img014
14
ri,r2"** * A zetew zbieżność cięgów punktów zbioru Z do
punktu geZ jeet równoważna tinu, że w dowolnej kuli otwartej o środku w g leżę wszystkie punkty cięgu poczęwszy od pewnego nu-
meru, tj, prawie wszystkie.
Teraz bardzo prosto możemy udowodnić twierdzenie o jednoznaczności granicy cięgu w przestrzeni metrycznej (Z,d).
Twierdzenie 1.1. Oeśll cięg elementów zbioru Z na granicę
to Jest ona wyznaczona przez ten cięg w spoaób Jednoznaczny.. Innymi eło «y. cięg zbieżny nie może wiać dwóch różnych granic.
4 jat O 4 O
Dowód. Przyouśćmy, że lio x « g i li* " • g, przy czyw a t o
m—«*o m— oa
Wówczas r « d(J,§) >0 i *^) n K(j ,5) « P. Punkt g Jest granicę 12 i r
Cięgu x,x,,,., zatse poza kulę K(g,-j) znajduje się co najwyżej skończona ilość Jegp wyrazów. W konsekwencji, do kuli K(|.£) "Sżs należeć co najwyżej skończona ilość wyrazów cięgu x,x,.... co jest sprzeczne z przypuszczeniem, że lim x « 9. A więc g ® g» Co. kończy dowód twierdzenia.
Zaznaczmy, że pojęcie cięgu zbieżnego Jest bezpośrednio zwięzane z przestrzenie metryczne, o więc o tym czy dany cięg jest zbieżny (i ja ke jest jego granica) decyduje zarówno zbiór Z, jak i metryka d. froże się bowiem tak zdarzyć, że cięg jast zbieżny w przestrzeni (Z.d), ale nie jest zbieżny w przestrzeni (Z,d^). Podobnie, dany cięg może być zbieżoy w przestrzeni (Z.d) i równocześnie rozbieżny w przestrzeni
Uwaga. Zdanie "cięg Jest rozbieżny w przestrzeni (Z,dJ
jest równoważne zdaniu “cięg nie jest zbieżny h przaatrzenl
(Z.d)“.
Przykład,
W zbiorze liczb rzeczywistych R wprowadzamy dwie mstrykit jednę określony wzorem d(x,y) » lx - yi, drugę zaś dyakretnę, Wówczas cięg neN Jest zbieżny do zera w przestrzeni (R,d), ale jeBt rozbieżny w przestrzeni dyskretnej (ft,dd) (dlaczego?). Łatwo też stwierdzić, że cięg ten jest rozbieżny w przestrzeni (R*,d) miuo, że Je?< wiemy Jest on zbieżny w (R,d).
Definicja i.3. Oeśli (Z,d) i (Z,d„' aę przestrzeniami metrycznymi, to mówimy, że d i d^ sę metrykar-i poważnymLjeśli każdy cięg
i.l,... elementów zbioru Z zbieżny do <j sZ w mensie metryki d jest zbieżny i tc również do elementu g k sennie metryki d^ 1 na odwrót.
Innymi słowy, metryki d i d^ sę równoważne, Jeśli dla każdego ei*-gu I,?,..., i każdego g £. Z spełniony jest warunek
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
6 (1195) 10 i < F>1 1 przyłożone do punktów A i 8, przesuwamy do punktu 0, w którym przecina
img014 (14) Metoda normalizaci i wewnętrznej Metoda normalizacji wewnętrznej polega na normowaniu su
img014 14 2.3. Aktualne kierunki badań i zastosowań sieci neuronowych - badania
IMG014 14 - krótki wstęp teoretyczni z przytoczeniem, bądź wyprowadzeniem wzo
img014 14! Ponieważ pędzący olektron Jest taatnowauy w różnym scopniu na onouzio otrzymano widno pro
img014 14 SSB Single Sideband - modulacja jednowstęgowa VSB - Ve
img014 14 1. Wprowadzenie ntu doświadczeń zebranych w postaci ciągu uczącego powoduje, że dziedzina
img014 (14) Metoda normalizac1 i wewnętrzne i Metoda normalizacji wewnętrznej polega na normowaniu s
www piekneogrody waw pl 1 i .1 i Pm 1 ni; ■*. j* 1 > r m , Wa łJI i *7 14 ri Yj
więcej podobnych podstron