img020 (49)
24
ków o wektor kolumnowy b wyrazów wolnych. Realizacja ciągu przekształceń elementarnych algorytmu eliminacji Gaussa prowadzi do przekształcenia macierzy Ar w macierz [/:x ], gdzie / jest macierzą jednostkową o wymiarze n x n. Należy przy tym odnotować, że przekształcenie Ar—> [/:.v*] wynikające z realizacji ciągu przekształceń elementarnych algorytmu Gaussa jest odwracalne, gdyż każde z przekształceń elementarnych jest odwracalne. Realizując zatem ciąg odwrotny przekształceń, otrzymuje się w wyniku przekształcenie [F:x ]—>• Ar. Nietrudno teraz zauważyć, że wykonując ciąg operacji elementarnych algorytmu Gaussa na macierzy rozszerzonej [A:/], gdzie / jest n x w-wymiarową macierzą jednostkową otrzymuje się w rezultacie macierz [2, 6]. A zatem, jeżeli zostanie wyko
nany na macierzy jednostkowej / o wymiarze n x n ciąg elementarnych operacji algorytmu eliminacji Gaussa przekształcających macierz A w macierz jednostkową /, to w wyniku macierz /zostanie przekształcona w macierz^-1. Algorytm eliminacji Gaussa można zatem wykorzystać do wyznaczenia macierzy odwrotnej do danej nieosobliwej macierzy A. Liczba wymaganych przez algorytm dla wyznaczenia macierzy Adziałań mnożenia i dzielenia wynosi rł [6], a więc trzykrotnie więcej niż wymaga otrzymanie rozwiązania układu równań A-x = b. W praktyce nie wyznacza się zatem macierzy A~l i nie korzysta ze wzoru
x*=A~l-b (2.32)
w celu wyznaczenia rozwiązania układu równań. Wyznaczenie macierzy ATX i wykorzystanie wzoru (2.32) jest jednak uzasadnione, gdy dany układ równań jest rozwiązywany wielokrotnie przy nie zmienionej macierzy A i dla wielu różnych wartości wektora wyrazów wolnych b.
Wyznaczenie rzędu macierzy. Rozszerzenie zastosowania algorytmu eliminacji Gaussa
Działania elementarne na wierszach macierzy realizowane w etapie eliminacji w przód algorytmu eliminacji Gaussa można zastosować dla wyznaczenia rzędu dowolnej macierzy prostokątnej A. W tym celu wykonuje się przekształcenie macierzy A do postaci macierzy wierszowej schodkowej (lub równoważnie, kolumnowej schodkowej), realizując ciąg działań elementarnych na wierszach (na kolumnach) macierzy A w sposób taki, jak to opisano dla pierwszego etapu algorytmu eliminacji Gaussa.
Określenie macierzy o postaci wierszowej schodkowej (lub kolumnowej schodkowej) jest bezpośrednim rozszerzeniem określenia macierzy trójkątnej, górnej lub dolnej, ze względu na jedną z wybranych do rozważań przekątnych [6],
Rząd r macierzy prostokątnej A o wymiarze m x n (dowodzi się, że 0 < r < min {m, n}, [2, 6]) otrzymuje się w wyniku działań algorytmu jako liczbę niezerowych wierszy (lub w sformułowaniu kolumnowym, kolumn) otrzymanej macierzy prostokątnej przekształconej do postaci macierzy schodkowej. Zastosowanie ciągu działań elementarnych opisanych dla etapu eliminacji w przód algorytmu Gaussa w celu wyznaczenia rzędu macierzy jest przedstawione szczegółowo w [6],
Na podstawie algorytmu sprowadzania macierzy prostokątnej dowolnego rzędu do postaci macierzy wierszowej schodkowej otrzymuje się następnie bezpośrednie rozszerzenie algorytmu metody eliminacji Gaussa pozwalające na wyznaczenie rozwiązań danego
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
DSC77 Kryterium wyjścia Obliczamy ilorazy kolejnych wyrazów wolnych przez odpowiadające im elementy
Eliminacja Gaussa function x=gauss(A,b) %funkcja pobiera macierz A i wektor wyrazów wolnych b, a zwr
088 089 2 88 Programowanie liniowe Rysunek 1.23 Rysunek 1.241.8.2. Wektor wyrazów wolnych zależny od
DSC61 3. Wektor współczynników przy funkcji celu w jednym zadaniu staje się wektorem wyrazów w
Metoda Choleskiego Banachiewicza function x=ChB(A,b) %funkcja pobiera macierz A i wektor wyrazów wol
Metoda Gaussa Jordana function x=gaussjordan(A,b) %funJccja pobiera macierz A i wektor wyrazów wolny
S5001611 Wektor wyrazów wolnych: Wektor
Macierz CRPSS; Xo-wektor wyrazów wolnych
Podstawianie Wstecz function x=3ackS(A,b) %funkcja pobiera macierz A i wektor wyrazów wolnych b, a z
22 (420) 2. Metoda oznaczona Na podstawie macierzy współczynników A oraz wektora wyrazów wolnych L t
ALG204 53 Wektor wyrazów wolnych L -Hm -h? " 0,000
_1_1_1_1_1_1_1 9 Razem brutto za 24 miesiące (suma kolumny F poz.
więcej podobnych podstron