Untitled 18

Uwaga. Niech c będzie dowolną liczbą dodatnią; przyjmijmy x„ = cy„ i zastąpmy poprzedni związek rekurencyjny związkiem następującym:

1 =>„(2—cy„).

Biorąc wartość początkową >’₀ z przedziału (0, 1/c) otrzymujemy, że y_n rośnie monotonicznie i dąży do l./c. Za pomocą tego schematu liczymy na maszynach matematycznych odwrotność liczby c.

4) Niech dane będą dwie liczby dodatnie a i b (a> b). Utwórzmy średnią arytmetyczną i średnią geometryczną tych liczb:

c -i- b    /—

a₁=——,    bi=yj ab.

Wiadomo, że pierwsza średnia jest większa niż druga(⁵); jednocześnie obie są zawarte pomiędzy wyjściowymi liczbami:

Q> Cl j > &i > b.

Dla liczb t?_s i b_x znowu tworzymy obie średnie:

Ol+*l

przy czym

Cii (■‘•2 bz bi

itd. Jeżeli liczby a„ i b_n są juz określone, to a„ _{+ I} i b_n + 1 określamy ze wzorów

Ufl Ł» fi    /

G,- +1 = —-—, b_n +1 = a„ b_n

a_K> Cln + 1 ^ bn + 1 ^ bn •

Ta metodą utworzyliśmy dwa ciągi {a_n} i {b„}, z których pierwszy jest malejący, a drugi rosnący.

Jednocześnie

a> a„> b_a> b,

czyli obydwa te ciągi są ograniczone, a więc obydwa mają granice skończone

a = lim a„    i ^==limó„.

Jeżeli w równości

a„-T-b_n

przejdziemy do granicy, to otrzymamy

Tak więc, obydwa ciągi — i średnich arytmetycznych a„, i średnich geometrycznych b_n — dążą do wspólnej granicy ą-n(a, b). Idąc za C. F. Gaussem nazywamy ją średnią arytmetyczno-geometrycz-ną wyjściowych liczb a i b. Nie możemy teraz wyrazić liczby ą{a, b) przez a i b — do tego celu potrzebna jest tzw. całka eliptyczna (por. tom drugi).

(') Wynika to od razu z nierówności

^(ai-b)—yjab=j(a—2y]ab + b) = '-(_v^/a — y/by>0    (dla a^b).

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
61 § 3. Ciąg monofoniczny Uwaga. Niech c będzie dowolną liczbą dodatnią; przyjmijmy x, = cy, i zastą
61 § 3. Ciąg monofoniczny Uwaga. Niech c będzie dowolną liczbą dodatnią; przyjmijmy x, = cy„ i zastą
Untitled 20 35] § 3. Ciąg monotoniczny63 Z tego równania kwadratowego znajdujemy (3)   &nb
Wykład 102.10.2007 Niech d będzie dowolną liczbą naturalną.Rd={(*1, ■ • •, xd); xi e R A i e 1, d}.
Wykład 209.10.2007 Niech d będzie dowolną liczbą naturalną. Twierdzenie 2.1 Rd nie jest ciągowo zwar
Untitled 22 36J § 3. Ciąg monotoniczny 65 (6) x„ = [ 1+—^ =l+n 1 n(n-1)    1 n(n —
Untitled 24 37J § 3. Ciąg monotoniczny 67 Ciąg {>>„} jest .znacznie dogodniejszy dla przybliżo
Untitled 26 37 J § 3. Ciąg monotoniczny 69 Mnożąc obie strony tej równości przez n i skracając miano
Untitled 16 34] § 3. Ciąg monotoniczny 59 Dowód. Ograniczmy się do przypadku rosnącego (być może w s
P051111 28 Definicja (minor macierzy) Niech A będzie dowolną macierzą wymiaru mxn oraz niech l<A
45126 img464 (3) Niech P będzie dowolnym punktem hiperboli. Możemy więc przyjąć, że( 1 1 x0i — , x0
zdjecie0018 § 3. cuc hisscotczobt Niech X będzie dowolnym zbiorem, definicja I.H. Funkcję f określon

więcej podobnych podstron