160 3. PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE’A l JEGO PEWNE ZASTOSOWANIA

Zadanie 4.10. Wiedząc, że

1

*(_S) = 7==

Vs² + a²

Ale, jak wiadomo, suma szert J₀(at). Ostatecznie więc mam

znaleźć oryginał

Rozwiązanie. W celu rozwiązania naszego zadania zauważamy, że funkcję naszą można przekształcić do następującej postaci:

1    1    1 T /a\²"Ti

(1)

Rozwijamy następnie funkcję [l+(zr/r)²] - w szereg Maclaurina. Otrzymujemy wtedy

Uwzględniając wzór (2) w (I), mamy 1

s

(3)

a⁴ 1-3-5 a⁶

Zadanie 4.11. Wiedząc, ii

Rozwiązanie. W celu ro2 Laurenta w otoczeniu niesko:

(1)    sin

Mnożąc obustronnie (1) prze 1 1

(2)    — sin— =

^v    s s

V s

Is +a

Z relacji (3) wynika, że funkcja

1    1 a² 1-3

T’7^r+2²-2!    3! s

T + --

^(s) =

Vs² + n²

jest funkcją regularną w nieskończoności i równą zeru w nieskończoności. Szereg po prawej stronie relacji (3) jest oczywiście szeregiem Laurenta tej funkcji postaci (3.10) (por. własność 4, § 3). Wobec tego na mocy wzoru (3.11) szukany oryginał f(t) otrzymamy, biorąc w relacji (3) obustronnie odwrotne przekształcenie Laplace’a; po prawej stronie relacji (3) bierzemy odwrotne przekształcenie Laplace’a wyraz po wyrazie. Otrzymujemy wtedy

(4)

ale

(5)

¹ V-

\s"⁺7 n!

dla n^s0 całkowitych.

Uwzględniając (5) we wrzorze (4), mamy

(6)

(at)² . (at)⁴

(at)⁶

2²- 4² 2²- 4²- 6²

Ze wzoru (2) wynika, że funkcj

Wobec tego na mocy wzoru (3 obustronnie odwrotne przeks: bierzemy odwrotne przekszta

(3)    f(t) = L Z tablic przekształceń Laplac

(4)

Uwzględniając związek (4) w

/(O ^s £>"¹ (

Zadanie 4.12. Dana jest t sygnał wyjściowy u₂(t), jeżeli

11 — Wybrane działy matematyki...