148

3. PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE'A I JEGO PEWNE ZASTOSOWANIA

§ 2. WYZN

Stosując wzór (1.10) na różniczkowanie transformaty, otrzymujemy ze wzoru (4)

(5)

2!

Lt-n = --₃.

Stosując wzór (1.10) do (5), mamy

(6)

Ogólnie szukana transformata ma postać

(7)

3'

^l^ = 7-

„ __ n!

Uwaga. Wzór (7) pozostaje prawdziwy także dla n = 0.

Zadanie 2.8. Znaleźć transformatę Laplace’a funkcji f(f) = e~²'cost.

Rozwiązanie. Wiadomo, że transformata funkcji cost (por. zad. 2.6) określona jest wzorem

s

(1)

L [cos f] =

s² + T

Stosując do równości (1) wzór (1.14) dla p₀ = —2, czyli mnożąc cos/ przez e^-2< i zastępując ^ po prawej stronie równości (1) przez s—p₀ = 5+2, otrzymujemy szukaną transformatę

_r — 2r i    S + 2    S + 2

(2)    L [e ² cos /] =

(s+2)² +1 s² + 4s + 5'

Zadanie 2.9. Znaleźć transformatę Laplace’a funkcji /(/) = isinbt. Rozwiązanie. Wiadomo, że

(1)

L [sin fct] =

s + b

Stosując do równości (1) wzór (1.10) na różniczkowanie transformaty, otrzymujemy

(por. zad. 2.2). Na mocy wzi

(2)

Uwzględniając równości (1) v

(3)

Stosując do równości (3) wzói formatę

(4)

t

Zadanie 2.11. Wyznaczyć po zamknięciu obwodu w chv stępujący przebieg:

(1)

2(0

22(0

f=0

I 0-

Rys. 3.3

Rozwiązanie. Impedanc że kondensator był rozładow

(2)

— 2 sb

L[—t sin fet] = -■ u2\2 ■

(s² + b²)² ’

Na mocy wzoru (1.4) możemy lewą stronę równości (2) napisać w postaci:

2 sb

Stąd natychmiast

-L [/ sin bt] = — L[fsinbf] =

(s^z + b²)²' 2 sb

(s² + f>²)²'

Zadanie 2.10. Znaleźć transformatę Laplace’a funkcji f(t) = Rozwiązanie. Wiadomo, że

e^b,-e^a‘

(2)

Transformata napięcia (1) w

(3)

Stosując do rozważanego ob transformatę I(ś) natężenia j

/(

Zadanie 2.12. Wyznaczyć

(1)

LI*}-

1

1

s—a

O)