P1111275

56 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona)

Dla obliczenia całki

2\/Y    |/ax²+bx+c

Podnosząc do kwadratu i mnożąc przez 4 Y otrzymujemy równość 4t²Y = (Yy = 4a²x²+4abx+b² , którą odejmiemy od pomnożonej przez 4a równości

Y = ax² + bx+c.

W wyniku otrzymujemy

i wreszcie

(12)

Tak więc całe zadanie sprowadza się do obliczenia całki z wielomianu.

W szczególności dla m = 1 otrzymujemy na przykład

r_dx    _    2    2 ax+b

J (ax² + 6x+c)^i/2 “ 4ac-b² \/ax²+bx+e '

(b) W przypadku ogólnym, aby otrzymać wyrażenie bardziej symetryczne, przyjmijmy

ax² + bx+c = a (x²+p^,x+q^r),

przy czym będziemy mogli teraz założyć, że trójmian w nawiasach nie jest identyczny z trój mianem x²+px+q. Postawimy sobie za zadanie tak przekształcić zmienną x, aby w obu trójmianach jednocześnie znikły składniki stopnia pierwszego.

Niech najpierw p # p\ Wtedy możemy osiągnąć cel za pomocą podstawienia ułam-kowo-liniowego

ut + v ^X 1 t+1

wybieraiac odpowiednio współczynniki /t i v. Będzie

..2 ,    „ _ (p²+pp+q)t² + [2pv+p(p+v)+2q] «+(v²+pv+<j)

x +px+q -    (| _{+ 1)2}

analogicznie dla drugiego trójmianu. Szukane współczynniki wyznaczamy z warunków 2pv+p(p+v)+2q = 0,    2pv+p^,(p+y)+2q' = 0

lub

-2^,

P-P    P~P

Tak więc p i v są pierwiastkami równania kwadratowego

(P“P') z²+2(q-q')z+(p'q-pq') = 0.

Na to by pierwiastki te były rzeczywiste i różne (*) potrzeba i wystarcza, by spełniony był warunek

(q-q')²-(p-p')(p'q-pq') >0.

Przekonamy się, że warunek ten jest spełniony.

Przepiszmy warunek (14) w postaci równoważnej

(14*)    [2(q+q')-pp'¥ > (4q-p²) (4ę'-p°).

Wiadomo, te 4q—p² > 0, gdyż trójmian x²+px+q ma pierwiastki urojone; dlatego nierówność (14*) jest na pewno spełniona, jeśli jednocześnie jest 4q'—p’² < 0. Pozostaje więc

PI Dla u ■■ v podstawienie traci sens, sprowadza się bowiem do x — .u.

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
P1111275 56 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona) Dla obliczenia całki 56 VIII. Funkcja pierw
56 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona) Dla obliczenia całki dx / (ax2 +
MATEMATYKA108 206 IV. Całka nieoznaczona PRZYKŁAD 2.5 Obliczymy całki: a) J = Jxcos2xdx Przyjmujemy:
Inż. Śr. I rok, semestr 2. Lista nr 4. Całki nieoznaczone Zad. 1. Oblicz całki f (x6 - 3x2 + ^—)dx f
Inż. Śr. I rok, semestr 2. Lista nr 4. Całki nieoznaczone Zad. 1 Oblicz całki l(x‘-ix +w)dx £ + Ą
21923 P1111252 10 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona) Jeśli konkretnie dana funkcja ma punk
71760 P1111253 12 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona) III. Jeśli to J f(ax+b) dx *= — F (ax
19763 P1111255 16 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona) Przypuśćmy, że trzeba obliczyć całkę
26916 P1111263 32 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona) ków A, M, N. Ponieważ liczniki grupy
P1111253 12 VIII. Funkcja pierwotna (całka nieoznaczona) III. Jeśli to J f(ax+b) dx *= — F (ax+6)+C

więcej podobnych podstron