120761

T:

d^m 'f (x₀)(h) <Tf (x„10 )i)(/i)

(m-l)l    m!

Dowód:

Niech: d>(0 = f(Xo^+,,')^eR , ‘i>:[o,i]-»R Pokażemy, że <J> spełnia założenia twierdzenia Taylora w [0,1] i że k-ta pochodna w punkcie t jest równa k-tej różniczce, czyli:    (t) = d^k f (x₀ + th)(h) .

Niech:

‘ł^/:[0.1]3t ->(x„+r/i)e R"

Zauważmy, że:

(f o 4-)(r) = fmt)] = f (x₀ +t/i) =<&(()

Wiadomo, że: d<*(r)(l)=cP(r)l Z drugiej strony:

d<t(rXl) =df(u |„_^„)    = [df(x„ +th)](h) ,

bo d'i<rXl)=^lI^,(r) l = h l Z powyższego wynika:

<U (t) =df(x„ +rfi)(h)

Analogicznie można pokazać:

*“’«) = d^kf(x₀ +th)(h) .

Dla t = 0 <P^,k,(0) =d^kf(x₀)(h)

Z faktu, że f e c”(U) wynika, że <J>eC"([o,i])

4^J- jest klasy c“ , f - jest klasy C^m - z tego wynika, że <t> jest klasy C^m na odcinku [0,1],

Są więc spełnione założenia twierdzenia Taylora dla <t> w[0,l]

Dla t = 0, h = 1 wzór Taylora przedstawia się następująco:

Zatem:

DEFINICJA 13.3 fEKSTREMUM LOKALNE! Niech f:R"-*R

Powiemy, że funkcja f osiąga wx₀ należącym do dziedziny maksimum (minimum) lokalne

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Image3200 df,    1 ax
ciagłość Funkcja jest ciągła w punkcie x0 e Df, jeżeli lim /(x) = /(x0) x— Funkcja F : D —> OS je
5F fBF dy dx [tyj d2F n = 0(*) yUWAGA: Ponieważ: dx dF_ dvd2F d2F -y + uy j dxdy
Image2234 fx0;J (f(x)y
skanowanie0009 (2) JJJ_ A(al2a (nałe^ol^ana Nitdh a f(x) , x0 e Df , yGt e D ro.iłv.oD vvjcucA &nb
cauchy ego Liczba g jest granicą funkcji /w punkcie x0 co zapisujemy lim f(x) = g, jeżeli Ve > 0
ZL2 z leżenie° df{x0) u = /(*)
■ dennej Ciągłość funkcji R {0}, więc x0 = 0 jest ~-m skupienia zbioru Df. Przykład 14.10___ W
Skan5 19 Fur die Funktion f(x)=x ist dx=x-x0=Ax und damit nach (2): df = / (x0)dx Daraus folgt: / (
F f(x) = V an(x - x0f dla xe[xo~R, xo+R[ n-0 (Xą]X0-R, Xo+R])
Image134 Rys. Zmienne stanu — droga X0— prędkość X7— przyspieszenie w wyróżnionych chwilach czasu: 1
Image2210 lim f(x) = g lub f(x) x^x0 x^x0 >9-
Image2213 *9 lim f(x) =g lub f(x)--- x-»x0+    x^xo
Image2217 Jeśli istnieje e takie, że 0(x0je)c £}, to lim f(x)=f(x$). x^x0
Image2218 Jeśli istnieje e takie,że 0+ (x0je)cCj, to lim f(x) =f(x^). x^x0+

więcej podobnych podstron