Gewert

Analiza matematyczna 2.3A

Egzamin poprawkowy, czerwiec 2012

Na pierwmtej stronie pracy należy napisać: • swoje imię i nazwisko • numer indeksu • dat* ora* sponądrić poniża** tabelkę

1	2	3	4	5	6	Suma

Rozwiązanie zadania o numerze n należy napisać na n-tąj stronie pracy. Ponadto proszę ponumerować i podpiaać^ wszy^^i kartki pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 90 minut. Za rozwiązanie każdego zadania można otrzymać od 0 do u pi

ZADANIA

1. Wprowadzając współrzędne sferyczne obliczyć całkę z funkcji /(x, y,z) = X²+y po obszarze V ograniczonym powierzchnią t² + y² + z² = 4, płaszczyznami x = 0, y = 0, z = 0 i zawiorającym pimkt (1,-1, —1). Naszkicować obszar całkowania.

2. Wyznaczyć taki punkt (xo, yo, zq), aby płaszczyzna styczna do powierzchni

z = yk(l + i + j/²)

w tym punkcie była równoległa do płaszczyzny z - y ln 2 = 0.

3. Funkcję /(x) = * oraz jej całkę [ -—rozwinąć w szeregi Maclaurina i podać

2 — 3x^z J i — ot

promienie ich zbieżności.

2 i^a-2*+2

4. Zmienić kolejność całkowania w całce J dx J /(x, y) dy. Naszkicować obszar całkowa-

0 I-y/Łt-I¹

5. Wyznaczyć szereg Fouriera funkcji

tr=/(x)

—ir

w I

“ f~3)ⁿ⁺¹ TT

i na przedziale [-tt, tt] narysować wykres jego sumy. Ponadto korzystając z otrzymanego

²ⁿ~ ¹ 4'

rozwinięcia dla odpowiednio dobranego x e [-7r, n] pokazać, że £

6. Zbadać istnienie ekstremów lokalnych funkcji /(x,y) = 3x²y - 6xy + y³ w punktach P_x = (0,0), P₂ = (1,1), P3 = (1, 2) i określić ich rodzaj.

Mana-n Geutert