158 3. PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE’A I JEGO PEWNE ZASTOSOWANIA

Zadanie 4.6. Obliczyć splot fi(t)*f₂(t), jeżeli /,(/) = /, f₂{t) = cos/. Rozwiązanie. Zgodnie z definicją splotu mamy

f    f    1

-/ * cos / — J(/ —x) cos z eh = t Jcosti/t— Jtcostć/t = o    o    o

= t [sin t]'o — [i sin r + cos t]'₀ =

= /(sin/ —sin0)— (/sin/ + cos/ —0- sinO — cosO) =

= /sin/—/sin/—cosZ + 1 = 1 —cos/.

Ostatecznie mamy

Z* cos Z = 1—cos/.

Zadanie 4.7. Obliczyć splot /i(/)*/₂(/), jeżeli /,(/) = /, /₂(z) = e'. Rozwiązanie. Zgodnie z definicją splotu mamy

t*e' = f (/ — t) e^Tdx — t j e^rdx — J r e^rdx = / [e^y — \xe^r— e^T]'₀ = o    oo

— t(e' — e^o) — (te' — e‘ — 0- e° + e°) = te'— I — te' + e‘— 1 = e' — t— 1. Ostatecznie mamy

Zadanie 4.8. Wiedząc, że

/* e' = e'-(/+l). 5s

<*>00 =

(s² + l)(s-l)

i stosując wzór (3.9) Borela o splocie wyznaczyć oryginał

5s

Rozwiązanie. Zgodnie z własnością 3, §3, wzór (3.9), w rozważanym przypadku mamy

<■>    ^L" |pl' to] - ^L"‘(jr->)*^L" (m)-

Z tablicy transformacji Laplace’a, § 8, odczytujemy

(2)    L~¹    = 5 L~¹ ^^ = 5e‘ (por. wiersz 2 dla a = 1),

(3)    ^ = cos / (por. wiersz 3 dla a = 1).

Uwzględniając związki (2) i (3) w prawej stronie wzoru (1), mamy

(4)

L~¹ [—• -^-1 = 5e‘ [_S-1 S +1J

* COS t.

Wyliczamy następnie (5)    5e' * cos / = 5

I

= 5<

Uwzględniając wzór (5) w p /(/)_SL-

Zadanie 4.9. Wiedząc, że

metodą splotu wyznaczać or

Rozwiązanie. Zgodnie

(1)

Z tablic transformacji Lapla

(2)

^{(3) L}

Uwzględniając związki (2) i

(4)

Wyliczamy następnie

f

(5)    / * sin / = J

Uwzględniając wzór (5) w {

/