Wykład 06
Witold Obłoza
20 stycznia 2011
GRANICA FUNKCJI
DEFINICJA 53 (definicja Heine go)
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w S(x0) sasiedztwie punktu
x0.
Mówimy, że liczba g jest granica funkcji f w punkcie x0
wtedy i tylko wtedy, gdy "{xn}" ‚" S(x0)
n=1
( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = g)
n" n"
GRANICA FUNKCJI
DEFINICJA 53 (definicja Heine go)
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w S(x0) sasiedztwie punktu
x0.
Mówimy, że liczba g jest granica funkcji f w punkcie x0
wtedy i tylko wtedy, gdy "{xn}" ‚" S(x0)
n=1
( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = g)
n" n"
GRANICA FUNKCJI
DEFINICJA 53 (definicja Heine go)
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w S(x0) sasiedztwie punktu
x0.
Mówimy, że liczba g jest granica funkcji f w punkcie x0
wtedy i tylko wtedy, gdy "{xn}" ‚" S(x0)
n=1
( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = g)
n" n"
GRANICA FUNKCJI
DEFINICJA 53 (definicja Heine go)
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w S(x0) sasiedztwie punktu
x0.
Mówimy, że liczba g jest granica funkcji f w punkcie x0
wtedy i tylko wtedy, gdy "{xn}" ‚" S(x0)
n=1
( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = g)
n" n"
GRANICA FUNKCJI
DEFINICJA 54 (Definicja Cauchy ego)
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie punktu x0.
Mówimy, że liczba g jest granica funkcji f w punkcie x0 wtedy i tylko
wtedy,
gdy "µ > 0 "´ > 0 : "x " D
(x0 - ´ < x < x0 + ´ =Ò! |f(x) - g| < µ).
GRANICA FUNKCJI
DEFINICJA 54 (Definicja Cauchy ego)
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie punktu x0.
Mówimy, że liczba g jest granica funkcji f w punkcie x0 wtedy i tylko
wtedy,
gdy "µ > 0 "´ > 0 : "x " D
(x0 - ´ < x < x0 + ´ =Ò! |f(x) - g| < µ).
GRANICA FUNKCJI
DEFINICJA 54 (Definicja Cauchy ego)
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie punktu x0.
Mówimy, że liczba g jest granica funkcji f w punkcie x0 wtedy i tylko
wtedy,
gdy "µ > 0 "´ > 0 : "x " D
(x0 - ´ < x < x0 + ´ =Ò! |f(x) - g| < µ).
DEFINICJE GRANICY FUNKCJI W PUNKCIE
TWIERDZENIE 55
Definicje Cauchy ego i Heine go granicy funkcji w punkcie są równoważne,
DOWÓD:
Niech g będzie granicą funkcji f w punkcie x0 w sensie Cauchy ego.
Wówczas "µ > 0 "´ > 0 taka, że gdy 0 < |x - x0| < ´ to
|f(x) - g| < µ.
Jeżeli xn - x0 i {xn} ‚" S(x0) to "n0 takie, że "n > n0
0 < |xn - x0| < ´, wiÄ™c |f(xn) - g| < µ.
StÄ…d dla xn - x0 i {xn} ‚" S(x0) mamy f(xn) - g.
Liczba g jest także granicą w sensie Heine go.
DEFINICJE GRANICY FUNKCJI W PUNKCIE
TWIERDZENIE 55
Definicje Cauchy ego i Heine go granicy funkcji w punkcie są równoważne,
DOWÓD:
Niech g będzie granicą funkcji f w punkcie x0 w sensie Cauchy ego.
Wówczas "µ > 0 "´ > 0 taka, że gdy 0 < |x - x0| < ´ to
|f(x) - g| < µ.
Jeżeli xn - x0 i {xn} ‚" S(x0) to "n0 takie, że "n > n0
0 < |xn - x0| < ´, wiÄ™c |f(xn) - g| < µ.
StÄ…d dla xn - x0 i {xn} ‚" S(x0) mamy f(xn) - g.
Liczba g jest także granicą w sensie Heine go.
DEFINICJE GRANICY FUNKCJI W PUNKCIE
TWIERDZENIE 55
Definicje Cauchy ego i Heine go granicy funkcji w punkcie są równoważne,
DOWÓD:
Niech g będzie granicą funkcji f w punkcie x0 w sensie Cauchy ego.
Wówczas "µ > 0 "´ > 0 taka, że gdy 0 < |x - x0| < ´ to
|f(x) - g| < µ.
Jeżeli xn - x0 i {xn} ‚" S(x0) to "n0 takie, że "n > n0
0 < |xn - x0| < ´, wiÄ™c |f(xn) - g| < µ.
StÄ…d dla xn - x0 i {xn} ‚" S(x0) mamy f(xn) - g.
Liczba g jest także granicą w sensie Heine go.
DEFINICJE GRANICY FUNKCJI W PUNKCIE
TWIERDZENIE 55
Definicje Cauchy ego i Heine go granicy funkcji w punkcie są równoważne,
DOWÓD:
Niech g będzie granicą funkcji f w punkcie x0 w sensie Cauchy ego.
Wówczas "µ > 0 "´ > 0 taka, że gdy 0 < |x - x0| < ´ to
|f(x) - g| < µ.
Jeżeli xn - x0 i {xn} ‚" S(x0) to "n0 takie, że "n > n0
0 < |xn - x0| < ´, wiÄ™c |f(xn) - g| < µ.
StÄ…d dla xn - x0 i {xn} ‚" S(x0) mamy f(xn) - g.
Liczba g jest także granicą w sensie Heine go.
DEFINICJE GRANICY FUNKCJI W PUNKCIE
TWIERDZENIE 55
Definicje Cauchy ego i Heine go granicy funkcji w punkcie są równoważne,
DOWÓD:
Niech g będzie granicą funkcji f w punkcie x0 w sensie Cauchy ego.
Wówczas "µ > 0 "´ > 0 taka, że gdy 0 < |x - x0| < ´ to
|f(x) - g| < µ.
Jeżeli xn - x0 i {xn} ‚" S(x0) to "n0 takie, że "n > n0
0 < |xn - x0| < ´, wiÄ™c |f(xn) - g| < µ.
StÄ…d dla xn - x0 i {xn} ‚" S(x0) mamy f(xn) - g.
Liczba g jest także granicą w sensie Heine go.
DEFINICJE GRANICY FUNKCJI W PUNKCIE
TWIERDZENIE 55
Definicje Cauchy ego i Heine go granicy funkcji w punkcie są równoważne,
DOWÓD:
Niech g będzie granicą funkcji f w punkcie x0 w sensie Cauchy ego.
Wówczas "µ > 0 "´ > 0 taka, że gdy 0 < |x - x0| < ´ to
|f(x) - g| < µ.
Jeżeli xn - x0 i {xn} ‚" S(x0) to "n0 takie, że "n > n0
0 < |xn - x0| < ´, wiÄ™c |f(xn) - g| < µ.
StÄ…d dla xn - x0 i {xn} ‚" S(x0) mamy f(xn) - g.
Liczba g jest także granicą w sensie Heine go.
DEFINICJE GRANICY FUNKCJI W PUNKCIE
Niech g będzie granicą funkcji f w punkcie x0 w sensie Heine go i
przypuśćmy, że g nie jest granicą w sensie Cauchy ego.
Wówczas "µ > 0 "´ > 0 "x´ takie, że |X - X0| < ´ i |f(x) - g| > µ.
1
Mamy stÄ…d ( zamiast ´ bierzemy )
n
1
µ > 0 "n "xn takie, że 0 < |xn - x0| < |f(xn) - g| > µ.
n
Ale wówczas xn - x0 i f(xn) g.
Sprzecznośść kończy dowód twierdzenia.
DEFINICJE GRANICY FUNKCJI W PUNKCIE
Niech g będzie granicą funkcji f w punkcie x0 w sensie Heine go i
przypuśćmy, że g nie jest granicą w sensie Cauchy ego.
Wówczas "µ > 0 "´ > 0 "x´ takie, że |X - X0| < ´ i |f(x) - g| > µ.
1
Mamy stÄ…d ( zamiast ´ bierzemy )
n
1
µ > 0 "n "xn takie, że 0 < |xn - x0| < |f(xn) - g| > µ.
n
Ale wówczas xn - x0 i f(xn) g.
Sprzecznośść kończy dowód twierdzenia.
DEFINICJE GRANICY FUNKCJI W PUNKCIE
Niech g będzie granicą funkcji f w punkcie x0 w sensie Heine go i
przypuśćmy, że g nie jest granicą w sensie Cauchy ego.
Wówczas "µ > 0 "´ > 0 "x´ takie, że |X - X0| < ´ i |f(x) - g| > µ.
1
Mamy stÄ…d ( zamiast ´ bierzemy )
n
1
µ > 0 "n "xn takie, że 0 < |xn - x0| < |f(xn) - g| > µ.
n
Ale wówczas xn - x0 i f(xn) g.
Sprzecznośść kończy dowód twierdzenia.
DEFINICJE GRANICY FUNKCJI W PUNKCIE
Niech g będzie granicą funkcji f w punkcie x0 w sensie Heine go i
przypuśćmy, że g nie jest granicą w sensie Cauchy ego.
Wówczas "µ > 0 "´ > 0 "x´ takie, że |X - X0| < ´ i |f(x) - g| > µ.
1
Mamy stÄ…d ( zamiast ´ bierzemy )
n
1
µ > 0 "n "xn takie, że 0 < |xn - x0| < |f(xn) - g| > µ.
n
Ale wówczas xn - x0 i f(xn) g.
Sprzecznośść kończy dowód twierdzenia.
DEFINICJE GRANICY FUNKCJI W PUNKCIE
Niech g będzie granicą funkcji f w punkcie x0 w sensie Heine go i
przypuśćmy, że g nie jest granicą w sensie Cauchy ego.
Wówczas "µ > 0 "´ > 0 "x´ takie, że |X - X0| < ´ i |f(x) - g| > µ.
1
Mamy stÄ…d ( zamiast ´ bierzemy )
n
1
µ > 0 "n "xn takie, że 0 < |xn - x0| < |f(xn) - g| > µ.
n
Ale wówczas xn - x0 i f(xn) g.
Sprzecznośść kończy dowód twierdzenia.
GRANICE JEDNOSTRONNE FUNKCJI
DEFINICJA 56 (Definicja Heine go)
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie lewostronnym
punktu x0.
Mówimy, że liczba g jest granica lewostronna funkcji f w punkcie x0
wtedy i tylko wtedy, gdy
"{xn}" ‚" S-(x0) ( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = g.)
n=1
n" n"
DEFINICJA 57 (Definicja Heine go)
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie
prawostronnym punktu x0.
Mówimy, że liczba g jest granica prawostronna funkcji f w punkcie x0
wtedy i tylko wtedy, gdy
"{xn}" ‚" S+(x0) ( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = g).
n=1
n" n"
GRANICE JEDNOSTRONNE FUNKCJI
DEFINICJA 56 (Definicja Heine go)
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie lewostronnym
punktu x0.
Mówimy, że liczba g jest granica lewostronna funkcji f w punkcie x0
wtedy i tylko wtedy, gdy
"{xn}" ‚" S-(x0) ( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = g.)
n=1
n" n"
DEFINICJA 57 (Definicja Heine go)
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie
prawostronnym punktu x0.
Mówimy, że liczba g jest granica prawostronna funkcji f w punkcie x0
wtedy i tylko wtedy, gdy
"{xn}" ‚" S+(x0) ( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = g).
n=1
n" n"
GRANICE JEDNOSTRONNE FUNKCJI
DEFINICJA 56 (Definicja Heine go)
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie lewostronnym
punktu x0.
Mówimy, że liczba g jest granica lewostronna funkcji f w punkcie x0
wtedy i tylko wtedy, gdy
"{xn}" ‚" S-(x0) ( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = g.)
n=1
n" n"
DEFINICJA 57 (Definicja Heine go)
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie
prawostronnym punktu x0.
Mówimy, że liczba g jest granica prawostronna funkcji f w punkcie x0
wtedy i tylko wtedy, gdy
"{xn}" ‚" S+(x0) ( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = g).
n=1
n" n"
GRANICE JEDNOSTRONNE FUNKCJI
DEFINICJA 56 (Definicja Heine go)
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie lewostronnym
punktu x0.
Mówimy, że liczba g jest granica lewostronna funkcji f w punkcie x0
wtedy i tylko wtedy, gdy
"{xn}" ‚" S-(x0) ( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = g.)
n=1
n" n"
DEFINICJA 57 (Definicja Heine go)
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie
prawostronnym punktu x0.
Mówimy, że liczba g jest granica prawostronna funkcji f w punkcie x0
wtedy i tylko wtedy, gdy
"{xn}" ‚" S+(x0) ( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = g).
n=1
n" n"
GRANICE JEDNOSTRONNE FUNKCJI
DEFINICJA 56 (Definicja Heine go)
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie lewostronnym
punktu x0.
Mówimy, że liczba g jest granica lewostronna funkcji f w punkcie x0
wtedy i tylko wtedy, gdy
"{xn}" ‚" S-(x0) ( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = g.)
n=1
n" n"
DEFINICJA 57 (Definicja Heine go)
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie
prawostronnym punktu x0.
Mówimy, że liczba g jest granica prawostronna funkcji f w punkcie x0
wtedy i tylko wtedy, gdy
"{xn}" ‚" S+(x0) ( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = g).
n=1
n" n"
GRANICE JEDNOSTRONNE FUNKCJI
DEFINICJA 56 (Definicja Heine go)
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie lewostronnym
punktu x0.
Mówimy, że liczba g jest granica lewostronna funkcji f w punkcie x0
wtedy i tylko wtedy, gdy
"{xn}" ‚" S-(x0) ( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = g.)
n=1
n" n"
DEFINICJA 57 (Definicja Heine go)
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie
prawostronnym punktu x0.
Mówimy, że liczba g jest granica prawostronna funkcji f w punkcie x0
wtedy i tylko wtedy, gdy
"{xn}" ‚" S+(x0) ( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = g).
n=1
n" n"
GRANICE JEDNOSTRONNE FUNKCJI
DEFINICJA 56 (Definicja Heine go)
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie lewostronnym
punktu x0.
Mówimy, że liczba g jest granica lewostronna funkcji f w punkcie x0
wtedy i tylko wtedy, gdy
"{xn}" ‚" S-(x0) ( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = g.)
n=1
n" n"
DEFINICJA 57 (Definicja Heine go)
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie
prawostronnym punktu x0.
Mówimy, że liczba g jest granica prawostronna funkcji f w punkcie x0
wtedy i tylko wtedy, gdy
"{xn}" ‚" S+(x0) ( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = g).
n=1
n" n"
GRANICE JEDNOSTRONNE FUNKCJI
DEFINICJA 58 (Definicja Cauchy ego)
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie lewostronnym
punktu x0.
Mówimy, że liczba g jest granica lewostronna funkcji f w punkcie x0
wtedy i tyko wtedy, gdy "µ > 0 "´ > 0 : "x " D
(x0 - ´ < x < x0 =Ò! |f(x) - g| < µ).
DEFINICJA 59 (Definicja Cauchy ego)
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie
prawostronnym punktu x0.
Mówimy, że liczba g jest granica prawostronna funkcji f w punkcie x0
wtedy i tylko wtedy, gdy "µ > 0 "´ > 0 : "x " D
(x0 < x < x0 + ´ =Ò! |f(x) - g| < µ).
GRANICE JEDNOSTRONNE FUNKCJI
DEFINICJA 58 (Definicja Cauchy ego)
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie lewostronnym
punktu x0.
Mówimy, że liczba g jest granica lewostronna funkcji f w punkcie x0
wtedy i tyko wtedy, gdy "µ > 0 "´ > 0 : "x " D
(x0 - ´ < x < x0 =Ò! |f(x) - g| < µ).
DEFINICJA 59 (Definicja Cauchy ego)
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie
prawostronnym punktu x0.
Mówimy, że liczba g jest granica prawostronna funkcji f w punkcie x0
wtedy i tylko wtedy, gdy "µ > 0 "´ > 0 : "x " D
(x0 < x < x0 + ´ =Ò! |f(x) - g| < µ).
GRANICE JEDNOSTRONNE FUNKCJI
DEFINICJA 58 (Definicja Cauchy ego)
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie lewostronnym
punktu x0.
Mówimy, że liczba g jest granica lewostronna funkcji f w punkcie x0
wtedy i tyko wtedy, gdy "µ > 0 "´ > 0 : "x " D
(x0 - ´ < x < x0 =Ò! |f(x) - g| < µ).
DEFINICJA 59 (Definicja Cauchy ego)
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie
prawostronnym punktu x0.
Mówimy, że liczba g jest granica prawostronna funkcji f w punkcie x0
wtedy i tylko wtedy, gdy "µ > 0 "´ > 0 : "x " D
(x0 < x < x0 + ´ =Ò! |f(x) - g| < µ).
GRANICE JEDNOSTRONNE FUNKCJI
DEFINICJA 58 (Definicja Cauchy ego)
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie lewostronnym
punktu x0.
Mówimy, że liczba g jest granica lewostronna funkcji f w punkcie x0
wtedy i tyko wtedy, gdy "µ > 0 "´ > 0 : "x " D
(x0 - ´ < x < x0 =Ò! |f(x) - g| < µ).
DEFINICJA 59 (Definicja Cauchy ego)
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie
prawostronnym punktu x0.
Mówimy, że liczba g jest granica prawostronna funkcji f w punkcie x0
wtedy i tylko wtedy, gdy "µ > 0 "´ > 0 : "x " D
(x0 < x < x0 + ´ =Ò! |f(x) - g| < µ).
GRANICE JEDNOSTRONNE FUNKCJI
DEFINICJA 58 (Definicja Cauchy ego)
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie lewostronnym
punktu x0.
Mówimy, że liczba g jest granica lewostronna funkcji f w punkcie x0
wtedy i tyko wtedy, gdy "µ > 0 "´ > 0 : "x " D
(x0 - ´ < x < x0 =Ò! |f(x) - g| < µ).
DEFINICJA 59 (Definicja Cauchy ego)
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie
prawostronnym punktu x0.
Mówimy, że liczba g jest granica prawostronna funkcji f w punkcie x0
wtedy i tylko wtedy, gdy "µ > 0 "´ > 0 : "x " D
(x0 < x < x0 + ´ =Ò! |f(x) - g| < µ).
GRANICE JEDNOSTRONNE FUNKCJI
DEFINICJA 58 (Definicja Cauchy ego)
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie lewostronnym
punktu x0.
Mówimy, że liczba g jest granica lewostronna funkcji f w punkcie x0
wtedy i tyko wtedy, gdy "µ > 0 "´ > 0 : "x " D
(x0 - ´ < x < x0 =Ò! |f(x) - g| < µ).
DEFINICJA 59 (Definicja Cauchy ego)
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie
prawostronnym punktu x0.
Mówimy, że liczba g jest granica prawostronna funkcji f w punkcie x0
wtedy i tylko wtedy, gdy "µ > 0 "´ > 0 : "x " D
(x0 < x < x0 + ´ =Ò! |f(x) - g| < µ).
GRANICE JEDNOSTRONNE FUNKCJI
DEFINICJA 58 (Definicja Cauchy ego)
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie lewostronnym
punktu x0.
Mówimy, że liczba g jest granica lewostronna funkcji f w punkcie x0
wtedy i tyko wtedy, gdy "µ > 0 "´ > 0 : "x " D
(x0 - ´ < x < x0 =Ò! |f(x) - g| < µ).
DEFINICJA 59 (Definicja Cauchy ego)
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie
prawostronnym punktu x0.
Mówimy, że liczba g jest granica prawostronna funkcji f w punkcie x0
wtedy i tylko wtedy, gdy "µ > 0 "´ > 0 : "x " D
(x0 < x < x0 + ´ =Ò! |f(x) - g| < µ).
GRANICE NIEWA
AÅšCIWE
DEFINICJA 60
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie punktu x0.
Mówimy, że " jest granica niewłaściwa funkcji f w punkcie x0 wtedy i
tylko wtedy, gdy
"M "´ > 0 : "x " D (0 < |x - x0| < ´ =Ò! f(x) > M).
DEFINICJA 61
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w S(x0) sasiedztwie punktu
x0.
Mówimy, że " jest granica niewłaściwa funkcji f w punkcie x0 wtedy i
tylko wtedy, gdy "{xn}" ‚" S(x0)
n=1
( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = ").
n" n"
GRANICE NIEWA
AÅšCIWE
DEFINICJA 60
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie punktu x0.
Mówimy, że " jest granica niewłaściwa funkcji f w punkcie x0 wtedy i
tylko wtedy, gdy
"M "´ > 0 : "x " D (0 < |x - x0| < ´ =Ò! f(x) > M).
DEFINICJA 61
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w S(x0) sasiedztwie punktu
x0.
Mówimy, że " jest granica niewłaściwa funkcji f w punkcie x0 wtedy i
tylko wtedy, gdy "{xn}" ‚" S(x0)
n=1
( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = ").
n" n"
GRANICE NIEWA
AÅšCIWE
DEFINICJA 60
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie punktu x0.
Mówimy, że " jest granica niewłaściwa funkcji f w punkcie x0 wtedy i
tylko wtedy, gdy
"M "´ > 0 : "x " D (0 < |x - x0| < ´ =Ò! f(x) > M).
DEFINICJA 61
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w S(x0) sasiedztwie punktu
x0.
Mówimy, że " jest granica niewłaściwa funkcji f w punkcie x0 wtedy i
tylko wtedy, gdy "{xn}" ‚" S(x0)
n=1
( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = ").
n" n"
GRANICE NIEWA
AÅšCIWE
DEFINICJA 60
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie punktu x0.
Mówimy, że " jest granica niewłaściwa funkcji f w punkcie x0 wtedy i
tylko wtedy, gdy
"M "´ > 0 : "x " D (0 < |x - x0| < ´ =Ò! f(x) > M).
DEFINICJA 61
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w S(x0) sasiedztwie punktu
x0.
Mówimy, że " jest granica niewłaściwa funkcji f w punkcie x0 wtedy i
tylko wtedy, gdy "{xn}" ‚" S(x0)
n=1
( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = ").
n" n"
GRANICE NIEWA
AÅšCIWE
DEFINICJA 60
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie punktu x0.
Mówimy, że " jest granica niewłaściwa funkcji f w punkcie x0 wtedy i
tylko wtedy, gdy
"M "´ > 0 : "x " D (0 < |x - x0| < ´ =Ò! f(x) > M).
DEFINICJA 61
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w S(x0) sasiedztwie punktu
x0.
Mówimy, że " jest granica niewłaściwa funkcji f w punkcie x0 wtedy i
tylko wtedy, gdy "{xn}" ‚" S(x0)
n=1
( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = ").
n" n"
GRANICE NIEWA
AÅšCIWE
DEFINICJA 62
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie punktu x0.
Mówimy, że -" jest granica niewłaściwa funkcji f w punkcie x0 wtedy i
tylko wtedy, gdy
"M "´ > 0 : "x " D (0 < |x - x0| < ´ =Ò! f(x) < M).
DEFINICJA 63
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w S(x0) sasiedztwie punktu
x0.
Mówimy, że -" jest granica niewłaściwa funkcji f w punkcie x0wtedy i
tylko wtedy, gdy
"{xn}" ‚" S(x0) ( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = -").
n=1
n" n"
GRANICE NIEWA
AÅšCIWE
DEFINICJA 62
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie punktu x0.
Mówimy, że -" jest granica niewłaściwa funkcji f w punkcie x0 wtedy i
tylko wtedy, gdy
"M "´ > 0 : "x " D (0 < |x - x0| < ´ =Ò! f(x) < M).
DEFINICJA 63
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w S(x0) sasiedztwie punktu
x0.
Mówimy, że -" jest granica niewłaściwa funkcji f w punkcie x0wtedy i
tylko wtedy, gdy
"{xn}" ‚" S(x0) ( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = -").
n=1
n" n"
GRANICE NIEWA
AÅšCIWE
DEFINICJA 62
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie punktu x0.
Mówimy, że -" jest granica niewłaściwa funkcji f w punkcie x0 wtedy i
tylko wtedy, gdy
"M "´ > 0 : "x " D (0 < |x - x0| < ´ =Ò! f(x) < M).
DEFINICJA 63
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w S(x0) sasiedztwie punktu
x0.
Mówimy, że -" jest granica niewłaściwa funkcji f w punkcie x0wtedy i
tylko wtedy, gdy
"{xn}" ‚" S(x0) ( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = -").
n=1
n" n"
GRANICE NIEWA
AÅšCIWE
DEFINICJA 62
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie punktu x0.
Mówimy, że -" jest granica niewłaściwa funkcji f w punkcie x0 wtedy i
tylko wtedy, gdy
"M "´ > 0 : "x " D (0 < |x - x0| < ´ =Ò! f(x) < M).
DEFINICJA 63
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w S(x0) sasiedztwie punktu
x0.
Mówimy, że -" jest granica niewłaściwa funkcji f w punkcie x0wtedy i
tylko wtedy, gdy
"{xn}" ‚" S(x0) ( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = -").
n=1
n" n"
GRANICE NIEWA
AÅšCIWE
DEFINICJA 62
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie punktu x0.
Mówimy, że -" jest granica niewłaściwa funkcji f w punkcie x0 wtedy i
tylko wtedy, gdy
"M "´ > 0 : "x " D (0 < |x - x0| < ´ =Ò! f(x) < M).
DEFINICJA 63
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w S(x0) sasiedztwie punktu
x0.
Mówimy, że -" jest granica niewłaściwa funkcji f w punkcie x0wtedy i
tylko wtedy, gdy
"{xn}" ‚" S(x0) ( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = -").
n=1
n" n"
GRANICE NIEWA
AÅšCIWE
DEFINICJA 62
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie punktu x0.
Mówimy, że -" jest granica niewłaściwa funkcji f w punkcie x0 wtedy i
tylko wtedy, gdy
"M "´ > 0 : "x " D (0 < |x - x0| < ´ =Ò! f(x) < M).
DEFINICJA 63
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w S(x0) sasiedztwie punktu
x0.
Mówimy, że -" jest granica niewłaściwa funkcji f w punkcie x0wtedy i
tylko wtedy, gdy
"{xn}" ‚" S(x0) ( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = -").
n=1
n" n"
GRANICE NIEWA
AÅšCIWE
DEFINICJA 62
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie punktu x0.
Mówimy, że -" jest granica niewłaściwa funkcji f w punkcie x0 wtedy i
tylko wtedy, gdy
"M "´ > 0 : "x " D (0 < |x - x0| < ´ =Ò! f(x) < M).
DEFINICJA 63
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w S(x0) sasiedztwie punktu
x0.
Mówimy, że -" jest granica niewłaściwa funkcji f w punkcie x0wtedy i
tylko wtedy, gdy
"{xn}" ‚" S(x0) ( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = -").
n=1
n" n"
GRANICE NIEWA
AÅšCIWE
DEFINICJA 62
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie punktu x0.
Mówimy, że -" jest granica niewłaściwa funkcji f w punkcie x0 wtedy i
tylko wtedy, gdy
"M "´ > 0 : "x " D (0 < |x - x0| < ´ =Ò! f(x) < M).
DEFINICJA 63
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w S(x0) sasiedztwie punktu
x0.
Mówimy, że -" jest granica niewłaściwa funkcji f w punkcie x0wtedy i
tylko wtedy, gdy
"{xn}" ‚" S(x0) ( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = -").
n=1
n" n"
GRANICE NIEWA
AÅšCIWE
DEFINICJA 64
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w S-(x0) sasiedztwie
lewostronnym punktu x0.
Mówimy, że " jest granica niewłaściwa lewostronna funkcji f w punkcie
x0 wtedy i tylko wtedy, gdy "{xn}" ‚" S-(x0)
n=1
( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = ").
n" n"
DEFINICJA 65
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w S+(x0) sasiedztwie
prawostronnym punktu x0.
Mówimy, że " jest granica niewłaściwa prawostronna funkcji f w
punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy "{xn}" ‚" S+(x0)
n=1
( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = ").
n" n"
GRANICE NIEWA
AÅšCIWE
DEFINICJA 64
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w S-(x0) sasiedztwie
lewostronnym punktu x0.
Mówimy, że " jest granica niewłaściwa lewostronna funkcji f w punkcie
x0 wtedy i tylko wtedy, gdy "{xn}" ‚" S-(x0)
n=1
( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = ").
n" n"
DEFINICJA 65
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w S+(x0) sasiedztwie
prawostronnym punktu x0.
Mówimy, że " jest granica niewłaściwa prawostronna funkcji f w
punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy "{xn}" ‚" S+(x0)
n=1
( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = ").
n" n"
GRANICE NIEWA
AÅšCIWE
DEFINICJA 64
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w S-(x0) sasiedztwie
lewostronnym punktu x0.
Mówimy, że " jest granica niewłaściwa lewostronna funkcji f w punkcie
x0 wtedy i tylko wtedy, gdy "{xn}" ‚" S-(x0)
n=1
( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = ").
n" n"
DEFINICJA 65
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w S+(x0) sasiedztwie
prawostronnym punktu x0.
Mówimy, że " jest granica niewłaściwa prawostronna funkcji f w
punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy "{xn}" ‚" S+(x0)
n=1
( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = ").
n" n"
GRANICE NIEWA
AÅšCIWE
DEFINICJA 64
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w S-(x0) sasiedztwie
lewostronnym punktu x0.
Mówimy, że " jest granica niewłaściwa lewostronna funkcji f w punkcie
x0 wtedy i tylko wtedy, gdy "{xn}" ‚" S-(x0)
n=1
( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = ").
n" n"
DEFINICJA 65
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w S+(x0) sasiedztwie
prawostronnym punktu x0.
Mówimy, że " jest granica niewłaściwa prawostronna funkcji f w
punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy "{xn}" ‚" S+(x0)
n=1
( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = ").
n" n"
GRANICE NIEWA
AÅšCIWE
DEFINICJA 64
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w S-(x0) sasiedztwie
lewostronnym punktu x0.
Mówimy, że " jest granica niewłaściwa lewostronna funkcji f w punkcie
x0 wtedy i tylko wtedy, gdy "{xn}" ‚" S-(x0)
n=1
( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = ").
n" n"
DEFINICJA 65
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w S+(x0) sasiedztwie
prawostronnym punktu x0.
Mówimy, że " jest granica niewłaściwa prawostronna funkcji f w
punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy "{xn}" ‚" S+(x0)
n=1
( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = ").
n" n"
GRANICE NIEWA
AÅšCIWE
DEFINICJA 64
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w S-(x0) sasiedztwie
lewostronnym punktu x0.
Mówimy, że " jest granica niewłaściwa lewostronna funkcji f w punkcie
x0 wtedy i tylko wtedy, gdy "{xn}" ‚" S-(x0)
n=1
( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = ").
n" n"
DEFINICJA 65
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w S+(x0) sasiedztwie
prawostronnym punktu x0.
Mówimy, że " jest granica niewłaściwa prawostronna funkcji f w
punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy "{xn}" ‚" S+(x0)
n=1
( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = ").
n" n"
GRANICE NIEWA
AÅšCIWE
DEFINICJA 66
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie
prawostronnym punktu x0.
Mówimy, że " jest granica niewłaściwa prawostronna funkcji f w
punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy
"M "´ > 0 : "x " D (x0 < x < x0 + ´ =Ò! f(x) > M).
DEFINICJA 67
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie lewostronnym
punktu x0.
Mówimy, że " jest granica niewłaściwa lewostronna funkcji f w punkcie
x0 wtedy i tylko wtedy, gdy
"M "´ > 0 : "x " D (x0 - ´ < x < x0 =Ò! f(x) > M).
GRANICE NIEWA
AÅšCIWE
DEFINICJA 66
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie
prawostronnym punktu x0.
Mówimy, że " jest granica niewłaściwa prawostronna funkcji f w
punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy
"M "´ > 0 : "x " D (x0 < x < x0 + ´ =Ò! f(x) > M).
DEFINICJA 67
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie lewostronnym
punktu x0.
Mówimy, że " jest granica niewłaściwa lewostronna funkcji f w punkcie
x0 wtedy i tylko wtedy, gdy
"M "´ > 0 : "x " D (x0 - ´ < x < x0 =Ò! f(x) > M).
GRANICE NIEWA
AÅšCIWE
DEFINICJA 66
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie
prawostronnym punktu x0.
Mówimy, że " jest granica niewłaściwa prawostronna funkcji f w
punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy
"M "´ > 0 : "x " D (x0 < x < x0 + ´ =Ò! f(x) > M).
DEFINICJA 67
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie lewostronnym
punktu x0.
Mówimy, że " jest granica niewłaściwa lewostronna funkcji f w punkcie
x0 wtedy i tylko wtedy, gdy
"M "´ > 0 : "x " D (x0 - ´ < x < x0 =Ò! f(x) > M).
GRANICE NIEWA
AÅšCIWE
DEFINICJA 66
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie
prawostronnym punktu x0.
Mówimy, że " jest granica niewłaściwa prawostronna funkcji f w
punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy
"M "´ > 0 : "x " D (x0 < x < x0 + ´ =Ò! f(x) > M).
DEFINICJA 67
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie lewostronnym
punktu x0.
Mówimy, że " jest granica niewłaściwa lewostronna funkcji f w punkcie
x0 wtedy i tylko wtedy, gdy
"M "´ > 0 : "x " D (x0 - ´ < x < x0 =Ò! f(x) > M).
GRANICE NIEWA
AÅšCIWE
DEFINICJA 66
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie
prawostronnym punktu x0.
Mówimy, że " jest granica niewłaściwa prawostronna funkcji f w
punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy
"M "´ > 0 : "x " D (x0 < x < x0 + ´ =Ò! f(x) > M).
DEFINICJA 67
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie lewostronnym
punktu x0.
Mówimy, że " jest granica niewłaściwa lewostronna funkcji f w punkcie
x0 wtedy i tylko wtedy, gdy
"M "´ > 0 : "x " D (x0 - ´ < x < x0 =Ò! f(x) > M).
GRANICE NIEWA
AÅšCIWE
DEFINICJA 66
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie
prawostronnym punktu x0.
Mówimy, że " jest granica niewłaściwa prawostronna funkcji f w
punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy
"M "´ > 0 : "x " D (x0 < x < x0 + ´ =Ò! f(x) > M).
DEFINICJA 67
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie lewostronnym
punktu x0.
Mówimy, że " jest granica niewłaściwa lewostronna funkcji f w punkcie
x0 wtedy i tylko wtedy, gdy
"M "´ > 0 : "x " D (x0 - ´ < x < x0 =Ò! f(x) > M).
GRANICE W NIESKOC
CZONOÅšCI
DEFINICJA 68
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie " ma granicę g " R przy
x zmierzającym do nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy "µ > 0 "M takie, że
"x > M |f(x) - g| < µ.
DEFINICJA 69
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie -" ma granicę g " R
przy x zmierzającym do minus nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy "µ > 0 "M takie, że
"x < M |f(x) - g| < µ.
GRANICE W NIESKOC
CZONOÅšCI
DEFINICJA 68
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie " ma granicę g " R przy
x zmierzającym do nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy "µ > 0 "M takie, że
"x > M |f(x) - g| < µ.
DEFINICJA 69
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie -" ma granicę g " R
przy x zmierzającym do minus nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy "µ > 0 "M takie, że
"x < M |f(x) - g| < µ.
GRANICE W NIESKOC
CZONOÅšCI
DEFINICJA 68
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie " ma granicę g " R przy
x zmierzającym do nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy "µ > 0 "M takie, że
"x > M |f(x) - g| < µ.
DEFINICJA 69
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie -" ma granicę g " R
przy x zmierzającym do minus nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy "µ > 0 "M takie, że
"x < M |f(x) - g| < µ.
GRANICE W NIESKOC
CZONOÅšCI
DEFINICJA 68
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie " ma granicę g " R przy
x zmierzającym do nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy "µ > 0 "M takie, że
"x > M |f(x) - g| < µ.
DEFINICJA 69
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie -" ma granicę g " R
przy x zmierzającym do minus nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy "µ > 0 "M takie, że
"x < M |f(x) - g| < µ.
GRANICE W NIESKOC
CZONOÅšCI
DEFINICJA 68
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie " ma granicę g " R przy
x zmierzającym do nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy "µ > 0 "M takie, że
"x > M |f(x) - g| < µ.
DEFINICJA 69
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie -" ma granicę g " R
przy x zmierzającym do minus nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy "µ > 0 "M takie, że
"x < M |f(x) - g| < µ.
GRANICE W NIESKOC
CZONOÅšCI
DEFINICJA 70
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie " ma granicę " przy x
zmierzającym do nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy "K "M takie, że
"x > M f(x) > K.
DEFINICJA 71
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie -" ma granicę " przy x
zmierzającym do minus nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy "K "M takie, że
"x < M f(x) > K.
GRANICE W NIESKOC
CZONOÅšCI
DEFINICJA 70
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie " ma granicę " przy x
zmierzającym do nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy "K "M takie, że
"x > M f(x) > K.
DEFINICJA 71
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie -" ma granicę " przy x
zmierzającym do minus nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy "K "M takie, że
"x < M f(x) > K.
GRANICE W NIESKOC
CZONOÅšCI
DEFINICJA 70
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie " ma granicę " przy x
zmierzającym do nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy "K "M takie, że
"x > M f(x) > K.
DEFINICJA 71
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie -" ma granicę " przy x
zmierzającym do minus nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy "K "M takie, że
"x < M f(x) > K.
GRANICE W NIESKOC
CZONOÅšCI
DEFINICJA 70
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie " ma granicę " przy x
zmierzającym do nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy "K "M takie, że
"x > M f(x) > K.
DEFINICJA 71
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie -" ma granicę " przy x
zmierzającym do minus nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy "K "M takie, że
"x < M f(x) > K.
GRANICE W NIESKOC
CZONOÅšCI
DEFINICJA 70
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie " ma granicę " przy x
zmierzającym do nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy "K "M takie, że
"x > M f(x) > K.
DEFINICJA 71
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie -" ma granicę " przy x
zmierzającym do minus nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy "K "M takie, że
"x < M f(x) > K.
GRANICE W NIESKOC
CZONOÅšCI
DEFINICJA 72
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie " ma granicę -" przy x
zmierzającym do nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy "K "M takie, że
"x > M f(x) < K.
DEFINICJA 73
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie -" ma granicę -" przy
x zmierzającym do minus nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy "K "M takie, że
"x < M f(x) < K.
GRANICE W NIESKOC
CZONOÅšCI
DEFINICJA 72
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie " ma granicę -" przy x
zmierzającym do nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy "K "M takie, że
"x > M f(x) < K.
DEFINICJA 73
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie -" ma granicę -" przy
x zmierzającym do minus nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy "K "M takie, że
"x < M f(x) < K.
GRANICE W NIESKOC
CZONOÅšCI
DEFINICJA 72
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie " ma granicę -" przy x
zmierzającym do nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy "K "M takie, że
"x > M f(x) < K.
DEFINICJA 73
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie -" ma granicę -" przy
x zmierzającym do minus nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy "K "M takie, że
"x < M f(x) < K.
GRANICE W NIESKOC
CZONOÅšCI
DEFINICJA 72
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie " ma granicę -" przy x
zmierzającym do nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy "K "M takie, że
"x > M f(x) < K.
DEFINICJA 73
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie -" ma granicę -" przy
x zmierzającym do minus nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy "K "M takie, że
"x < M f(x) < K.
GRANICE W NIESKOC
CZONOÅšCI
DEFINICJA 72
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie " ma granicę -" przy x
zmierzającym do nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy "K "M takie, że
"x > M f(x) < K.
DEFINICJA 73
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie -" ma granicę -" przy
x zmierzającym do minus nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy "K "M takie, że
"x < M f(x) < K.
GRANICE JEDNOSTRONNE I GRANICA FUNKCJI
TWIERDZENIE 74
Funkcja f określona w sasiedztwie punktu x0 ma granice w tym punkcie
wtedy i tylko wtedy, gdy istniejÄ… granice lim f(x), lim f(x) oraz
xx- xx+
0 0
lim f(x) = lim f(x).
xx- xx+
0 0
DOWÓD:
Jeżeli granica istnieje to oczywiście istnieją granice jednostronne i są
sobie równe.
Z istnienia i równości granic jednostronnych mamy:
"µ "´1 takie, że "x " (x0 - ´1, x0) |f(x) - g| < µ
"µ "´2 takie, że "x " (x0, x0 + ´2) |f(x) - g| < µ
GRANICE JEDNOSTRONNE I GRANICA FUNKCJI
TWIERDZENIE 74
Funkcja f określona w sasiedztwie punktu x0 ma granice w tym punkcie
wtedy i tylko wtedy, gdy istniejÄ… granice lim f(x), lim f(x) oraz
xx- xx+
0 0
lim f(x) = lim f(x).
xx- xx+
0 0
DOWÓD:
Jeżeli granica istnieje to oczywiście istnieją granice jednostronne i są
sobie równe.
Z istnienia i równości granic jednostronnych mamy:
"µ "´1 takie, że "x " (x0 - ´1, x0) |f(x) - g| < µ
"µ "´2 takie, że "x " (x0, x0 + ´2) |f(x) - g| < µ
GRANICE JEDNOSTRONNE I GRANICA FUNKCJI
TWIERDZENIE 74
Funkcja f określona w sasiedztwie punktu x0 ma granice w tym punkcie
wtedy i tylko wtedy, gdy istniejÄ… granice lim f(x), lim f(x) oraz
xx- xx+
0 0
lim f(x) = lim f(x).
xx- xx+
0 0
DOWÓD:
Jeżeli granica istnieje to oczywiście istnieją granice jednostronne i są
sobie równe.
Z istnienia i równości granic jednostronnych mamy:
"µ "´1 takie, że "x " (x0 - ´1, x0) |f(x) - g| < µ
"µ "´2 takie, że "x " (x0, x0 + ´2) |f(x) - g| < µ
Wówczas dla ´ = min{´1, ´2} mamy "x " Df zachodzi implikacja
0 < |x - x0| < ´ =Ò! |f(x) - g| < µ.
Wówczas dla ´ = min{´1, ´2} mamy "x " Df zachodzi implikacja
0 < |x - x0| < ´ =Ò! |f(x) - g| < µ.
TWIERDZENIA O GRANICACH
TWIERDZENIE 75
Jeżeli funkcje f, g określone w sasiedztwie punktu x0 maja w tym
punkcie granice właściwe to istnieja granice
lim [f(x) Ä… g(x)],
xx0
lim [f(x) · g(x)]
xx0
i
lim [f(x) Ä… g(x)] = lim f(x) Ä… lim g(x)],
xx0 xx0 xx0
lim [f(x) · g(x)] = lim f(x) · lim g(x).
xx0 xx0 xx0
Jeżeli ponadto g(x) = 0 w sasiedztwie x0 i lim g(x) = 0 to istnieje

xx0
granica
lim f(x)
f(x) f(x)
xx0
lim , i lim = .
xx0 xx0
g(x) g(x) lim g(x)
xx0
TWIERDZENIA O GRANICACH
TWIERDZENIE 76
Jeżeli funkcje f, g określone w sasiedztwie punktu x0 maja w tym
punkcie granice właściwe oraz w tym sasiedztwie f(x) d" g(x) to
lim f(x) d" lim g(x)
xx0 xx0
TWIERDZENIE 77
Niech funkcje f, g, h beda określone w sasiedztwie punktu x0 i funkcje
f, h maja w tym punkcie granice właściwa równa a oraz w tym
sasiedztwie f(x) d" g(x) d" h(x) to funkcje g ma w tym punkcie granice
właściwa równa a.
TWIERDZENIA O GRANICACH
TWIERDZENIE 76
Jeżeli funkcje f, g określone w sasiedztwie punktu x0 maja w tym
punkcie granice właściwe oraz w tym sasiedztwie f(x) d" g(x) to
lim f(x) d" lim g(x)
xx0 xx0
TWIERDZENIE 77
Niech funkcje f, g, h beda określone w sasiedztwie punktu x0 i funkcje
f, h maja w tym punkcie granice właściwa równa a oraz w tym
sasiedztwie f(x) d" g(x) d" h(x) to funkcje g ma w tym punkcie granice
właściwa równa a.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI
DEFINICJA 78
Niech funkcja f bedzie określone w O(x0) otoczeniu punktu x0
( odpowiednio w O-(x0) otoczeniu lewostronnym punktu x0, w O+(x0)
otoczeniu prawostronnym punktu x0,)
Mówimy, że funkcja f jest ciagła ( odpowiednio ciagła lewostronnie,
ciagła prawostronnie) jeżeli
lim f(x) = f(x0)
x-x0
( odpowiednio lim f(x) = f(x0), lim f(x) = f(x0) ).
x-x- x-x+
0 0
DEFINICJA 79
Funkcje określona w danym przedziale nazywamy ciagła w tym przedziale
wtw, gdy jest ciagła w każdym punkcie tego przedziału.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI
DEFINICJA 78
Niech funkcja f bedzie określone w O(x0) otoczeniu punktu x0
( odpowiednio w O-(x0) otoczeniu lewostronnym punktu x0, w O+(x0)
otoczeniu prawostronnym punktu x0,)
Mówimy, że funkcja f jest ciagła ( odpowiednio ciagła lewostronnie,
ciagła prawostronnie) jeżeli
lim f(x) = f(x0)
x-x0
( odpowiednio lim f(x) = f(x0), lim f(x) = f(x0) ).
x-x- x-x+
0 0
DEFINICJA 79
Funkcje określona w danym przedziale nazywamy ciagła w tym przedziale
wtw, gdy jest ciagła w każdym punkcie tego przedziału.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI
DEFINICJA 78
Niech funkcja f bedzie określone w O(x0) otoczeniu punktu x0
( odpowiednio w O-(x0) otoczeniu lewostronnym punktu x0, w O+(x0)
otoczeniu prawostronnym punktu x0,)
Mówimy, że funkcja f jest ciagła ( odpowiednio ciagła lewostronnie,
ciagła prawostronnie) jeżeli
lim f(x) = f(x0)
x-x0
( odpowiednio lim f(x) = f(x0), lim f(x) = f(x0) ).
x-x- x-x+
0 0
DEFINICJA 79
Funkcje określona w danym przedziale nazywamy ciagła w tym przedziale
wtw, gdy jest ciagła w każdym punkcie tego przedziału.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI
DEFINICJA 80
Niech funkcja f bedzie określone w O(x0) otoczeniu punktu x0. Mówimy,
że funkcja f ma w punkcie x0 nieciagłość pierwszego rodzaju jeżeli
istnieja właściwe granice jednostronne i
lim f(x) = f(x0) lub lim f(x) = f(x0).

x-x- x-x+
0 0
Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x0 nieciagłość drugiego rodzaju
jeżeli któraś z granic jednostronnych nie istnieje lub jest niewłaściwa.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI
DEFINICJA 80
Niech funkcja f bedzie określone w O(x0) otoczeniu punktu x0. Mówimy,
że funkcja f ma w punkcie x0 nieciagłość pierwszego rodzaju jeżeli
istnieja właściwe granice jednostronne i
lim f(x) = f(x0) lub lim f(x) = f(x0).

x-x- x-x+
0 0
Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x0 nieciagłość drugiego rodzaju
jeżeli któraś z granic jednostronnych nie istnieje lub jest niewłaściwa.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
2010 11 07 WIL Wyklad 07
2010 11 04 WIL Wyklad 04id 174
2010 11 08 WIL Wyklad 08id 175
2010 11 05 WIL Wyklad 05
2010 11 WIL Wyklad 01
2010 11 WIL Wyklad 04
2010 11 WIL Wyklad 08
Eucharystia Orędzie z dnia 27 12 2009, 11 06 2010
2010 11 WIL Wyklad 02
Wykład 11 06
11 06
11 06 2 MIĘDZY TEORIĄ A PRAKTYKĄ

więcej podobnych podstron