21923 P1111252

10 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona)

Jeśli konkretnie dana funkcja ma punkty nieciągłości, to będziemy ją rozpatrywali tylko w przedziałach ciągłości. Dlatego zakładając, źe spełnione jest wysłowione wyżej twierdzenie, nie musimy zastrzegać sobie za każdym razem istnienia całek: wszystkie rozpatrywane przez nas całki istnieją.

265. Tablica całek podstawowych. Każdy wzór rachunku różniczkowego orzekający, że pochodną pewnej funkcji F(x) jest /(x), prowadzi bezpośrednio do odpowiedniego wzoru rachunku całkowego

jf(x)dx =■ F(x)+C.

Na podstawie wzorów z ustępu 95, według których obliczaliśmy pochodne funkcji elementarnych, jak również niektórych wzorów wyprowadzonych później (dla funkcji hiperbolicznych) możemy ułożyć następującą tablicę całek:

1.    J"0<ix«C.

Wzór 4 wymaga pewnego objaśnienia. Może on być stosowany w dowolnym przedziale nie zawierającym zera. Rzeczywiście, jeśli przedział ten leży na prawo od zera, a więc

x > 0, to ze znanego wzoru [ln x]' = — wynika bezpośrednio, że

J£ = ln*+C.

Jeśli natomiast przedział leży na lewo od zera, a więc x < 0, to różniczkując możemy się łatwo przekonać, że [ln(—x)y = —, skąd

/£ = ,„(—_x)+c

Oba te wzory połączone razem dają wzór 4.

Wprowadzenie reguł całkowania pozwoli nam rozszerzyć możliwość znajdowania całek.

266. Najprostsze reguły całkowania

I.    Jeśli a jest stalą (a # 0), to

f a ’f (x) dx = a • j f{x) dx.

Rzeczywiście, różniczkując wyrażenie stojące po prawej stronie otrzymujemy [105,1]:

d \a f f(x) dxj = a • d J jf (x) dxj = a /(x) dx,

a. więc jest to funkcja pierwotna wyrażenia o-f(x) dx, c.b.d.o.

Tak więc czynnik stały można wynosić spod znaku całki.

II.    J [f(x)±g (x)] dx = J/(x) dx± f g (x) dx.

Różniczkujemy wyrażenie stojące po prawej stronie [105,11]:

d | J m dx±fg (x) dxj = d jf(x) dx±d Jg (x) dx = [f(x)±g (x)] dx\

jest ono więc funkcją pierwotną ostatniej różniczki, c.b.d.o.

Całka nieoznaczona sumy (różnicy) różniczek równa się sumie (różnicy) całek każdej z różniczek z osobna.

Uwaga. W związku z dwoma powyższymi wzorami zauważmy rzecz następującą. We wzorach tych występują całki nieoznaczone, z których każda zawiera stałą dowolną. Równości tego typu rozumiane są w tym sensie, że różnica prawej i lewej strony jest stała. Można również traktować takie równości dosłownie, lecz wówczas jedna z występiyących w nich całek przestaje być dowolną funkcją pierwotną: jej stałą wyznacza się po wyborze stałych w pozostałych całkach. O tej ważnej uwadze trzeba pamiętać na przyszłość.

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
10 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona) Jeśli konkretnie dana funkcja ma punkty nieciągłości
62 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona) Jeśli natomiast przy zmianie znaku u funkcja R (u, v
img014 FUNKCJA PIERWOTNA, CAŁKA NIEOZNACZONA Jeśli zaś funkcja/jest w przedziale I ciągła poza ewent
71760 P1111253 12 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona) III. Jeśli to J f(ax+b) dx *= — F (ax
P1111275 56 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona) Dla obliczenia całki 56 VIII. Funkcja pierw
19763 P1111255 16 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona) Przypuśćmy, że trzeba obliczyć całkę
26916 P1111263 32 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona) ków A, M, N. Ponieważ liczniki grupy

więcej podobnych podstron