KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Ćwiczenie 8
Zad. 8.1
Wyznaczyć siły wewnętrzne powstałe na skutek wmontowania pręta A-1 dłuższego o "l = 3[cm] .
EI = 1400 [kNm2]
Rys. 8.1.1
Stopień geometrycznej niewyznaczalności układu
ng =1()
Schemat geometrycznie wyznaczalny:
Rys. 8.1.2
Momenty wyjściowe:
3" EI 3"1400
0
M1B =- " "l =- "0,03 =-14 [kNm]
32 32
Momenty przywęzłowe powstałe na skutek kąta obrotu =1:
Rys. 8.1.3
Sumaryczne momenty przywęzłowe:
4
M1A = EI
3
M1B =-14 + EI
2
M = EI
A1
3
C16-2005-cw08
64
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Równanie równowagi : ŁM1 = M1A + M1B = 0
76
Stąd: -14 + EI = 0 ! =
3 EI
Wartości momentów przywęzłowych:
4
M1A = "6 = 8[kNm]
3
M1B =-14 + 6 =-8 [kNm]
2
M = "6 = 4 [kNm]
A1
3
Rozwiązanie:
Rys. 8.1.4
C16-2005-cw08
65
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Zad. 8.2
Wyznaczyć siły wewnętrzne powstałe na skutek równomiernego ogrzania jednego z elementów.
1
EI =10000 [kNm2], ąt =10-5 Ą# o ń#
ó# Ą#
C
Ł# Ś#
Rys. 8.2.1
Stopień geometrycznej niewyznaczalności układu
ng = 1()
Wydłużenie termiczne elementu 1-B:
"lt = ąt "t0 "l =10-5 " 20"3 = 6"10-4 [m]
Schemat geometrycznie wyznaczalny:
Rys. 8.2.2
Momenty wyjściowe:
3" EI 3"10000
M10A =- ""lt =- "6"10-4 =-2 [kNm]
32 32
6E "2I 6" 20000
0 0
M1C = MC1 = " "lt = "6"10-4 = 4,5[kNm]
42 16
C16-2005-cw08
66
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Momenty przywęzłowe:
3EI
M1A =-2 + =-2 + EI
3
3E " 2I
M1B = = 2EI
3
4E " 2I
M1C = 4,5 + = 4,5 + 2EI
4
2E " 2I
MC1 = 4,5 + = 4,5 + EI
4
Równanie równowagi : ŁM1 = M1A + M1B + M1C = 0
1
Stąd: 2,5 + 5EI = 0 ! = -
2EI
Wartości momentów przywęzłowych:
M1A =-2 - 0,5 =-2,5 [kNm]
M1B =-1[kNm]
M1C = 4,5 -1 = 3,5 [kNm]
MC1 = 4,5 - 0,5 = 4 [kNm]
Rozwiązanie:
Rys. 8.2.3
C16-2005-cw08
67
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Zad. 8.3
Sporządzić wykresy sił wewnętrznych N, T, M.(pręty A-1 i 1-C mają jednakowy przekrój)
Rys. 8.3.1
Układ jest jednokrotnie geometrycznie niewyznaczalny.
ng = 1()
Brak momentów wyjściowych nie ma obciążenia przęsłowego.
Wpływ kąta obrotu =1:
Rys. 8.3.2
Momenty przywęzłowe pochodzące od kata obrotu =1:
1
M1A = EI M1B = 3EI M1C = EI MC1 = EI
2
Równanie równowagi :
Rys. 8.3.3
ŁM1 = -M1A - M1B - M1C + M = 0
lub M1A + M1B + M1C = M
Stąd:
7
5EI - 35 = 0 =
EI
C16-2005-cw08
68
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Inna interpretacja:
Dodatkowy element 1-3 obciążony momentem skupionym M , powstaje moment wyjściowy
M13 =-M
Rys. 8.3.4
Wartości momentów przywęzłowych:
M1A = 7[kNm]
M1B = 21[kNm]
M1C = 7[kNm]
MC1 = 3,5 [kNm]
Rys. 8.3.5
Rozwiązanie M, T:
Rys. 8.3.6
C16-2005-cw08
69
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Siły normalne w elementach A-1 i 1-C:
Przyjmujemy że siła N1A jest rozciągająca, zaś siła N1C ściskająca.
Rys. 8.3.7
Równanie równowagi: " Py = 0 ! N1A + N1C = 7 (1)
N1A "3 N1C " 4
Warunek zgodności przemieszczeń: "l1A = "l1C ! = 3N1A = 4N1C (2)
EA EA
Z (1) i (2) mamy:
N1A = 4 kN
[ ]
N1C = 3[kN]
N1B = 2,625 - 2,333 = 0, 2917 [kN]
Rys. 8.3.8
C16-2005-cw08
70
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Zad. 8.4
Sporządzić wykresy sił wewnętrznych
Rys. 8.4.1
Układ jest dwukrotnie geometrycznie niewyznaczalny, przesuwny.
ng = 2(,")
Schemat geometrycznie wyznaczalny z obciążeniem zewnętrznym:
Rys. 8.4.2
Momenty wyjściowe:
3" 42
0
M =- =-4[kNm]
A1
12
0
M1A = 4[kNm]
Momenty zginające wywołane jednostkowymi wymuszeniami = 1 i "= 1
Rys. 8.4.3
W obliczeniach przyjmujemy EI=1.
Momenty przywęzłowe:
3
M =-4 + 0,5 - "
A1
8
3
M1A = 4 + - "
8
M1B =
Równania równowagi :
3
(1) ŁM1 = M1A + M1B = 0 ! 2 - " + 4 = 0 ! 16 - 3" = -32 (1)
8
(2) Równowaga sił w elemencie 1-B w kierunku przesuwu
C16-2005-cw08
71
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Rys. 8.4.4
M + M1A
A1
T1A =+ T10 , T10 = 6
A A
4
3 3
T1A = - " + 6
8 16
3 3
ŁPx = 0 ! T1A + 2 = 0 ! - " + 8 = 0
8 16
6 - 3" = -128 (2)
Równanie (2) można otrzymać tworząc układ przegubowy (mechanizm) i zadając w nim
przemieszczenie wirtualne "=1
Rys. 8.4.5
Równanie równowagi wyciętego elementu 1 B:
"P = 0 ! T1A "1+ 2"1 = 0 (T1A - od strony węzła)
x
M1A + M
A1
Po podstawieniu T1A =+ 6 otrzymujemy (2)
4
1
Do tego samego rezultatu można dojść wprowadzając kąt obrotu pręta A-1: A-1 = i zapisując
4
równanie pracy wirtualnej:
1
A-1 "(M1A + M ) + 2"1+ 3" "1" 4 = 0 ! (2)
A1
2
Z (1) i (2) ! = 9,6 " = 61,8667
Wartości momentów przywęzłowych:
M =-4 + 4,8 - 23, 2 =-22, 4 [kNm]
A1
M1A = 4 + 9,6 - 23,2 = -9,6 [kNm]
M1B =-9,6 [kNm]
Rys. 8.4.6
C16-2005-cw08
72
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Rozwiązanie:
Rys. 8.4.7
Zad. 8.5
Sporządzić wykresy sił wewnętrznych N, T, M
Rys. 8.5.1
Układ jest trzykrotnie geometrycznie niewyznaczalny.
ng = 3(1,2, ")
Rys. 8.5.2
Momenty wyjściowe:
12" 4
0
M =- =-6[kNm]
A1
8
0
M1A = 6[kNm]
Momenty przywęzłowe wywołane stanami: 1 = 1, 2 =1, " = 1:
Rys. 8.5.3
C16-2005-cw08
73
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Momenty przywęzłowe:
M =-6 + 0,41 - 0,3"
A1
M1A = 6 + 0,81 - 0,3"
M12 = 21 +2 + 0,75"
M21 = 1 + 22 + 0,75"
3
M2B = 0,752 - "
16
Równania równowagi :
(1) ŁM1 = M1A + M12 = 0 ! 2,81 +2 + 0,45" = -6 (1)
9
(2) ŁM2 = M21 + M2B = M = 24 ! 1 + 2,752 + " = 24 (2)
16
(3) Tworzymy układ przegubowy i zadajemy przemieszczenie wirtualne "= 1
Rys. 8.5.4
M1A + M
A1
T1A =+ 4,8 = 0, 241 - 0,12" + 4,8
5
M12 + M21
T12 == 1 +2 + 0,5"
3
M2B 3 3
T2B = = 2 - "
4 16 64
5 3
Równanie pracy wirtualnej: T1A " -T12 " + T2B "1 = 0
4 4
(zwrot sił od strony węzłów, w przypadku braku obciążenia węzłowego można podstawić siły T
od strony elementów)
Po podstawieniu otrzymujemy:
9 183
0, 451 + 2 + " = 6 (3)
16 320
Inny wariant: obliczamy kąty obrotu poszczególnych prętów układu przegubowego (mechanizmu)
Rys. 8.5.4
C16-2005-cw08
74
KMB, WILiŚ, PG MECHANIKA BUDOWLI I (C16) Rok II, semestr IV (letni 2005)
Wykłady: P. Iwicki, M. K. Jasina
Ćwiczenia: M. Dudek, A. Kozakiewicz, T. Mikulski, M. Miśkiewicz, A. Sitarski, M. Skowronek, M. Szafrański, M. Zasada
Równanie pracy wirtualnej:
111
(M + M1A) - (M21 + M12) + M2B +12"0,5 = 0
A1
444
1
(M + M1A - M21 - M12 + M2B ) + 6 = 0
A1
4
9 183
0, 451 + 2 + " = 6 (3)
16 320
Po rozwiązaniu układu równań (1), (2), (3) otrzymujemy:
1 =-6,64506, 2 = 9,92489, "= 5,95861
Momenty przywęzłowe:
M =-10, 4456 [kNm]
A1
M1A =-1,1036 [kNm]
M12 = 1,1036 [kNm]
M21 =17,6736 [kNm]
M2B = 6,3264 [kNm]
Rozwiązanie:
Rys. 8.3.6
C16-2005-cw08
75
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
C16 2005 cw08C16 2005 cw09C16 2005 cw04C16 2005 cw03C16 2005 cw12C16 2005 cw10C16 2005 cw02C16 2005 cw13C16 2005 cw06C16 2005 cw14C16 2005 cw01C16 2005 cw11C16 2005 cw11C16 2005 cw14C16 2005 cw09C16 2005 cw06C16 2005 cw04więcej podobnych podstron