28

2. Liczby zespolone;

_ ( _ *)) ) = \/2 (cos -f j sin Ifi). = 2⁶ ( cos 7rr + j sin ^^7r) ⁼

= ^(^cos(f - (- f)) +>⁸ⁱⁿ

Stąd i z wniosku 2.3.i mamy

«-(^5(cosg+>sing))

Wzór Newtona:

(* + *)" = E U K~^v

fc=0

Przykład 26. Liczbę z = sin a - J cos a zapisać w postaci trygonometrycznej.

Liczbę z chcemy zapisać w postaci \z\(cos0 + jsm/3) = kl (r+Jr) Można to zrobić na dwa sposoby. Ponieważ |z| = 1 i cos/? = jfy = ^{sma = cos}(^Q ~ ^l²) oraz sin/? =    = - cosa = sin(a - rr/2), więc

z = cos(a - 7r/2) + j sin(a - tt/2).

Równoważnie, z = -j(cosa + jsina) i ponieważ -j = cos(-tt/2) + ; sin(-7r/2), więc także jest

2    =    (cos(-7t/2) + jsin(-7r/2))(cosa + j sina)

= cos (a - 7T/2) + j sin(a - 7t/2).

Przykład 27. Korzystając ze wzorów de Moivre'a i Newtona, wyrazić cos3x i sin3x za pomocą cosx i sinx.

Ze wzoru de Moivre’a mamy (cosx+j sinx)³ = cos 3x + j sin 3x. Jednocześnie ze wzoru Newtona

(cosx + j sin x)³    = cos³ x -f 3j cos² x sin x — 3 cos x sin² x - j sin³x

= (cos³ x — 3 cosx sin² x) -f j(3cos²xsinx - sin³x).

Stąd i z warunku równości liczb zespolonych otrzymujemy

cos 3x = cos³ x - 3 cos x sin² x

oraz

sin 3x = 3 cos² x sin x — sin³ x.

Jeśli uwzględni się, ze sin²x + cos²x = 1, to prawe strony ostatnich tożsamości można wyrazie za pomocą potęg tylko cosx lub tylko sinx,

cos3x = 4cos³x — 3cosx i sin3x = 3sinx - 4sin³x.

jest równoważna nierówności

Rys. 2.12

Przykład 28. Wyznaczyć zbiór liczb zespolonych 2 spełniających nierówności

\ < Arg ((—1 + j)z³) < 7r.

Ponieważ Arg (( — 1 + j)z ) = Arg(—l+j)+3Arg(z)+2fc7r dla pewnej liczby całkowitej ^ > Arg( —1 + j) = _wię_C nierówność

\ & Arg((-1 + j)z³) ^ 7r

₂ ^ Arg (—1 +j) + 3Arg(z) + 2kn n dla pewnego k £ Z. Stąd

ⁿ    2k7T .    TT    rs,

12    ~3~ ^ ^Arg(²) ^ ^2    ~

1 Z    ó

dla pewnego k £ Z Jednocześnie —rr < Arg (z) $ n, więc k — 0, k — \

' -fi $ Arg(z) $    ^ Arg (z) $ -Z| l_ub £ <: Arg(z) ^ S

składa się z trzech części przedstawionych na rys. 2.12.

1 lub k = -1 Szukany zbiór