RACHUNEK CAAKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ.
Na potrzeby kolejnych twierdzeń/dowodów/itd.
wprowadzam następujące oznaczenie:
I , J - dowolne przedziały.
f : I R
F : I R
2
f
F "x"I F (x) = f (x)
Funkcję nazywamy funkcją pierwotną funkcji , jeśli
Obserwacja
f ! F " D(I)
F funkcja pierwotna funkcji w przedziale I .
Obserwacja
Założenie
F0 - funkcja pierwotna funkcji .
f
Teza
f
F ! F = F0 + C - stała,
C C " R
- funkcja pierwotna funkcji ,
Dowód
(!)
(F0 )2 = f
F = F0 + C
2
F = F02 = f
czyli funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f .
(!)
2
F = f
2 2
! F = F0 ! (F - F0)2 = 0 ! F - F0 = const ! F = F0 + C
2
F0 = f
Nie zawsze istnieje funkcja pierwotna.
Przykładem tego jest funkcja:
0, x `" 0
ńł
f (x) =
ł
x = 0
ół1,
1
Stawiamy hipotezę, że istnieje funkcja pierwotna F, czyli:
F"C
2 2
F = f ! F = 0, x `" 0 ! F = const = a, x `" 0 ! F(0) = a !
2
! "x"RF a" const ! F a" 0 a" f
co nie jest prawdą bo nie zawsze funkcja f przyjmuje wartość 0.
Wynika ze tego, że nasza hipoteza nie jest prawdziwa.
Całką nieoznaczoną (całka w sensie Newtona) funkcji f nazywamy zbiór wszystkich funkcji
f (x)dx
pierwotnych funkcji f i oznaczamy .
+"
f (x)dx = F(x)+ C
+"
Twierdzenie (o liniowości całki nieoznaczonej)
" f (x)dxł
+"
ł
żł
! " + g)(x)dx f (x)dx + g(x)dx
oraz
+"(ąf +"(ąf + g)(x)dx = ą+" +"
" g(x)dxł
+"
ł
opracował Paweł Sztur
2
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
calki nieoznaczone funkcji jednej zmiennejcalki nieoznaczone 2070 Całki nieoznaczoneCałki nieoznaczoneArkusz nr 6 (całki nieoznaczone cz 2)CAŁKI NIEOZNACZONEcalki nieoznaczone 1calki nieozn cwcalki nieoznaczoneCałki nieoznaczone elementarnecalki nieoznaczone, lista zadancalki nieoznaczone zadaniaZadania 10 Całki nieoznaczoneLista 8 całki nieoznaczone075 Całki nieozn niekt odp do ostatniego zadcalki nieoznwięcej podobnych podstron