77818 skanuj0012 (261)
Rozdział 4- Ciągi i szeregi
4.3. Ciągi funkcyjne
zatem me jest spe\mony w ar \rnck konieczny, bo > oc. Warunek konieczny
°° t
nie jest także spełniony dla x = — e. Zatem szereg Y jest zbieżny dla
n— 1
.t £ (—e, e), a rozbieżny dla a: € (—oc, —e] U [e, +oc). Był to przykład szeregu potęgowego. Takimi szeregami będziemy się zajmować w podrozdziale 4.4.
4.3. Ciągi funkcyjne
Poprzednio rozważaliśmy zbieżność ciągów liczbowych. Jeżeli mamy danydąg funkcji (/n)^Ll5 fn'- D —> IR, D C R, to naturalne jest pytanie o zbieżność tego ciągu do pewnej funkcji /: D —» R. W jakim sensie będziemy tu rozumieć zbieżność? Jednym z możliwych jest pytanie o to, czy ciąg wartości funkcji fn(x) zmierza do f{x) dla każdego x £ D.
Definicja 4.60. Będziemy mówić, że ciąg funkcji (/n)"L1? fn: D —> M jest zbieżny punktowo do funkcji /: D —» R i pisać fn —> /, jeżeli dla każdego x e D zachodzi /n(:r) —> /(a;). Rozpisując to, „explicite”, zauważamy że dąg fn jest zbieżny punktowo do funkcji / (/n —> /) wtedy i tylko wtedy, gdy
(4.11) Vx6o V£>0 V„>m \fn{x) - f(x)\ < £.
Przykład 4.61. Niech fn: [0,1] —> R, fn(x) = xn. Wtedy dla każdego X £ [0,1), fn(x) -> /(x), gdzie /(a;) = 0 dla x £ [0,1), a /(1) = 1. Wynika to bezpośrednio z twierdzenia 4.31. Innymi słowy, fn —> /.
Zbieżność punktowa nie zachowuje jednak wielu własności, np. ciągłości funkcji (patrz przykład 4.61 i twierdzenie 5.29). Trzeba więc wprowadzić pojęcie silniejsze.
Definicja 4.62. Niech fn: D -> R, /: D —» R, D C R. Mówimy, że dąg (/n)S=i jest zbieżny jednostajnie do funkcji / i piszemy fn =4 /, jeżeli
(4.12) V£>0 3MgM Vn>M |/n(rr) - /(x)| < e.
Warunek ten jest równoważny
(4.13) V£>0 3MgK Vn>M sup|/n(x) - /(x)| < £.
x£D
Aby pokazać tę równoważność, zauważmy że warunek (4.13) implikuje w sposób oczywisty warunek (4.12). Jeśli natomiast zastosujemy warunek (4.12) dla §, to otrzymamy sup|/n(a:) - f(x)\ < § < e.
x£D
Porównując warunl
Twierdzenie 4.63. A
Dcl oraz funkcja f: do funkcji f, to ciąg te
Przykład 4.64. Rozv Przy ustalonym x £ [C ciągach. Zatem ciąg (. 0 (/„ -*■ 0). Pokażemy, jeżeli weźmiemy M — nierówność | Cj sin nx -Przykład 4.65. W p:
jest zbieżny punktowe i /(1) = 1. Udowodnić
3£>o V
Niech e = \ i weźmy d
wiemy, że (^)A < 1 dl. z własności zbioru lici
że (5)" < x < 1, czj dowód.
4.4. Szeregi fi
Mając dany ciąg funkc
00
ny Yj fn- Analogiczn
71 = 1
ciąg sum częściowych
SN\D-*\
Definicja 4.66. (1
N
ciąg Sn — Y
n=1
SN(X) = E fn
n=l
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
skanuj0010 (291) 72 Rozdział Ą. Ciągi i szeregi Twierdzenie 4.52. (kryterium d’Alemberta5 zbieżności
skanuj0020 (160) 82 Rozdział Ciągi i szeregi 4.103. an 4.106. an 4.107.
skanuj0004 (414) 66 Rozdział J. Ciągi i szeregi zatem 8n —> O, czyli ś/a — 1 + ón —» 1. Jeśli O &
14175 skanuj0018 (182) 80 Rozdział 4- Ciągi i szeregi 4.12. an = 4n — /l6n2 + 6n — 5. 14.13. an = V4
59042 skanuj0016 (202) 78 Rozdział 4- Ciągi i szeregi 4.4. Szeregi funkcyjne 00 Twierdzenie 4.71. Ni
skanuj0002 (444) 64 Rozdział J. Ciągi i szeregi Naturalne jest pytanie o zachowanie się granic wzglę
48650 skanuj0006 (372) 68 Rozdział 4- Ciągi i szeregi Ą.2. Szeregi liczbowe 2 N Uwaga 4.37. Bezpośre
więcej podobnych podstron