P1111259

24

VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona)

inA-

^ y^l—xⁱ

[patrz 269,2)].

P / ** *in | dx.

Mamy

J x^ad(—cos a) = -- a*cosa— f(—cosx)dx² = — a*cos a+2 Jacos a</a.

Tak więc sprowadziliśmy szukaną całkę do znanej już [270, (4)]; podstawiając jej wartość otrzymujemy J x² sin x dx — —a*cos x+2 (x sin a+cos z)+C.

Zastosowaliśmy tu regułę całkowania przez części dwukrotnie.

Tak samo przez wielokrotne zastosowanie powyższej reguły można obliczyć całki j P (x) c‘*dx, J P (x) sin bx dx, J P (a) cos bx dx, gdzie P(x) jest wielomianem zmiennej x.

4) Jeśli skorzystamy z uogólnionego wzoru na całkowanie przez części, to można otrzymać od razu ogólne wyrażenia dla całek tego typu.

Biorąc d^m*ⁿ = «“ otrzymujemy

/■> « — a

Jeśli P(x) jest wielomianem stopnia n, to na mocy wzoru (5) otrzymujemy

JP(x) <T*dx » e*'    ~ + -£- - ...1 +C.

^J    L o fl* o* J

Analogicznie, jeśli wziąć tj"^+l* -- sin Aa, to

cos bx

Stąd wzór

J P (z) sin bx dx = sil W podobny sposób można wyprowadzić wzór

S) Jx*ln²xdx.

Mamy

/ In²xd±X* - jr⁴ln^aA- XJ x*dln²x - l^ln²jr- f A*ln x dx

obliczenie sprowadza się do całki 1). Ostatecznie

/ x*\n²x dx = X x⁴ln*x— X (X *«in a- -X. a⁴) + C - X (ln^aA- X )_n x+ X) + C.

Tak samo kolejno obliczamy całkę

J x*ln"A dx,

gdzie k jest dowolną liczbą rzeczywistą (k ■■£ -1), a m — 1, 2, 3,... Jeśli zastosować do tej całki wzór na całkowanie przez części, przyjmując u =* \n"x, to otrzymamy wzór redukcyjny

f x*\n"xdx — ■ 7 ;; **♦*In**— ■ — I A*ln^m_,A</a,

^    Ar+1    *+l

oa mocy którego obliczenie rozpatrywanej całki sprowadza się do obliczenia całki tej samej postaci, ale z wykładnikiem przy ln/o jeden mniejszym.

§ 1. Całka nieoznaczona i najprostsze sposoby jej obliczania

Podstawienie r = lnx sprowadza zresztą rozpatrywaną całką do postaci \i^me^ikrlvdt zbadanej jot w 3) i w 4).

6) Ciekawy przykład stanowią całki

f «"cos bx dx, ( e"sirt bx dx.

Jeśli zastosować do nich całkowanie przez części biorąc w obu przypadkach powiedzmy do v -

<= -i- to otrzymamy a

f e"cos bx dx =■ — (•*cos bx+ — f e"$in bx dx,

J    a    a J

f e“*$in bx dx ■— — e**sin bx— — f «*'cos bx dx.

J    a    a J

Tak więc każda z tych całek wyraża się przez drugą (’).

Jeśli teraz podstawimy do pierwszego wzoru wyrażenie z drugiego wzoru, to otrzymamy równanie względem pierwszej całki, z którego wynika, że

f f"cosbxdx I ^fcłi^l>x*aa»tx Ejjgfl ^J    a²+b²

Analogicznie obliczymy drugą całkę

f «"sin bx dx - °    fe&J*

J    a*+b²

7) Jako ostatni przykład zastosowania metody całkowania przez części wyprowadzimy wzór redukcyjny na obliczenie całki

Wtof    '■TZS*

Zastospjmy do niej wzór (3) przyjmując

1    2nxdx

(**+«*)■

Otrzymujemy

^J,~ (x'+a>Y ⁺²"/ (/+$)■*' *•

Tę ostatnią całkę można przekształcić w sposób następujący:

f_2?—dx= (<ti⁺*LlzsLdx - f    Ł t dx

.    - Z*a²J, _¥l,

(x²+a²)*

,    __!___x _    2n- I___I_ ,

"⁺¹ Ina² (.v*+«j^ł)- 2n a² *'

O Jeśli przez całki rozumieć określone funkcje pierwotne (por. uwaga w 266], to chcąc w drugim wzorze mieć te same funkcje i co w pierwszym, musielibyśmy Ściśle rzecz biorąc dołączyć do prawej strony pewną stałą. Oczywiście zostałaby ona pochłonięta w ostatecznych wzorach przez stale C i C\

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
24 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona) (c) f arc sin * dx — x arc sin x— fxrfarcsinx = xarc
21923 P1111252 10 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona) Jeśli konkretnie dana funkcja ma punk
71760 P1111253 12 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona) III. Jeśli to J f(ax+b) dx *= — F (ax
P1111275 56 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona) Dla obliczenia całki 56 VIII. Funkcja pierw
19763 P1111255 16 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona) Przypuśćmy, że trzeba obliczyć całkę
26916 P1111263 32 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona) ków A, M, N. Ponieważ liczniki grupy
P1111253 12 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona) III. Jeśli to J f(ax+b) dx *= — F (ax+6)+C

więcej podobnych podstron