SA400238

AGI! - WYDZIAŁ IMiR ROK I E i IF

II EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI KRAKÓW 2 MARZEC 2007

l I a) Podaj definicję i ilustrację geometryczną niewłaściwej granicy prawostronnej

b) Zbadaj lewo-i prawostronną ciągłość w punkcie xo-0 funkcji danej wzorem:

-—dlax < 0

■l+e*

/(*) =

\dlax = 0

sin x

dlax > 0

2. a) Podaj i naszkicuj interpretację geometryczną pochodnej /'(x₀).

Napisz równanie stycznej do wykresu funkcji y = cos¹ x w punkcie

b) Oblicz pochodną funkcji: y = (cos xY”²* + arclg—==.

VI'— x²

3 . a) Podaj definicję i interpretację geometryczną różniczki I-go rzędu dla funkcji y - f(x).

b) Wykorzystując różniczkę odpowiedniej funkcji oblicz przybliżoną wartość

wyrażenia: -7==-

łjl,997

4 . a) Co to znaczy, że prosta x = c jest asymptotą pionową funkcji y =f(x) ? V

x² +2

b) Wyznacz wszystkie asymptoty funkcji /(*) =-5-.

l-x

5 .a) Podaj i zinterpretuj na wykresie twierdzenie Lagrange’a.

b) Wyznacz przedziały monotoniczności, ekstrema i przedziały wypukłości funkcji /(*)= ln(9-x²).

6 . a) Opisz kiedy i jakie stosujemy typowe podstawienia, aby całkę funkcji

trygonometrycznej sprowadzić do całki funkcji wymiernej. r sin¹ xdx

b) Oblicz całkę : I-j—.

I 1 + cos X

7 . a) Podaj i udowodnij 11 — gie główne twierdzenie rachunku całkowego. ,b) Oblicz pole obszaru ograniczonego liniami : y = bel i y + x² = 2 .