie 4.8 Niech I = [a, b] C [0, oo]. 1.
67 Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4 4.3 Twierdzenia o rozkładzie Definicja 4.22 Mówimy, że
LUBUSKA DROGA IZO UNIWERSYTETU 167 cia wykładowców twierdzi, iż praca w punktach konsultacyjnych sta
Wykład Kliszewski5 W przypadku pojedynczej studni zupełnej, tj. sięgającej do warstwy nieprzepuszcz
P4130295 Twierdzenie 3.7 I Niech C będzie podzbiorem domkniętym osi rzeczywistej. Jeśli F jest I odw
P4200257 lawnonraoraio Twierdzenie 3.7 Niech C będzie podzbiorem domkniętym osi rzeczywistej. Jeśfi
wyklad2 Misja realizowana będzie poprzez dążenie do pełnego zadowolenia klientów i zaspakajanie ich
P1000677 WIRTUOZEM A PISARSKA UV kuratora, ale nawet będzie (i to z zupełną słusz. ndśdą) zarzucał m
10 (33) 184 9. Funkcje wielu zmiennych 9.19. TWIERDZENIE. Niech f będzie funkcją różniczkowalną i ok
10 (48) 199 Pochoane wyższych rzędów 9.40. Twierdzenie. Niech f będzie funkcją rze
Kombinatory punktu stałego Powyższy przykład możemy uogólnić. Twierdzenie. Niech C = C[f,x] będzie
Reguły deltaReguły delta Twierdzenie. Niech / będzie funkcją na zamkniętych A-termach w postaci norm
3 (4) f# 4. Ciągłość . 4.17. TWIERDZENIE.,iViec/i f będzie ciągłym 1:1 od wzorowaniem zwartej przest
więcej podobnych podstron