skan0341
D2. Zastosowanie transformacji Laplace’a do rozwiązania równania dyfuzji jednowymiarowej
(II prawo Ficka)
Zgodnie z II prawem Ficka szybkość zmiany stężenia jest proporcjonalna do drugiej pochodnej zależności stężenia od odległości. Ograniczając się do procesu jednowymiarowego możemy je zapisać jako
dgfo t) _ n d2c{x, t)
dt dx2 ’ ( '
gdzie D jest współczynnikiem dyfuzji [m2 • s-1]. Rozwiązanie tego równania różniczkowego cząstkowego II rzędu wymaga nałożenia na stężenie warunku początkowego (dla t = 0) oraz dwóch warunków brzegowych dla zmiennej x.
Wygodną metodą rozwiązywania takich równań jest metoda transformacji Laplace’a, która funkcji f{t), zwanej oryginałem, przyporządkowuje funkcję F(s), zwaną obrazem, zgodnie z wyrażeniem
F(s) = J f{t) Qxp(-st)dt = {/(/)},
o
gdzie rd jest operatorem Laplace’a, s zaś - parametrem. Przekształcenie Łapiące^ polega na całkowaniu względem zmiennej t w przedziale od 0 do toteż w' odniesieniu do równań różniczkowych cząstkowych zmienną x przyjmujemy za ustaloną.
Weźmy jako przykład proces rozpuszczania, zachodzący w dużym zbiorniku, którego dno pokryto warstwy soli i napełniono, bardzo delikatnie, czystą wodą. Wyrażenie na zależność stężenia rozpuszczonej soli od czasu t i odległości jc od dna zbiornika musi spełniać rówmanie (1), a ponadto warunek początkowy
c(x, 0) = 0, (2)
a także dwa warunki brzegowe - pierwszy, wynikający z faktu, że tuż przy dnie roztwór jest nasycony, o stężeniu cs
c{0, t) = cs
i drugi, związany ze skończoną ilością soli w zbiorniku, toteż
lim c(x, t) = 0.
.V—>oo
Do obu stron równania (1) stosujemy transformację Laplace!a
dc (x, t) dt
= Dse
d2c(x, t) dx2
(3)
(4)
(5)
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
własności. Zastosowanie przekształcenia Laplace a do rozwiązywania równań różniczkowych.
22884 skan0343 346 Zastosowanie transformacji Laplace’a C, = C(0,5) = Sf{c(0,0} =SE{cs} = A ponieważ
2012 04 26 26 57 Zad.4a. Opisz (szczegółowo) poznany sposób zastosowania liczb zespolonych do rozwi
Ćw2 Zastosowanie zasad Newtona do rozwiązywania równań ruchu; wyznaczanie zależności od czasu wartoś
skan0342 Zastosowanie transformacji Laplace’a 345 Lewą stronę równania (5) stanowi całka, którą obli
skan0344 Zastosowanie transformacji Laplace’a 347 gdzie Rys. D2.1. Rozpuszczanie soli w zbiorniku w
skan0347 350 Zastosowanie transformacji Lap!ace’a Działając operatorem Laplace’a na równanie (17) i
więcej podobnych podstron