Egzamin z Analizy 2, 13 IX 2010
1. Zadanie wstępne
Zadanie Odp.
"2f
1. Obliczyć pochodną (P ) , gdzie f(x, y) = (x2 - y) ln(2x + y) , P = -4
"x"y
(1, -1)
RozwiÄ…zanie:
"f x2 - y
= 2x ln(2x + y) + · 2
"x 2x + y
"2f 2x -(2x + y) - (x2 - y) 2 -1 - 2
= + 2 · = + 2 · = -4
"x"y 2x + y (2x + y)2 1 1
"
2. Obliczyć gradient pola skalarnego f = 2xy + x y2 + z w punkcie P = [5, 16, 2]
(4, 2, -3)
RozwiÄ…zanie:
"f "f "f 2xy x
" "
grad f = , , = 2y + y2 + z , 2x + , =
"x "y "z 2 y2 + z 2 y2 + z
[5, 16, 2]
9
3. Obliczyć całkę iterowaną
ëÅ‚ öÅ‚
2
x2
2
4y
ìÅ‚
íÅ‚ dy÷Å‚ dx
Å‚Å‚
x
x
1
RozwiÄ…zanie:
ëÅ‚ öÅ‚
x2
2 2 2
x2 2
4y 2y2 x4
ìÅ‚
íÅ‚ dy÷Å‚ dx = dx = 2x3 - 2x dx = - x2 = 8 - 4 -
Å‚Å‚
x 1
x x 2
x
1 1 1
1 9
( - 1) =
2 2
5
4. Obliczyć całkę krzywoliniową skierowaną y dx + (x + y) dy
2
C
C : x = t2 , y = 4 - t od t = 1 do t = 2
RozwiÄ…zanie:
2 2
y dx + (x + y) dy = (4 - t) · 2t + (t2 + 4 - t) · (-1) dt = (-3t2 + 9t -
C 1 1
2
9 9 5
4) dt = -t3 + t2 - 4t = -8 + 18 - 8 - (-1 + - 4) =
1
2 2 2
Å„Å‚
ôÅ‚ 0 Õ 2Ä„
òÅ‚
5. Zapisać zbiór A we współrzędnych walcowych w postaci normalnej: 0 r 3
"
ôÅ‚
ół
A : z x2 + y2 , z 3 r z 3
RozwiÄ…zanie:
"
z x2 + y2 =Ò! z r pierwszy warunek (stożek)
z 3 =Ò! r 3 drugi warunek (pÅ‚aszczyzna)
1
2. Znalezć ekstrema lokalne funkcji f(x, y) = (x2 - y2)ex
RozwiÄ…zanie:
Dziedzina funkcji D = R2 -zbiór otwarty, f jest klasy C2
Rozwiązujemy układ równań :
Å„Å‚
"f
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
= 0
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
"x
ôÅ‚
ôÅ‚
"f
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
= 0
ół
"y
Obliczamy pochodne czÄ…stkowe:
"f
= 2xex + (x2 - y2)ex
"x
"f
= -2yex
"y
StÄ…d:
(2x + x2 - y2)ex = 0
-2yex = 0
Z drugiego równania:
y = 0 ( ex = 0)
Z pierwszego równania:
y = 0 =Ò! 2x + x2 = 0 =Ò! x(2 + x) = 0 =Ò! x = 0 lub x = -2
Rozwiązaniem tego układu są więc punkty:
P1(0, 0) , P2(-2, 0)
Obliczamy drugie pochodne funkcji f:
"2f
= (2 + 2x)ex + (2x + x2 - y2)ex = (2 + 4x + x2 - y2)ex
"x2
"2f
= -2ex
"y2
"2f
= -2yex
"x"y
Badamy macierz drugich pochodnych:
2 0
f (P1) = W1 = 2 ; W2 = -4 < 0 =Ò! f(x, y) nie ma ekstremum
0 -2
-2e-2 0
f (P2) = W1 = -2e-2 < 0 ; W2 = 4e-4 > 0 =Ò! f(x, y) ma
0 -2e-2
maksimum lokalne
2
3. Wykazać, że funkcja z(x, y) = f(x2 + y2) spełnia równanie:
"2z "2z "z "z
y2 - x2 + x - y = 0
"x2 "y2 "x "y
dla każdej dwukrotnie różniczkowalnej funkcji f : R R
RozwiÄ…zanie:
Oznaczmy t = x2 + y2
"z "t
= f (t) · = f (t) · 2x
"x "x
"2z "t
= f (t) · · 2x + 2f (t) = 4x2f (t) + 2f (t)
"x2 "x
"z "t
= f (t) · = f (t) · 2y
"y "y
"2z "t
= f (t) · · 2y + 2f (t) = 4y2f (t) + 2f (t)
"y2 "y
StÄ…d:
"2z "2z "z "z
y2 - x2 + x - y =
"x2 "y2 "x "y
y2(4x2f (t) + 2f (t)) - x2(4y2f (t) + 2f (t)) + xf (t) · 2x - yf (t) · 2y =
4x2y2f (t) + 2y2f (t) - 4x2y2f (t) - 2x2f (t) + 2x2f (t) - 2y2f (t) = 0
3
4. Obliczyć pole powierzchni obszaru ograniczonego krzywymi: y = x2 , y = 4 , y = 4-3x
, zawierajÄ…cego punkt P (0, 1) .
RozwiÄ…zanie:
Pole powierzchni obszaru jest równe:
S = dx dy
D
Szukamy punktów przecięcia krzywych:
y = x2
=Ò! x = Ä…2
y = 4
y = 4
=Ò! x = 0
y = 4 - 3x
y = x2
=Ò! x2 = 4 - 3x =Ò! x2 + 3x - 4 = 0 =Ò! x = -4 lub x = 1
y = 4 - 3x
Dzielimy obszar D na dwie części: D = D1 *" D2
-2 x 0 0 x 1
D1 : D2 :
x2 y 4 x2 y 4 - 3x
Obliczamy całki:
ëÅ‚ öÅ‚
0 4
íÅ‚
S1 = dyłł dx
-2
x2
4
4
dy = y = 4 - x2
x2
x2
0
0
1 8 16
S1 = 4 - x2 dx = 4x - x3 = 0 - (-8 + ) =
-2
3 3 3
-2
ëÅ‚ öÅ‚
1 4-3x
íÅ‚
S2 = dyłł dx
0
x2
4-3x
4-3x
dy = y = 4 - 3x - x2
x2
x2
1
1
3 1 3 1 13
S1 = 4 - 3x - x2 dx = 4x - x2 - x3 = 4 - - - 0 =
0
2 3 2 3 6
0
16 13 15
S = S1 + S2 = + =
3 6 2
Odpowiedz:
15
S =
2
4
5. Znalezć moment bezwÅ‚adnoÅ›ci wzglÄ™dem osi Oz bryÅ‚y o gÄ™stoÅ›ci Á(x, y, z) = z ograni-
czonej powierzchniami: z = 2 - x2 - y2 , z = x2 + y2 .
RozwiÄ…zanie:
z2 = 2 - x2 - y2 - paraboloida obrotowa
z = x2 + y2 - paraboloida obrotowa
Iz = (x2 + y2)Á dx dy dz = (x2 + y2)z dx dy dz
A A
Stosujemy współrzędne walcowe:
Iz = r2z · r dr dÕ dz = r3z dr dÕ dz
A" A"
Zbiór A" jest ograniczony powierzchniami:
z = 2 - r2 i z = r2 .
Szukamy przecięcia się powierzchni:
z = 2 - r2
=Ò! 2 - r2 = r2 =Ò! r = 1
z = r2
zachodzić też majÄ… standardowe ograniczenia współrzÄ™dnych walcowych: r 0 oraz Õ
należy do jednego okresu. Stąd mamy:
A" : Õ "< 0 , 2Ä„ > ; r "< 0 , 1 > ; z "< r2 , 2 - r2 >
Obliczmy całkę:
ëÅ‚ öÅ‚
1
2Ä„
2
1 2-r2 2 2-r
1
ìÅ‚
r3z dr dÕ dz = dÕ · íÅ‚ r3z dz÷Å‚ dr = [Õ]2Ä„ · r3 z2 dr =
Å‚Å‚
0
2
r2
A" 0 0 0
r2
1 1 1
Ä„ r3((2 - r2)2 - r4) dr = Ä„ r3(4 - 4r2 + r4 - r4) dr = Ä„ (4r3 - 4r5) dr =
0 0 0
1
4 2 Ä„
Ä„ r4 - r6 = Ä„(1 - ) =
6 3 3
0
5
6. Korzystając z twierdzenia Gaussa obliczyć strumień pola F = [x2 + y2z , yz , 2x + z2]
przez zorientowany na zewnÄ…trz brzeg zbioru:
"
z x2 + y2 , z 0 , x 0 , x2 + y2 4
RozwiÄ…zanie:
Z tw Gaussa:
F · dS = divF dx dy dz
n
S V
Obliczamy:
"P "Q "R
divF = + + = 2x + z + 2z = 2x + 3z
"x "y "z
"
z = x2 + y2 : paraboloida obrotowa,
z = 0 : płaszczyzna,
x = 0 : płaszczyzna,
x2 + y2 = 4 : walec.
Stosujemy współrzędne walcowe:
Åš = (2x + 3z) dx dy dz = (2r cos Õ + 3z) · r dz dr dÕ = (2r2 cos Õ +
" "
V V V
3rz) dz dr dÕ
"
Szukamy V we spółrzędnych walcowych:
"
z x2 + y2 =Ò! z r
Ä„
x 0 =Ò! r cos Õ 0 =Ò! Õ "< -Ä„ , >
2 2
x2 + y2 4 =Ò! r2 4 =Ò! r 2
z 0
" Ä„
V : Õ "< -Ä„ , > ; r "< 0 , 2 > ; z "< 0 , r >
2 2
Ä„
ëÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ öÅ‚
2 2 r
íÅ‚ íÅ‚
Åš = (2r2 cos Õ + rz) dzÅ‚Å‚ drÅ‚Å‚ dÕ
Ä„
- 0 0
2
Obliczamy:
r
r
3 3
(2r2 cos Õ + 3rz) dz = 2r2z cos Õ + rz2 = 2r3 cos Õ + r3
0
2 2
0
2
2
3 1 3
(2r3 cos Õ + r3) dr = r4 cos Õ + r4 = 8 cos Õ + 6
0
2 2 8
0
Ä„
2
Ä„
2
(8 cos Õ + 6) dÕ = 8 sin Õ + 6Õ = 8 + 3Ä„ - (-8 - 3Ä„) = 16 + 6Ä„
Ä„
-
2
Ä„
-
2
Odpowiedz:
Strumień pola jest równy:
Åš = 16 + 6Ä„
6
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
SIMR AN2 EGZ 2010 09 13SIMR RR EGZ 2010 09 17 rozwSIMR AN2 EGZ 2012 09 17 rozwSIMR AN2 EGZ 2010 06 18bSIMR AN1 EGZ 2013 09 05 rozwSIMR AN2 EGZ 2011 09 12SIMR AN2 EGZ 2013 09 11SIMR AN2 EGZ 2010 06 29bSIMR AN2 EGZ 2012 06 29b rozwSIMR AN2 EGZ 2012 06 29b rozwSIMR AN2 EGZ 2013 06 26 rozwSIMR AN2 EGZ 2012 06 25b rozwSIMR AN2 EGZ 2012 06 25a rozwSIMR MAT1 EGZ 2006 09 04 rozwSIMR AN2 EGZ 2012 09 17SIMR AN1 EGZ 2012 09 12 rozwSIMR AN2 EGZ 2013 06 21 rozwSIMR MAT1 EGZ 2006 02 08a rozwwięcej podobnych podstron