Wytrzymałość Materiałów Budownictwo, Rok II, Semestr III
Graficzne obliczanie całek
z iloczynu dwóch funkcji
WYKAAD 13 B
Literatura (dot. mechaniki budowli, np.:)
NOWACKI W.: Mechanika budowli. PWN, Warszawa 1975 (rozdz. 8.2, str. 176).
BORKOWSKI A., BRANICKI CZ., I INNI: Mechanika budowli z elementami ujęcia komputerowego.
Arkady, Warszawa 1984 (rozdz. 2.1.2, str. 97).
str. 16, CHRÓŚCIELEWSKI J.: Materiały pomocnicze do wykładu z Wytrzymałości Materiałów.
Wersja elektroniczna, http://www.okno.pg.gda.pl.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W13D/1
Wytrzymałość Materiałów całka z iloczynu 2 funkcji
We wzorach do wyznaczania przemieszczeń (energetycznych, wirtualnych przemieszczeń) występuje zadanie
z2
MM
obliczania całek z iloczynu dwóch funkcji typu f1 f2dz (np. dz ).
+" +"
z1 s
EJ
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W13D/2
Wytrzymałość Materiałów całka z iloczynu 2 funkcji
We wzorach do wyznaczania przemieszczeń (energetycznych, wirtualnych przemieszczeń) występuje zadanie
z2
MM
obliczania całek z iloczynu dwóch funkcji typu f1 f2dz (np. dz ).
+" +"
z1 s
EJ
Prosty sposób postępowania. Założenia:
" funkcje (wykresy) f1 i f2 są znane,
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W13D/3
Wytrzymałość Materiałów całka z iloczynu 2 funkcji
We wzorach do wyznaczania przemieszczeń (energetycznych, wirtualnych przemieszczeń) występuje zadanie
z2
MM
obliczania całek z iloczynu dwóch funkcji typu f1 f2dz (np. dz ).
+" +"
z1 s
EJ
Prosty sposób postępowania. Założenia:
" funkcje (wykresy) f1 i f2 są znane,
" niech jedna z funkcji będzie liniowa np. f2(z) = az + b,
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W13D/4
Wytrzymałość Materiałów całka z iloczynu 2 funkcji
We wzorach do wyznaczania przemieszczeń (energetycznych, wirtualnych przemieszczeń) występuje zadanie
z2
MM
obliczania całek z iloczynu dwóch funkcji typu f1 f2dz (np. dz ).
+" +"
z1 s
EJ
Prosty sposób postępowania. Założenia:
" funkcje (wykresy) f1 i f2 są znane,
" niech jedna z funkcji będzie liniowa np. f2(z) = az + b, wówczas
z2 z2 z2 z2
f1(z)i f2(z)dz = f1(z)i(az + b)dz = a f1(z) z dz + b f1(z)dz
+"+" +" +"
z1 z1 z1 z1
= a z dA + b dA = aS1+ bA1 = aA1zC + bA1
+"+"
1
A1 A1
= A1i(azC + b) = A1i f2(zC ) ,
11
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W13D/5
Wytrzymałość Materiałów całka z iloczynu 2 funkcji
We wzorach do wyznaczania przemieszczeń (energetycznych, wirtualnych przemieszczeń) występuje zadanie
z2
MM
obliczania całek z iloczynu dwóch funkcji typu f1 f2dz (np. dz ).
+" +"
z1 s
EJ
Prosty sposób postępowania. Założenia:
" funkcje (wykresy) f1 i f2 są znane,
" niech jedna z funkcji będzie liniowa np. f2(z) = az + b, wówczas
z2 z2 z2 z2
f1(z)i f2(z)dz = f1(z)i(az + b)dz = a f1(z) z dz + b f1(z)dz
+"+" +" +"
z1 z1 z1 z1
= a z dA + b dA = aS1+ bA1 = aA1zC + bA1
+"+"
1
A1 A1
= A1i(azC + b) = A1i f2(zC ) ,
11
stąd obowiązuje
z2
f1 f2dz = A1i f2(zC ),
+"
1
z1
z2
gdzie A1 = f1(z)dz jest polem ograniczonym funkcją f1, zaś
+"
z1
f2(zC ) wartością funkcji liniowej f2 pod środkiem ciężkości zC pola A1.
1 1
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W13D/6
Wytrzymałość Materiałów całka z iloczynu 2 funkcji
We wzorach do wyznaczania przemieszczeń (energetycznych, wirtualnych przemieszczeń) występuje zadanie
z2
MM
obliczania całek z iloczynu dwóch funkcji typu f1 f2dz (np. dz ).
+" +"
z1 s
EJ
Prosty sposób postępowania. Założenia:
" funkcje (wykresy) f1 i f2 są znane,
" niech jedna z funkcji będzie liniowa np. f2(z) = az + b, wówczas
z2 z2 z2 z2
f1(z)i f2(z)dz = f1(z)i(az + b)dz = a f1(z) z dz + b f1(z)dz
+"+" +" +"
z1 z1 z1 z1
= a z dA + b dA = aS1+ bA1 = aA1zC + bA1
+"+"
1
A1 A1
= A1i(azC + b) = A1i f2(zC ) ,
11
stąd obowiązuje
z2
f1 f2dz = A1i f2(zC ),
+"
1
z1
z2
gdzie A1 = f1(z)dz jest polem ograniczonym funkcją f1, zaś
+"
z1
f2(zC ) wartością funkcji liniowej f2 pod środkiem ciężkości zC pola A1.
1 1
Uwaga. Jeśli funkcja f2 jest linowa obliczona wartość całki jest ścisła, określenie graficzne
jest zaszłością historyczną i nie wiąże się z metodą wykreślną z natury przybliżoną.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W13D/7
Wytrzymałość Materiałów całka z iloczynu 2 funkcji
We wzorach do wyznaczania przemieszczeń (energetycznych, wirtualnych przemieszczeń) występuje zadanie
z2
MM
obliczania całek z iloczynu dwóch funkcji typu f1 f2dz (np. dz ).
+" +"
z1 s
EJ
Prosty sposób postępowania. Założenia:
" funkcje (wykresy) f1 i f2 są znane,
" niech jedna z funkcji będzie liniowa np. f2(z) = az + b, wówczas
z2 z2 z2 z2
f1(z)i f2(z)dz = f1(z)i(az + b)dz = a f1(z) z dz + b f1(z)dz
+"+" +" +"
z1 z1 z1 z1
= a z dA + b dA = aS1+ bA1 = aA1zC + bA1
+"+"
1
A1 A1
= A1i(azC + b) = A1i f2(zC ) ,
11
stąd obowiązuje
z2
f1 f2dz = A1i f2(zC ),
+"
1
z1
z2
gdzie A1 = f1(z)dz jest polem ograniczonym funkcją f1, zaś
+"
z1
f2(zC ) wartością funkcji liniowej f2 pod środkiem ciężkości zC pola A1.
1 1
Uwaga. Jeśli funkcja f2 jest linowa obliczona wartość całki jest ścisła, określenie graficzne
jest zaszłością historyczną i nie wiąże się z metodą wykreślną z natury przybliżoną.
Jeśli f2 nie jest linowa zastosowanie powyższego postępowania daje wynik błędny.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W13D/8
Wytrzymałość Materiałów całka z iloczynu 2 funkcji
" pola i położenia środków ciężkości funkcje najczęściej występujące w wykresach sił przekrojowych
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W13D/9
Wytrzymałość Materiałów całka z iloczynu 2 funkcji
" pola i położenia środków ciężkości funkcje najczęściej występujące w wykresach sił przekrojowych
" wykresy złożone, w przypadku kiedy wykres daje się przedstawić w postaci sumy funkcji prostych np.
f1 = f1 + f1 ,
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W13D/10
Wytrzymałość Materiałów całka z iloczynu 2 funkcji
" pola i położenia środków ciężkości funkcje najczęściej występujące w wykresach sił przekrojowych
" wykresy złożone, w przypadku kiedy wykres daje się przedstawić w postaci sumy funkcji prostych np.
f1 = f1 + f1 ,
z2 z2
otrzymujemy f1 f2dz = ( f1 + f1 ) f2dz = A1 i f2(zC ) + A1 i f2(zC ) = A2i f1 (zC ) + f1 (zC ) .
( )
+"+"
1 1 22
z1 z1
f2 - funkcja liniowa
f1 - funkcja liniowa
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W13D/11
Wytrzymałość Materiałów całka z iloczynu 2 funkcji
Obliczanie (tzw. graficzne ) całek z iloczynu dwóch funkcji
Przykład
Obliczyć ugięcie w punkcie 1.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W13D/12
Wytrzymałość Materiałów całka z iloczynu 2 funkcji
Obliczanie (tzw. graficzne ) całek z iloczynu dwóch funkcji
Przykład
Obliczyć ugięcie w punkcie 1.
1
L
2
MM
= dz = A2i f1 (zC ) + f1 (zC ) ,
()
+"
2 2
EJ
0
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W13D/13
Wytrzymałość Materiałów całka z iloczynu 2 funkcji
Obliczanie (tzw. graficzne ) całek z iloczynu dwóch funkcji
Przykład
Obliczyć ugięcie w punkcie 1.
1
L
2
MM
= dz = A2i f1 (zC ) + f1 (zC ) ,
()
+"
2 2
EJ
0
1 21
1 1 1 1#(- PL) + (- PL)ś#
= (- L) Liś#ź#
2
3 2
ś# ź#
EJ 2 2 2
f1 ( zC2 ) f1 ( zC2 )
# #
A2
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W13D/14
Wytrzymałość Materiałów całka z iloczynu 2 funkcji
Obliczanie (tzw. graficzne ) całek z iloczynu dwóch funkcji
Przykład
Obliczyć ugięcie w punkcie 1.
1
L
2
MM
= dz = A2i f1 (zC ) + f1 (zC ) ,
()
+"
2 2
EJ
0
1 21
1 1 1 1#(- PL) + (- PL)ś#
= (- L) Liś#ź#
2
3 2
ś# ź#
EJ 2 2 2
f1 ( zC2 ) f1 ( zC2 )
# #
A2
1 1
#
- PL + (- PL)ś#
1 1
= (- )L2iś#ź#
3
2
ś#ź#
EJ 8
f1 ( zC2 ) f1 ( zC2 )
# #
A2
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W13D/15
Wytrzymałość Materiałów całka z iloczynu 2 funkcji
Obliczanie (tzw. graficzne ) całek z iloczynu dwóch funkcji
Przykład
Obliczyć ugięcie w punkcie 1.
1
L
2
MM
= dz = A2i f1 (zC ) + f1 (zC ) ,
()
+"
2 2
EJ
0
1 21
1 1 1 1#(- PL) + (- PL)ś#
= (- L) Liś#ź#
2
3 2
ś# ź#
EJ 2 2 2
f1 ( zC2 ) f1 ( zC2 )
# #
A2
1 1
#
- PL + (- PL)ś#
1 1 5 PL3
= (- )L2iś#ź# = .
3
2
ś#ź#
EJ 8 48 EJ
f1 ( zC2 ) f1 ( zC2 )
# #
A2
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W13D/16
Wytrzymałość Materiałów całka z iloczynu 2 funkcji
Obliczanie (tzw. graficzne ) całek z iloczynu dwóch funkcji
Przykład
rozkład wykresu sił tnących na odcinku a,
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W13D/17
Wytrzymałość Materiałów całka z iloczynu 2 funkcji
Obliczanie (tzw. graficzne ) całek z iloczynu dwóch funkcji
Przykład
rozkład wykresu sił tnących na odcinku a,
rozkład wykresu momentów na odcinku a
M = M1 + M2 + M3,
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W13D/18
Wytrzymałość Materiałów całka z iloczynu 2 funkcji
Obliczanie (tzw. graficzne ) całek z iloczynu dwóch funkcji
Przykład
rozkład wykresu sił tnących na odcinku a,
rozkład wykresu momentów na odcinku a
M = M1 + M2 + M3,
Uwaga. Znajomość położenia miejsca zerowego
i wartości ekstremalnej na ogół nie jest konieczna
do dokonania rozkładu i obliczenia całek.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W13D/19
Wytrzymałość Materiałów Budownictwo, Rok II, Semestr III
Dziękuję za uwagę
cdn.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Wytrzymalosc Materialow wyklad Prety zespolone 07 8Wytrzymalosc Materialow wykladA Ciegna nierozciagliwe 07 8Wytrzymałość materiałów wykład 6wytrzymałość materiałów wykład 2Wytrzymalosc Materialow wyklad Laczniki 08 9Wytrzymalosc Materialow wyklad Zakrzywione prety silnie 08 9Wytrzymalosc Materialow wyklad?lki wielokrotne i zlozone 08 9Wytrzymalosc Materialow wyklad Ciegna 08 9Wytrzymało¶ć materiałów Wykład 21Wytrzymało¶ć materiałów Wykład 23Wytrzymało¶ć materiałów Wykład 24Wytrzymało¶ć materiałów Wykład 26Wytrzymało¶ć materiałów Wykład 26Wytrzymało¶ć materiałów Wykład 19 aneksWytrzymałość materiałów wykład 2Wytrzymało¶ć materiałów Wykład 16Wytrzymalosc Materialow wyklad Skrecanie swobodne 08 9więcej podobnych podstron