DSC07301

• Przykład 1.12

Korzystając ze wzoru de Moivrc'a wyrazić:

a)    cos .Ir przez funkcję cosi;

b)    sin 6x przez funkcje sin x i cosx; c“) ctg4x przez funkcję ctgx.

Rozwiązanie

a) Obliczymy wartość wyrażenia (cos x + i sin x)³ wykorzystując dwa wzory: wzór de Moine’a oraz wzór dwumianowy Newtona. Stosując wzór de Moivre’a otrzymamy rów-Dok

(cosx + i sin z)³ = cos3x + i sin 3z.

Z kolei ze wzoru dwumianowego Newtona wynika równość

(cosx -f :sinx)^J = (cosx)^J + j (cosx)²(isinx) *f j|jp (cosx)(zsin z)² |- (tainx)^J

= cos³ z + 3icos² z sin z - 3 cos x sin³ z - i sin³ x = (cos³z - 3co>xsm^az) + i (3cos²xsinx — sin³ x) .

Porównując części rzeczywiste prawych stron obu równości otrzymamy

cos3x = cos² x - 3 cos x sin² x = cos x (cos²z — 3 sin² z)

= cos z (cos² x - 3 + 3 cos² z) = cos x (*l cos² x — 3) .

b) Obbczymy warttńe wyrażenia (cos z + i sin z)⁶ wykorzystując dwa wzory: wzór de Monrre*a oraz wiór dwumianowy Newtona. Stosując wzór de Moivre*a otrzymamy równość

(cos z -fr ismz) = cosGz + i sin 6z.

Z kdei ze wzoru dwumianowego Newtona wynika równość

(cosz + iónr)⁴ = (cos z)" +

x(i«nx)^J +

(cosx)^a(ismx)⁴ +

= cos⁴ z -f (W cos" x sin z - 15 cos⁴ sin² z — 20i cos² z sin³ x +15co*²zsn)⁴x + 6ścoszsm^ftz - sin⁶ z = (cos⁴* - l5cos⁴zsm³x+ 15cos²zsin⁴z — sin⁴x)

44 (6 cos* z sin z-20 cos³ x sin³ z + 6coszałn*z).

Porównując części urojone prawych '.tron obu równości otrzymamy

mntrt ■ im\T - 20 cos³ z sin* z + 6cos z sin⁵ z.

c*) Podobnie jak pĄmMnirj wyrazimy r.in 4x i cos4z przez arnz i cos z. Ze wzoru dwu-niasewąp Newtona mamy

» **m*/ • {m⁴ x - óc/*³ zstn² z + sir*⁴ z) I i (d cos³ sin z - 4 coszsln³ x) .

Przykłady

Z kolei ze wzoru de Moivre’a mamy (cosx + isinx)⁴ = cos4x + isin4x. Zatem cos4x = cos¹ x — 6 cos²xsin³x + sin⁴x oraz sin4x = 4cos³xsinx — 4cosxsm³x. Stąd dla x ^ gdzie k € Z, mamy

• Przykład 1.13

Narysować zbiory liczb zespolonych spełniających podane warunki: a) Re (z²) >0; b) Im (z⁶) < 0.

Rozwiązanie

W rozwiązaniu wykorzystamy postać trygonometryczną liczby zespolonej oraz wzór de Moivre*a.

a) Dla z = r (cos <p 4* i sin v>), gdzie r ^ 0 oraz 0 $ <p < 2» mamy

Re (z²) ^0 <=> Re {[r(cosv? + śsin^)]²} ^ 0 <=> Rc [r² (cos 2<^ -fisin 2</?)] ^ 0 <=> r² cos 2v? ^ 0

b) Dla z = r (cos p -ł- isin y>), gdzie r ^ 0 oraz 0 <    < 2ir. mamy

Im (*^fl) < 0 <=> Im {[r (catip + iain•?))*} < 0

Im [r⁶(cos0^-f tsinfly>)] < 0<=>r®ain6^ < 0 r > 0 i win Gy? < 0

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
PB032283 147H Mi---------i- PRZYKŁAD 2.89 B Korzystając ze wzoru Newtona, oblicz 12S. rozwiązanie 17
obraz
4 m 216. Korzystając ze wzoru Greena obliczyć całkę J    1 — cos y) dx — ex(y —
IMG158 158 Korzystając ze wzoru (13*9), nożecy zapisać (13.12) (13.13) P1 - U . I coa (<p- 30°) P
Oblicz, korzystając ze wzoru. 14 + 3 12 + 6 = 16 + 3 = 18 + 2 = = 17 1; i i II II 17-14=
226 (18) Mo?na porównać wyniki obliczeń za pomocą współczynników rozrzutu, korzystając ze wzoru (12.
Do obliczenia momentu skrawania korzystamy ze wzoru (9). Parametr dsr przyjmujemy połowę średnicy wi
img090 90 7.3.    Korzystając ze wzoru Taylora z resztę Peono, wyprowadzić wzory 
img106 zony jeszcze raz zróżniczkować względem zmiennej x< (Ui.4n). Wówczas, korzystając ze wzoru

więcej podobnych podstron