Wykład 07
Witold Obłoza
20 stycznia 2011
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI
TWIERDZENIE 81
Niech funkcja f bedzie określona w O(x0) otoczeniu punktu x0. Funkcja
jest ciagła w punkcie x0 wtw, gdy jest jednocześnie ciagła lewostronnie i
prawostronnie.
TWIERDZENIE 82
Niech funkcja f bedzie określona w O(x0) otoczeniu punktu x0, ciagła w
punkcie x0 i niech f(x0) > 0 wtedy "O1(x0) ‚" O(x0) otoczenie punktu
x0 takie,że "x " O1(x0) f(x) > 0.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI
TWIERDZENIE 81
Niech funkcja f bedzie określona w O(x0) otoczeniu punktu x0. Funkcja
jest ciagła w punkcie x0 wtw, gdy jest jednocześnie ciagła lewostronnie i
prawostronnie.
TWIERDZENIE 82
Niech funkcja f bedzie określona w O(x0) otoczeniu punktu x0, ciagła w
punkcie x0 i niech f(x0) > 0 wtedy "O1(x0) ‚" O(x0) otoczenie punktu
x0 takie,że "x " O1(x0) f(x) > 0.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI
TWIERDZENIE 83
Złożenie funkcji ciagłych jest ciagłe.
DOWOD:
Z ciągłości f i g
dla xn - x0 mamy f(xn) - f(x0)
więc g(f(xn)) - g(f(x0)).
Jeżeli xn - x0 to (g ć% f)(xn) - (g ć% f)(x0).
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI
TWIERDZENIE 83
Złożenie funkcji ciagłych jest ciagłe.
DOWOD:
Z ciągłości f i g
dla xn - x0 mamy f(xn) - f(x0)
więc g(f(xn)) - g(f(x0)).
Jeżeli xn - x0 to (g ć% f)(xn) - (g ć% f)(x0).
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI
TWIERDZENIE 83
Złożenie funkcji ciagłych jest ciagłe.
DOWOD:
Z ciągłości f i g
dla xn - x0 mamy f(xn) - f(x0)
więc g(f(xn)) - g(f(x0)).
Jeżeli xn - x0 to (g ć% f)(xn) - (g ć% f)(x0).
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI
TWIERDZENIE 83
Złożenie funkcji ciagłych jest ciagłe.
DOWOD:
Z ciągłości f i g
dla xn - x0 mamy f(xn) - f(x0)
więc g(f(xn)) - g(f(x0)).
Jeżeli xn - x0 to (g ć% f)(xn) - (g ć% f)(x0).
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI
TWIERDZENIE 83
Złożenie funkcji ciagłych jest ciagłe.
DOWOD:
Z ciągłości f i g
dla xn - x0 mamy f(xn) - f(x0)
więc g(f(xn)) - g(f(x0)).
Jeżeli xn - x0 to (g ć% f)(xn) - (g ć% f)(x0).
TWIERDZENIA O CI
GA
OÅšCI
TWIERDZENIE 84
Niech funkcje f, g beda określone w O(x0) otoczeniu punktu x0 i ciagłe
w punkcie x0 wtedy,f Ä… g, f · g sa ciagÅ‚e w punkcie x0. Jeżeli ponadto
f
g(x0) = 0 to jest ciagła w punkcie x0.

g
DOWÓD:
Wynika natychmiast z twierdzenia o granicach sumy, różnicy, iloczynu
i ilorazu dla ciągów.
TWIERDZENIA O CI
GA
OÅšCI
TWIERDZENIE 84
Niech funkcje f, g beda określone w O(x0) otoczeniu punktu x0 i ciagłe
w punkcie x0 wtedy,f Ä… g, f · g sa ciagÅ‚e w punkcie x0. Jeżeli ponadto
f
g(x0) = 0 to jest ciagła w punkcie x0.

g
DOWÓD:
Wynika natychmiast z twierdzenia o granicach sumy, różnicy, iloczynu
i ilorazu dla ciągów.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI
TWIERDZENIE 85
Funkcja ciagła na przedziale domknietym osiaga swoje kresy.
DOWÓD:
Niech f : [a, b] - R bÄ™dzie ciÄ…gÅ‚a i niech {xn}" ‚" [a, b] taki, że
n=1
f(xn) - M = sup{f(x) : x " [a, b]}.
Ciąg {xn}" ma podciąg zbieżny {xn } do x0 " [a, b].
n=1 k
Wówczas f(x0) = lim f(xn ) = M
k
n"
TWIERDZENIE 86
Funkcja ciagła na przedziale ma własność przyjmowania wartości
pośrednich.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI
TWIERDZENIE 85
Funkcja ciagła na przedziale domknietym osiaga swoje kresy.
DOWÓD:
Niech f : [a, b] - R bÄ™dzie ciÄ…gÅ‚a i niech {xn}" ‚" [a, b] taki, że
n=1
f(xn) - M = sup{f(x) : x " [a, b]}.
Ciąg {xn}" ma podciąg zbieżny {xn } do x0 " [a, b].
n=1 k
Wówczas f(x0) = lim f(xn ) = M
k
n"
TWIERDZENIE 86
Funkcja ciagła na przedziale ma własność przyjmowania wartości
pośrednich.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI
TWIERDZENIE 85
Funkcja ciagła na przedziale domknietym osiaga swoje kresy.
DOWÓD:
Niech f : [a, b] - R bÄ™dzie ciÄ…gÅ‚a i niech {xn}" ‚" [a, b] taki, że
n=1
f(xn) - M = sup{f(x) : x " [a, b]}.
Ciąg {xn}" ma podciąg zbieżny {xn } do x0 " [a, b].
n=1 k
Wówczas f(x0) = lim f(xn ) = M
k
n"
TWIERDZENIE 86
Funkcja ciagła na przedziale ma własność przyjmowania wartości
pośrednich.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI
TWIERDZENIE 85
Funkcja ciagła na przedziale domknietym osiaga swoje kresy.
DOWÓD:
Niech f : [a, b] - R bÄ™dzie ciÄ…gÅ‚a i niech {xn}" ‚" [a, b] taki, że
n=1
f(xn) - M = sup{f(x) : x " [a, b]}.
Ciąg {xn}" ma podciąg zbieżny {xn } do x0 " [a, b].
n=1 k
Wówczas f(x0) = lim f(xn ) = M
k
n"
TWIERDZENIE 86
Funkcja ciagła na przedziale ma własność przyjmowania wartości
pośrednich.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI
TWIERDZENIE 85
Funkcja ciagła na przedziale domknietym osiaga swoje kresy.
DOWÓD:
Niech f : [a, b] - R bÄ™dzie ciÄ…gÅ‚a i niech {xn}" ‚" [a, b] taki, że
n=1
f(xn) - M = sup{f(x) : x " [a, b]}.
Ciąg {xn}" ma podciąg zbieżny {xn } do x0 " [a, b].
n=1 k
Wówczas f(x0) = lim f(xn ) = M
k
n"
TWIERDZENIE 86
Funkcja ciagła na przedziale ma własność przyjmowania wartości
pośrednich.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI
DOWÓD:
Niech a < b, f[a, b] - R jest ciągła i f(a) < 0 < f(b).
Niech Å‚ = sup{x " [a, b] : f([a, x]) ‚" (-", 0]} d" b.
Wówczas f(ł) = 0.
Gdyby f(ł) = 0 to w pewnym otoczeniu ł funkcja f nie przyjmowałaby

wartośxi 0 i otrzymalibyśmy sprzeczność z określeniem ł.
Niech a < b, f[a, b] - R jest ciągła i f(a) < c < f(b).
Wówczas dla g(x) = f(x) - c g(a) < 0 < g(b) więc istnieje ł " (a, b)
takie, że g(ł) = 0, czyli f(ł) = c.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI
DOWÓD:
Niech a < b, f[a, b] - R jest ciągła i f(a) < 0 < f(b).
Niech Å‚ = sup{x " [a, b] : f([a, x]) ‚" (-", 0]} d" b.
Wówczas f(ł) = 0.
Gdyby f(ł) = 0 to w pewnym otoczeniu ł funkcja f nie przyjmowałaby

wartośxi 0 i otrzymalibyśmy sprzeczność z określeniem ł.
Niech a < b, f[a, b] - R jest ciągła i f(a) < c < f(b).
Wówczas dla g(x) = f(x) - c g(a) < 0 < g(b) więc istnieje ł " (a, b)
takie, że g(ł) = 0, czyli f(ł) = c.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI
DOWÓD:
Niech a < b, f[a, b] - R jest ciągła i f(a) < 0 < f(b).
Niech Å‚ = sup{x " [a, b] : f([a, x]) ‚" (-", 0]} d" b.
Wówczas f(ł) = 0.
Gdyby f(ł) = 0 to w pewnym otoczeniu ł funkcja f nie przyjmowałaby

wartośxi 0 i otrzymalibyśmy sprzeczność z określeniem ł.
Niech a < b, f[a, b] - R jest ciągła i f(a) < c < f(b).
Wówczas dla g(x) = f(x) - c g(a) < 0 < g(b) więc istnieje ł " (a, b)
takie, że g(ł) = 0, czyli f(ł) = c.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI
DOWÓD:
Niech a < b, f[a, b] - R jest ciągła i f(a) < 0 < f(b).
Niech Å‚ = sup{x " [a, b] : f([a, x]) ‚" (-", 0]} d" b.
Wówczas f(ł) = 0.
Gdyby f(ł) = 0 to w pewnym otoczeniu ł funkcja f nie przyjmowałaby

wartośxi 0 i otrzymalibyśmy sprzeczność z określeniem ł.
Niech a < b, f[a, b] - R jest ciągła i f(a) < c < f(b).
Wówczas dla g(x) = f(x) - c g(a) < 0 < g(b) więc istnieje ł " (a, b)
takie, że g(ł) = 0, czyli f(ł) = c.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI
DOWÓD:
Niech a < b, f[a, b] - R jest ciągła i f(a) < 0 < f(b).
Niech Å‚ = sup{x " [a, b] : f([a, x]) ‚" (-", 0]} d" b.
Wówczas f(ł) = 0.
Gdyby f(ł) = 0 to w pewnym otoczeniu ł funkcja f nie przyjmowałaby

wartośxi 0 i otrzymalibyśmy sprzeczność z określeniem ł.
Niech a < b, f[a, b] - R jest ciągła i f(a) < c < f(b).
Wówczas dla g(x) = f(x) - c g(a) < 0 < g(b) więc istnieje ł " (a, b)
takie, że g(ł) = 0, czyli f(ł) = c.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI
DOWÓD:
Niech a < b, f[a, b] - R jest ciągła i f(a) < 0 < f(b).
Niech Å‚ = sup{x " [a, b] : f([a, x]) ‚" (-", 0]} d" b.
Wówczas f(ł) = 0.
Gdyby f(ł) = 0 to w pewnym otoczeniu ł funkcja f nie przyjmowałaby

wartośxi 0 i otrzymalibyśmy sprzeczność z określeniem ł.
Niech a < b, f[a, b] - R jest ciągła i f(a) < c < f(b).
Wówczas dla g(x) = f(x) - c g(a) < 0 < g(b) więc istnieje ł " (a, b)
takie, że g(ł) = 0, czyli f(ł) = c.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI
TWIERDZENIE 87
Jeżeli f : [a, b] - [c, d] jest ciągłą bijekcją to f jest funkcją slnie
monotonicznÄ….
DOWÓD:
Przypuśćmy, że istnieją x1, x2, x3 " [a, b] takie, że x1 < x2 < x3 i
f(x1) < f(x2) > f(x3).
Wówczas dla c " (max{f(x1), f(x3)}, f(x2) istnieją u1 " (x1, x2)
oraz u2 " (x2, x3) takie, że f(u1) = c = f(u2).
Sprzeczność z injektywnością dowodzi silnej monotoniczności.
TWIERDZENIE 88
Jeżeli f : [a, b] - [c, d] jest ciągłą bijekcją to f-1 jest funkcją silnie
monotoniczną i ciągłą.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI
TWIERDZENIE 87
Jeżeli f : [a, b] - [c, d] jest ciągłą bijekcją to f jest funkcją slnie
monotonicznÄ….
DOWÓD:
Przypuśćmy, że istnieją x1, x2, x3 " [a, b] takie, że x1 < x2 < x3 i
f(x1) < f(x2) > f(x3).
Wówczas dla c " (max{f(x1), f(x3)}, f(x2) istnieją u1 " (x1, x2)
oraz u2 " (x2, x3) takie, że f(u1) = c = f(u2).
Sprzeczność z injektywnością dowodzi silnej monotoniczności.
TWIERDZENIE 88
Jeżeli f : [a, b] - [c, d] jest ciągłą bijekcją to f-1 jest funkcją silnie
monotoniczną i ciągłą.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI
TWIERDZENIE 87
Jeżeli f : [a, b] - [c, d] jest ciągłą bijekcją to f jest funkcją slnie
monotonicznÄ….
DOWÓD:
Przypuśćmy, że istnieją x1, x2, x3 " [a, b] takie, że x1 < x2 < x3 i
f(x1) < f(x2) > f(x3).
Wówczas dla c " (max{f(x1), f(x3)}, f(x2) istnieją u1 " (x1, x2)
oraz u2 " (x2, x3) takie, że f(u1) = c = f(u2).
Sprzeczność z injektywnością dowodzi silnej monotoniczności.
TWIERDZENIE 88
Jeżeli f : [a, b] - [c, d] jest ciągłą bijekcją to f-1 jest funkcją silnie
monotoniczną i ciągłą.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI
TWIERDZENIE 87
Jeżeli f : [a, b] - [c, d] jest ciągłą bijekcją to f jest funkcją slnie
monotonicznÄ….
DOWÓD:
Przypuśćmy, że istnieją x1, x2, x3 " [a, b] takie, że x1 < x2 < x3 i
f(x1) < f(x2) > f(x3).
Wówczas dla c " (max{f(x1), f(x3)}, f(x2) istnieją u1 " (x1, x2)
oraz u2 " (x2, x3) takie, że f(u1) = c = f(u2).
Sprzeczność z injektywnością dowodzi silnej monotoniczności.
TWIERDZENIE 88
Jeżeli f : [a, b] - [c, d] jest ciągłą bijekcją to f-1 jest funkcją silnie
monotoniczną i ciągłą.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI
DOWÓD:
-
Niech f będzie rosnąca i niech f(xn) = yn - y0 = f(x0).
Przypuśćmy, że c = sup{xn : n " N} < x0.
-
Wówczas "n yn d" f(c) < y0 sprzeczne z yn - y0 = f(x0).
Zatem "µ > 0 "n0 takie, że "n > n0 f(x0 - µ) < yn < y0.
Dla n > n0 mamy x-µ < xn < x0.
Czyli f-1 jest ciągła lewostronnie, a prawostronną ciągłość pokazujemy
analogicznie.
Dowód dla funkcji f malejacej jest podobny.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI
DOWÓD:
-
Niech f będzie rosnąca i niech f(xn) = yn - y0 = f(x0).
Przypuśćmy, że c = sup{xn : n " N} < x0.
-
Wówczas "n yn d" f(c) < y0 sprzeczne z yn - y0 = f(x0).
Zatem "µ > 0 "n0 takie, że "n > n0 f(x0 - µ) < yn < y0.
Dla n > n0 mamy x-µ < xn < x0.
Czyli f-1 jest ciągła lewostronnie, a prawostronną ciągłość pokazujemy
analogicznie.
Dowód dla funkcji f malejacej jest podobny.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI
DOWÓD:
-
Niech f będzie rosnąca i niech f(xn) = yn - y0 = f(x0).
Przypuśćmy, że c = sup{xn : n " N} < x0.
-
Wówczas "n yn d" f(c) < y0 sprzeczne z yn - y0 = f(x0).
Zatem "µ > 0 "n0 takie, że "n > n0 f(x0 - µ) < yn < y0.
Dla n > n0 mamy x-µ < xn < x0.
Czyli f-1 jest ciągła lewostronnie, a prawostronną ciągłość pokazujemy
analogicznie.
Dowód dla funkcji f malejacej jest podobny.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI
DOWÓD:
-
Niech f będzie rosnąca i niech f(xn) = yn - y0 = f(x0).
Przypuśćmy, że c = sup{xn : n " N} < x0.
-
Wówczas "n yn d" f(c) < y0 sprzeczne z yn - y0 = f(x0).
Zatem "µ > 0 "n0 takie, że "n > n0 f(x0 - µ) < yn < y0.
Dla n > n0 mamy x-µ < xn < x0.
Czyli f-1 jest ciągła lewostronnie, a prawostronną ciągłość pokazujemy
analogicznie.
Dowód dla funkcji f malejacej jest podobny.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI
DOWÓD:
-
Niech f będzie rosnąca i niech f(xn) = yn - y0 = f(x0).
Przypuśćmy, że c = sup{xn : n " N} < x0.
-
Wówczas "n yn d" f(c) < y0 sprzeczne z yn - y0 = f(x0).
Zatem "µ > 0 "n0 takie, że "n > n0 f(x0 - µ) < yn < y0.
Dla n > n0 mamy x-µ < xn < x0.
Czyli f-1 jest ciągła lewostronnie, a prawostronną ciągłość pokazujemy
analogicznie.
Dowód dla funkcji f malejacej jest podobny.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI
DOWÓD:
-
Niech f będzie rosnąca i niech f(xn) = yn - y0 = f(x0).
Przypuśćmy, że c = sup{xn : n " N} < x0.
-
Wówczas "n yn d" f(c) < y0 sprzeczne z yn - y0 = f(x0).
Zatem "µ > 0 "n0 takie, że "n > n0 f(x0 - µ) < yn < y0.
Dla n > n0 mamy x-µ < xn < x0.
Czyli f-1 jest ciągła lewostronnie, a prawostronną ciągłość pokazujemy
analogicznie.
Dowód dla funkcji f malejacej jest podobny.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI
DOWÓD:
-
Niech f będzie rosnąca i niech f(xn) = yn - y0 = f(x0).
Przypuśćmy, że c = sup{xn : n " N} < x0.
-
Wówczas "n yn d" f(c) < y0 sprzeczne z yn - y0 = f(x0).
Zatem "µ > 0 "n0 takie, że "n > n0 f(x0 - µ) < yn < y0.
Dla n > n0 mamy x-µ < xn < x0.
Czyli f-1 jest ciągła lewostronnie, a prawostronną ciągłość pokazujemy
analogicznie.
Dowód dla funkcji f malejacej jest podobny.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH
TWIERDZENIE 89
Funkcje x - sin x x - cos x x - ax x - xÄ…
x - loga x x - tg x x - ctg x x - arctg x
x - arcctg x x - arcsin x x - arccos x
są ciągłe w swojej dziedzinie.
DOWÓD:
Z uwagi na
x-x0 x+x0
sin x - sin x0 = 2 · sin cos
2 2
i ograniczoność funkcji kosinus wystarczy wykazać ciągłość funkcji
sinus w zerze.
Z uwagi na nieparzystość funkcji sinus wystarczy wykazać jej ciągłość
prawostronnÄ… w zerze.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH
TWIERDZENIE 89
Funkcje x - sin x x - cos x x - ax x - xÄ…
x - loga x x - tg x x - ctg x x - arctg x
x - arcctg x x - arcsin x x - arccos x
są ciągłe w swojej dziedzinie.
DOWÓD:
Z uwagi na
x-x0 x+x0
sin x - sin x0 = 2 · sin cos
2 2
i ograniczoność funkcji kosinus wystarczy wykazać ciągłość funkcji
sinus w zerze.
Z uwagi na nieparzystość funkcji sinus wystarczy wykazać jej ciągłość
prawostronnÄ… w zerze.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH
TWIERDZENIE 89
Funkcje x - sin x x - cos x x - ax x - xÄ…
x - loga x x - tg x x - ctg x x - arctg x
x - arcctg x x - arcsin x x - arccos x
są ciągłe w swojej dziedzinie.
DOWÓD:
Z uwagi na
x-x0 x+x0
sin x - sin x0 = 2 · sin cos
2 2
i ograniczoność funkcji kosinus wystarczy wykazać ciągłość funkcji
sinus w zerze.
Z uwagi na nieparzystość funkcji sinus wystarczy wykazać jej ciągłość
prawostronnÄ… w zerze.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH
TWIERDZENIE 89
Funkcje x - sin x x - cos x x - ax x - xÄ…
x - loga x x - tg x x - ctg x x - arctg x
x - arcctg x x - arcsin x x - arccos x
są ciągłe w swojej dziedzinie.
DOWÓD:
Z uwagi na
x-x0 x+x0
sin x - sin x0 = 2 · sin cos
2 2
i ograniczoność funkcji kosinus wystarczy wykazać ciągłość funkcji
sinus w zerze.
Z uwagi na nieparzystość funkcji sinus wystarczy wykazać jej ciągłość
prawostronnÄ… w zerze.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH
TWIERDZENIE 89
Funkcje x - sin x x - cos x x - ax x - xÄ…
x - loga x x - tg x x - ctg x x - arctg x
x - arcctg x x - arcsin x x - arccos x
są ciągłe w swojej dziedzinie.
DOWÓD:
Z uwagi na
x-x0 x+x0
sin x - sin x0 = 2 · sin cos
2 2
i ograniczoność funkcji kosinus wystarczy wykazać ciągłość funkcji
sinus w zerze.
Z uwagi na nieparzystość funkcji sinus wystarczy wykazać jej ciągłość
prawostronnÄ… w zerze.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH
TWIERDZENIE 89
Funkcje x - sin x x - cos x x - ax x - xÄ…
x - loga x x - tg x x - ctg x x - arctg x
x - arcctg x x - arcsin x x - arccos x
są ciągłe w swojej dziedzinie.
DOWÓD:
Z uwagi na
x-x0 x+x0
sin x - sin x0 = 2 · sin cos
2 2
i ograniczoność funkcji kosinus wystarczy wykazać ciągłość funkcji
sinus w zerze.
Z uwagi na nieparzystość funkcji sinus wystarczy wykazać jej ciągłość
prawostronnÄ… w zerze.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH
TWIERDZENIE 89
Funkcje x - sin x x - cos x x - ax x - xÄ…
x - loga x x - tg x x - ctg x x - arctg x
x - arcctg x x - arcsin x x - arccos x
są ciągłe w swojej dziedzinie.
DOWÓD:
Z uwagi na
x-x0 x+x0
sin x - sin x0 = 2 · sin cos
2 2
i ograniczoność funkcji kosinus wystarczy wykazać ciągłość funkcji
sinus w zerze.
Z uwagi na nieparzystość funkcji sinus wystarczy wykazać jej ciągłość
prawostronnÄ… w zerze.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH
TWIERDZENIE 89
Funkcje x - sin x x - cos x x - ax x - xÄ…
x - loga x x - tg x x - ctg x x - arctg x
x - arcctg x x - arcsin x x - arccos x
są ciągłe w swojej dziedzinie.
DOWÓD:
Z uwagi na
x-x0 x+x0
sin x - sin x0 = 2 · sin cos
2 2
i ograniczoność funkcji kosinus wystarczy wykazać ciągłość funkcji
sinus w zerze.
Z uwagi na nieparzystość funkcji sinus wystarczy wykazać jej ciągłość
prawostronnÄ… w zerze.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH
TWIERDZENIE 89
Funkcje x - sin x x - cos x x - ax x - xÄ…
x - loga x x - tg x x - ctg x x - arctg x
x - arcctg x x - arcsin x x - arccos x
są ciągłe w swojej dziedzinie.
DOWÓD:
Z uwagi na
x-x0 x+x0
sin x - sin x0 = 2 · sin cos
2 2
i ograniczoność funkcji kosinus wystarczy wykazać ciągłość funkcji
sinus w zerze.
Z uwagi na nieparzystość funkcji sinus wystarczy wykazać jej ciągłość
prawostronnÄ… w zerze.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH
TWIERDZENIE 89
Funkcje x - sin x x - cos x x - ax x - xÄ…
x - loga x x - tg x x - ctg x x - arctg x
x - arcctg x x - arcsin x x - arccos x
są ciągłe w swojej dziedzinie.
DOWÓD:
Z uwagi na
x-x0 x+x0
sin x - sin x0 = 2 · sin cos
2 2
i ograniczoność funkcji kosinus wystarczy wykazać ciągłość funkcji
sinus w zerze.
Z uwagi na nieparzystość funkcji sinus wystarczy wykazać jej ciągłość
prawostronnÄ… w zerze.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH
TWIERDZENIE 89
Funkcje x - sin x x - cos x x - ax x - xÄ…
x - loga x x - tg x x - ctg x x - arctg x
x - arcctg x x - arcsin x x - arccos x
są ciągłe w swojej dziedzinie.
DOWÓD:
Z uwagi na
x-x0 x+x0
sin x - sin x0 = 2 · sin cos
2 2
i ograniczoność funkcji kosinus wystarczy wykazać ciągłość funkcji
sinus w zerze.
Z uwagi na nieparzystość funkcji sinus wystarczy wykazać jej ciągłość
prawostronnÄ… w zerze.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH
TWIERDZENIE 89
Funkcje x - sin x x - cos x x - ax x - xÄ…
x - loga x x - tg x x - ctg x x - arctg x
x - arcctg x x - arcsin x x - arccos x
są ciągłe w swojej dziedzinie.
DOWÓD:
Z uwagi na
x-x0 x+x0
sin x - sin x0 = 2 · sin cos
2 2
i ograniczoność funkcji kosinus wystarczy wykazać ciągłość funkcji
sinus w zerze.
Z uwagi na nieparzystość funkcji sinus wystarczy wykazać jej ciągłość
prawostronnÄ… w zerze.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH
TWIERDZENIE 89
Funkcje x - sin x x - cos x x - ax x - xÄ…
x - loga x x - tg x x - ctg x x - arctg x
x - arcctg x x - arcsin x x - arccos x
są ciągłe w swojej dziedzinie.
DOWÓD:
Z uwagi na
x-x0 x+x0
sin x - sin x0 = 2 · sin cos
2 2
i ograniczoność funkcji kosinus wystarczy wykazać ciągłość funkcji
sinus w zerze.
Z uwagi na nieparzystość funkcji sinus wystarczy wykazać jej ciągłość
prawostronnÄ… w zerze.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH
TWIERDZENIE 89
Funkcje x - sin x x - cos x x - ax x - xÄ…
x - loga x x - tg x x - ctg x x - arctg x
x - arcctg x x - arcsin x x - arccos x
są ciągłe w swojej dziedzinie.
DOWÓD:
Z uwagi na
x-x0 x+x0
sin x - sin x0 = 2 · sin cos
2 2
i ograniczoność funkcji kosinus wystarczy wykazać ciągłość funkcji
sinus w zerze.
Z uwagi na nieparzystość funkcji sinus wystarczy wykazać jej ciągłość
prawostronnÄ… w zerze.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH
Dla x > 0 mamy 0 < sin x < x i z twierdzenia o granicy trzech funkcji
mamy lim sin x = 0.
x0+
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH
Wzór
x+x0 x-x0
cos x - cos x0 = -2 · sin · sin
2 2
implikuje ciągłość funkcji kosinus.
Z ciągłości sinusa i kosinusa wynika ciąglość tangensa i kotangensa.
Ciągłość funkcji trygonometrycznych daje nam na mocy Twierdzenia 87
ciągłość funkcji cyklometrycznych.
Ciągłość funkcji potęgowej i wykładniczej wynika z Twierdzenia 24 i
definicji Heine go ciągłości funkcji w punkcie.
Funkcja logarytmiczna jest funkcja odwrotną do funkcji wykładniczej i na
mocy Twierdzenia 87 mamy z ciągłości funkcji wykładniczej ciągłośc
funkcji logarytmicznej.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH
Wzór
x+x0 x-x0
cos x - cos x0 = -2 · sin · sin
2 2
implikuje ciągłość funkcji kosinus.
Z ciągłości sinusa i kosinusa wynika ciąglość tangensa i kotangensa.
Ciągłość funkcji trygonometrycznych daje nam na mocy Twierdzenia 87
ciągłość funkcji cyklometrycznych.
Ciągłość funkcji potęgowej i wykładniczej wynika z Twierdzenia 24 i
definicji Heine go ciągłości funkcji w punkcie.
Funkcja logarytmiczna jest funkcja odwrotną do funkcji wykładniczej i na
mocy Twierdzenia 87 mamy z ciągłości funkcji wykładniczej ciągłośc
funkcji logarytmicznej.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH
Wzór
x+x0 x-x0
cos x - cos x0 = -2 · sin · sin
2 2
implikuje ciągłość funkcji kosinus.
Z ciągłości sinusa i kosinusa wynika ciąglość tangensa i kotangensa.
Ciągłość funkcji trygonometrycznych daje nam na mocy Twierdzenia 87
ciągłość funkcji cyklometrycznych.
Ciągłość funkcji potęgowej i wykładniczej wynika z Twierdzenia 24 i
definicji Heine go ciągłości funkcji w punkcie.
Funkcja logarytmiczna jest funkcja odwrotną do funkcji wykładniczej i na
mocy Twierdzenia 87 mamy z ciągłości funkcji wykładniczej ciągłośc
funkcji logarytmicznej.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH
Wzór
x+x0 x-x0
cos x - cos x0 = -2 · sin · sin
2 2
implikuje ciągłość funkcji kosinus.
Z ciągłości sinusa i kosinusa wynika ciąglość tangensa i kotangensa.
Ciągłość funkcji trygonometrycznych daje nam na mocy Twierdzenia 87
ciągłość funkcji cyklometrycznych.
Ciągłość funkcji potęgowej i wykładniczej wynika z Twierdzenia 24 i
definicji Heine go ciągłości funkcji w punkcie.
Funkcja logarytmiczna jest funkcja odwrotną do funkcji wykładniczej i na
mocy Twierdzenia 87 mamy z ciągłości funkcji wykładniczej ciągłośc
funkcji logarytmicznej.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH
Wzór
x+x0 x-x0
cos x - cos x0 = -2 · sin · sin
2 2
implikuje ciągłość funkcji kosinus.
Z ciągłości sinusa i kosinusa wynika ciąglość tangensa i kotangensa.
Ciągłość funkcji trygonometrycznych daje nam na mocy Twierdzenia 87
ciągłość funkcji cyklometrycznych.
Ciągłość funkcji potęgowej i wykładniczej wynika z Twierdzenia 24 i
definicji Heine go ciągłości funkcji w punkcie.
Funkcja logarytmiczna jest funkcja odwrotną do funkcji wykładniczej i na
mocy Twierdzenia 87 mamy z ciągłości funkcji wykładniczej ciągłośc
funkcji logarytmicznej.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
TWIERDZENIE 90
Mamy nastepujace granice specjalne:
1
lim (1 + )x = e,
x
x"
1
Jeżeli lim f(x) = " to lim (1 + )f(x) = e,
xx0 xx0 f(x)
ln(1 + x)
lim = 1,
x0
x
ln(1+f(x))
Jeżeli lim f(x) = 0 to lim = 1,
xx0 xx0 f(x)
ex - 1
lim = 1,
x0
x
ef (x)-1
Jeżeli lim f(x) = 0 to lim = 1,
xx0 xx0 f(x)
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
TWIERDZENIE 90
Mamy nastepujace granice specjalne:
1
lim (1 + )x = e,
x
x"
1
Jeżeli lim f(x) = " to lim (1 + )f(x) = e,
xx0 xx0 f(x)
ln(1 + x)
lim = 1,
x0
x
ln(1+f(x))
Jeżeli lim f(x) = 0 to lim = 1,
xx0 xx0 f(x)
ex - 1
lim = 1,
x0
x
ef (x)-1
Jeżeli lim f(x) = 0 to lim = 1,
xx0 xx0 f(x)
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
TWIERDZENIE 90
Mamy nastepujace granice specjalne:
1
lim (1 + )x = e,
x
x"
1
Jeżeli lim f(x) = " to lim (1 + )f(x) = e,
xx0 xx0 f(x)
ln(1 + x)
lim = 1,
x0
x
ln(1+f(x))
Jeżeli lim f(x) = 0 to lim = 1,
xx0 xx0 f(x)
ex - 1
lim = 1,
x0
x
ef (x)-1
Jeżeli lim f(x) = 0 to lim = 1,
xx0 xx0 f(x)
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
TWIERDZENIE 90
Mamy nastepujace granice specjalne:
1
lim (1 + )x = e,
x
x"
1
Jeżeli lim f(x) = " to lim (1 + )f(x) = e,
xx0 xx0 f(x)
ln(1 + x)
lim = 1,
x0
x
ln(1+f(x))
Jeżeli lim f(x) = 0 to lim = 1,
xx0 xx0 f(x)
ex - 1
lim = 1,
x0
x
ef (x)-1
Jeżeli lim f(x) = 0 to lim = 1,
xx0 xx0 f(x)
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
TWIERDZENIE 90
Mamy nastepujace granice specjalne:
1
lim (1 + )x = e,
x
x"
1
Jeżeli lim f(x) = " to lim (1 + )f(x) = e,
xx0 xx0 f(x)
ln(1 + x)
lim = 1,
x0
x
ln(1+f(x))
Jeżeli lim f(x) = 0 to lim = 1,
xx0 xx0 f(x)
ex - 1
lim = 1,
x0
x
ef (x)-1
Jeżeli lim f(x) = 0 to lim = 1,
xx0 xx0 f(x)
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
TWIERDZENIE 90
Mamy nastepujace granice specjalne:
1
lim (1 + )x = e,
x
x"
1
Jeżeli lim f(x) = " to lim (1 + )f(x) = e,
xx0 xx0 f(x)
ln(1 + x)
lim = 1,
x0
x
ln(1+f(x))
Jeżeli lim f(x) = 0 to lim = 1,
xx0 xx0 f(x)
ex - 1
lim = 1,
x0
x
ef (x)-1
Jeżeli lim f(x) = 0 to lim = 1,
xx0 xx0 f(x)
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
TWIERDZENIE 90
Mamy nastepujace granice specjalne:
1
lim (1 + )x = e,
x
x"
1
Jeżeli lim f(x) = " to lim (1 + )f(x) = e,
xx0 xx0 f(x)
ln(1 + x)
lim = 1,
x0
x
ln(1+f(x))
Jeżeli lim f(x) = 0 to lim = 1,
xx0 xx0 f(x)
ex - 1
lim = 1,
x0
x
ef (x)-1
Jeżeli lim f(x) = 0 to lim = 1,
xx0 xx0 f(x)
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
(1+x)Ä…-1
lim = Ä…,
x
x0
(1+f(x))Ä…-1
Jeżeli lim f(x) = 0 to lim = ą,
xx0 xx0 f(x)
sinx
lim = 1.
x0
x
sin f(x)
Jeżeli lim f(x) = 0 to lim = 1.
xx0 xx0 f(x)
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
(1+x)Ä…-1
lim = Ä…,
x
x0
(1+f(x))Ä…-1
Jeżeli lim f(x) = 0 to lim = ą,
xx0 xx0 f(x)
sinx
lim = 1.
x0
x
sin f(x)
Jeżeli lim f(x) = 0 to lim = 1.
xx0 xx0 f(x)
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
(1+x)Ä…-1
lim = Ä…,
x
x0
(1+f(x))Ä…-1
Jeżeli lim f(x) = 0 to lim = ą,
xx0 xx0 f(x)
sinx
lim = 1.
x0
x
sin f(x)
Jeżeli lim f(x) = 0 to lim = 1.
xx0 xx0 f(x)
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
(1+x)Ä…-1
lim = Ä…,
x
x0
(1+f(x))Ä…-1
Jeżeli lim f(x) = 0 to lim = ą,
xx0 xx0 f(x)
sinx
lim = 1.
x0
x
sin f(x)
Jeżeli lim f(x) = 0 to lim = 1.
xx0 xx0 f(x)
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
(1+x)Ä…-1
lim = Ä…,
x
x0
(1+f(x))Ä…-1
Jeżeli lim f(x) = 0 to lim = ą,
xx0 xx0 f(x)
sinx
lim = 1.
x0
x
sin f(x)
Jeżeli lim f(x) = 0 to lim = 1.
xx0 xx0 f(x)
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
(1+x)Ä…-1
lim = Ä…,
x
x0
(1+f(x))Ä…-1
Jeżeli lim f(x) = 0 to lim = ą,
xx0 xx0 f(x)
sinx
lim = 1.
x0
x
sin f(x)
Jeżeli lim f(x) = 0 to lim = 1.
xx0 xx0 f(x)


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
2010 11 06 WIL Wyklad 06
2010 11 04 WIL Wyklad 04id 174
2010 11 08 WIL Wyklad 08id 175
2010 11 05 WIL Wyklad 05
1 292011 01 07 WIL Wyklad 14id?34
2010 11 WIL Wyklad 01
2010 11 WIL Wyklad 04
2010 11 WIL Wyklad 08
2010 11 WIL Wyklad 02
kolokwium 2010 01 07 rozw
r 11 07

więcej podobnych podstron