img028
CAŁKOWANIE FUNKCJI WYMIERNYCH
Całkowanie ułamków prostych
Ze wzorów 15 i 16 zapisanych w tablicy 3 otrzymujemy natychmiast wzory na całkę z ułamka prostego I. rodzaju:
(3.4)
Adx (ax + b)"
—ln|a* + fc| + C, a
. ~.A___\_+C
a(n-l) (ax+b)"~'
(A, a, b e R, a * 0, n e N).
gdy n = 1 gdy n > 1
Całkowanie ułamków prostych II. rodzaju jest znacznie trudniejsze. Zauważmy, że jeśli A, B, a, b, c, € R oraz A = b2 - Aac < 0, to
(3.5)
Ax + B , A r 2ax+b , f„ Ab^r dx
—.-dx-— — -dx+\ B--I —--
ax +bx+c 2aJ ax +bx+c V 2a JJ ax +bx + c
Wobec tego, stosując wzory 23 (tablica 4) i 17 (tablica 3) otrzymujemy natychmiast wzór na całkę z ułamka prostego II. rodzaju w przypadku n — 1:
(3.6)
Ax+B
-dx =—lnjax2 + i«:+c| + ax* + bx+c 2 a 1
-aretg-
+c
(A, B,a,b,c e R, A = b2 - 4ac < 0).
W przypadku, gdy n > 1, całkowanie ułamków prostych II. rodzaju jest jeszcze bardziej „rachunkochłonnc”, chociaż sama receptura nie jest zbyt skomplikowana. Aby ją sformułować zauważmy najpierw, że jeśli n e N, to
dt
i+r2
/=-
(Ut
g'=l
2\"
/'=
2 nt
-dt =
t n t i+r-i t
- + 2 n I-rrrdt —-— + 2 Tl
MU
|
f dt |
f dt |
|
^ (l + r2)" |
>'2n |
= —t—+'ln\K~K.x\
(i«T
Z ostatniej równości wyznaczamy / , i otrzymujemy bardzo użyteczny wzór rekurencyjny:
(3.7)
(n e A).
28
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
MATEMATYKA112 214 IV, Całka nieoznaczona 3. CAŁKOWANIE FUNKCJI WYMIERNYCH Całkowanie ułamków prostyc
IMGt44 ISO 111. Wstępne wiadomości z rachunku różniczkowego i całkowego Uogólnieniem drugiego ze wzo
chądzyński 4 162 9. APROKSYMACJA FUNKCJAMI WYMIERNYMI Na koniec pokażemy, że zachodzi (**). Ze zbież
chądzyński 5 164 9. APROKSYMACJA FUNKCJAMI WYMIERNYMI Rozwiązanie. Z zadania 1 wynika, że iloczyn n^
27 § 2. Całkowanie funkcji wymiernych Należy podkreślić, że wszystkie te całki istnieją realnie O, s
35 § 2. Całkowanie funkcji wymiernych Wykażemy teraz, że pierwszy ułamek można zawsze sprowadzić do
więcej podobnych podstron