Analiza nakładów i wyników - model Leontiewa
Przedmiotem takiej analizy są przepływy międzygałęziowe w złożo-
nych układach gospodarczych.
Wartości przepływów międzygałęziowych ustalane są w oparciu o
statystyczne obserwacje działalności produkcyjnej poszczególnych
gałęzi rozpatrywanego układu w ustalonym okresie.
Zebrane w ten sposób dane, wyrażone w jednostkach pieniężnych,
przedstawione są w postaci tablicy przepływów międzygałęziowych.
Tablica przepływów międzygałęziowych
Numer Przepływ xij Produkt Produkcja
gałęzi z gałęzi i do gałęzi j końcowy globalna
j 1 2 n di xi
i
1 x11 x12 x1n d1 X1
2 x21 x22 x2n d2 X2
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
n xn1 xn2 xnn d1 X1
Macierz współczynników kosztów (współczynników technicznych):
ł łł
ł śł
a11 a12 . . . a1n
ł śł
ł śł
ł śł
ł śł
ł śł
a21 a22 . . . a2n
ł śł
ł śł
ł śł
A = .
ł śł
ł śł
ł śł
. . . . . . . . . . . .
ł śł
ł śł
ł śł
ł ł
an1 an2 . . . ann
xij
Współczynnik aij = oznacza wartość towaru i niezbędnego do
Xi
wyprodukowania towaru j o wartości 1 jednostki pieniężnej.
Oznaczenia:
d - wektor konsumpcji (produktu końcowego);
- wektor produkcji globalnej;
x
A - wektor nakładów w procesie produkcyjnym niezbędny do uzy-
x
skania wyników określonych przez wektor
x.
Aby zaspokoić ustalony popyt d należy tak dobrać wektor aby
x
było spełnione równanie:
= A + d.
x x
Lewa strona wyraża całkowitą podaż, a prawa - całkowity popyt. Na
popyt składa się nie tylko wektor pożądanej konsumpcji d, lecz także
wielkość A potrzebna jako nakłady w procesie produkcyjnym.
x
Aby obliczyć wektor wyników przy założonym poziomie konsump-
x
cji d należy rozwiązać równanie macierzowe
(I - A) = d.
x
Macierz I-A nazywamy macierzą Leontiewa. Jeśli macierz Leontie-
wa posiada macierz odwrotną to równanie ma rozwiązanie postaci
= (I - A)-1d.
x
Tw. Jeśli suma wyrazów w każdej kolumnie macierzy A jest mniej-
sza niż jeden, to macierz Leontiewa posiada macierz odwrotną.
Przykład:
Pewnien fikcyjny system gospodarczy składa się z trzech gałęzi (np.:
energetyki, hutnictwa, i budownictwa). Poniższa tablica jest tablicą
przepływów międzygałęziowych w tym systemie.
Numer Przepływ xij Produkt Produkcja
gałęzi z gałęzi i do gałęzi j końcowy globalna
j 1 2 3 di xi
i
1 24 9 20 67 120
2 48 27 10 5 90
3 12 18 30 40 100
Z pierwszego wiersza tej tabeli wynika, że na produkcję globalną
pierwszej gałęzi równą 120 składa sie produkt końcowy (konsump-
cja) o wartości 76 oraz produkty zużyte do produkcji w pierwszej,
drugiej i trzeciej gałęzi o wartościach równych odpowiednio 24, 9,
20. Podobne informacje zawiera wiersz drugi i trzeci. Współczynnik
aij = xij/xj oznacza wartość towaru i niezbędnego do wyprodu-
kowania towaru j o wartości 1 jednostki pieniężnej.
Numer Przepływ xij Produkt Produkcja
gałęzi z gałęzi i do gałęzi j końcowy globalna
j 1 2 3 di xi
i
1 24 9 20 67 120
2 48 27 10 5 90
3 12 18 30 40 100
Przedstawmy produkcję globalną i produkt końcowy w postaci wek-
torów i obliczmy macierz kosztów:
ł łł
ł łł ł łł
ł śł
24 9 20
ł śł
ł śł ł śł
ł śł
120 67
ł śł ł śł
120 90 100
ł śł
ł śł ł śł
ł śł
ł śł ł śł
ł śł
ł śł ł śł
ł śł
ł śł ł śł
48 27 10
ł śł
= d = A =
x
ł 90 śł ł śł
5
ł śł
ł śł ł śł
ł śł
120 90 100
ł śł ł śł
ł śł
ł śł ł śł
ł śł
ł ł ł ł
ł śł
100 40 ł 12 18 30 ł
120 90 100
ł łł ł łł
ł śł ł śł
24 9 20
ł śł ł śł
0, 2 0, 1 0, 2
ł śł ł śł
120 90 100
ł śł ł śł
ł śł ł śł
ł śł ł śł
ł śł ł śł
48 27 10
ł śł ł śł
A = =
ł śł ł 0, 4 0, 3 0, 1 śł
ł śł ł śł
120 90 100
ł śł ł śł
ł śł ł śł
ł śł ł śł
ł 12 18 30 ł ł ł
0, 1 0, 2 0, 3
120 90 100
Macierz Leontiewa :
ł łł
ł śł
0, 8 -0, 1 -0, 2
ł śł
ł śł
ł śł
ł śł
ł śł
I - A =
ł -0, 4 0, 7 -0, 1 śł
ł śł
ł śł
ł śł
ł ł
-0, 1 -0, 2 0, 7
Macierz odwrotna do macierzy Leontiewa
ł łł
ł śł
ł śł
1, 48 0, 35 0, 47
ł śł
ł śł
ł śł
ł śł
ł śł
ł śł
(I - A)-1 =
ł 0, 91 1, 70 0, 50 śł
ł śł
ł śł
ł śł
ł śł
ł ł
0, 47 0, 54 1, 64
Aatwo sprawdzić, że zachodzą następujące równości:
ł łł
ł łł ł łł ł łł
ł śł
ł śł
ł śł ł śł ł śł
0, 2 0, 1 0, 2
ł śł
120 120 67
ł śł ł śł ł śł
ł śł
ł śł ł śł ł śł
ł śł
ł śł ł śł ł śł
ł śł
ł śł ł śł ł śł
ł śł
ł śł ł śł ł śł
ł śł
= +
ł 90 śł ł 90 śł ł śł
5
ł 0, 4 0, 3 0, 1 śł
ł śł ł śł ł śł
ł śł
ł śł ł śł ł śł
ł śł
ł śł ł śł ł śł
ł śł
ł ł ł ł ł ł
ł śł
100 ł ł 100 40
0, 1 0, 2 0, 3
oraz
ł łł
-1
ł łł ł łł
ł śł
ł śł
ł śł ł śł
0, 8 -0, 1 -0, 2
ł śł
120 67
ł śł ł śł
ł śł
ł śł ł śł
ł śł
ł śł ł śł
ł śł
ł śł ł śł
ł śł
ł śł ł śł
ł śł
= =
ł 90 śł ł śł
5
ł -0, 4 0, 7 -0, 1 śł
ł śł ł śł
ł śł
ł śł ł śł
ł śł
ł śł ł śł
ł śł
ł ł ł ł
ł śł
100 ł ł 40
-0, 1 -0, 2 0, 7
ł łł
ł łł
ł śł
ł śł
ł śł
1, 48 0, 35 0, 47
ł śł
67
ł śł
ł śł
ł śł
ł śł
ł śł
ł śł
ł śł
ł śł
ł śł
ł śł
ł śł
5
ł 0, 91 1, 70 0, 50 śł
ł śł
ł śł
ł śł
ł śł
ł śł
ł śł
ł ł
ł śł
ł ł 40
0, 47 0, 54 1, 64
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Analiza przepływu wody przez przekrój mostowy (FM)Zalacznik 8 Analiza dokumentow miedzynarodowych LUN 0710 Wstrzykowa analiza przepływowaimw w02 strukturysp analiza przeplywowAnaliza przepływowa w ochronie środowiskaMiędzyn przepływy p i k Bilans płatniczy materiały do wykładu 20 18 18Analiza sprawozdania przeplywow pienieznych 26 12125427 analiza rachunku zyskow i strat rachunku przeplywow pienid038Analiza jednowymiarowego przepływu ciepła przez przegrodę wypełnioną materiałem granulowanymanaliza warunków stateczności nasypu autostrady a4 miedzy wezlami wirek batoregoAnaliza wstępna rachunku przepływów pienieżnychwięcej podobnych podstron