img080 (18)
85
Dowodzi się [7], że warunek (4.61) jest spełniony na przykład, gdy macierz A jest symetryczna i dodatnio określona.
Z twierdzenia 4.1 otrzymuje się natomiast, że ciąg iteracji w metodzie Gaussa-Seidla jest zbieżny, jeżeli dowolna nonna macierzy (L + D)] • U, zgodna z zadaną normą w R", ma wartość mniejszą od jedności. Dowodzi się między innymi [8], że jeżeli dla macierzy A współczynników danego układu równań spełniony jest jeden z warunków (4.46) lub (4.47), to ciąg kolejnych przybliżeń w metodzie Gaussa-Seidla jest zbieżny do rozwiązania danego równania, choć niekoniecznie szybciej niż w metodzie Jacobiego.
Oszacowanie dokładności przybliżonego wyznaczenia wektora rozwiązania jc po k iteracjach otrzymuje się ze wzoru
■*(*)-* H-
(4.62)
(patrz p. 3.2.1, wzór (3.69) w tekście twierdzenia Banacha), gdzie norma macierzy jest normą indukowaną przez ustaloną normę w przestrzeni R". Normę macierzową ||-||2 można zastąpić we wzorze normą ||-||E . Wzór (4.62) jest słuszny przy spełnieniu warunku dostatecznego zbieżności ze względu na wykorzystywane w nim normy. Warunki na zakończenie obliczeń mają taką samą postać, jak dla metody Jacobiego, to znaczy wymagają spełnienia nierówności (4.49) i/lub (4.50).
Metoda Jacobiego i metoda Gaussa-Seidla są przykładami metod przybliżonych rozwiązywania układów równań liniowych. Szereg dalszych uwag ogólnych dotyczących zastosowania metody iteracji prostej do przybliżonego wyznaczania rozwiązań równań liniowych można znaleźć w [7, 8, 19]. Tam też znaleźć można więcej rozważań dotyczących warunków na zbieżność i szybkości zbieżności ciągów kolejnych przybliżeń, jak również dotyczących błędów zaokrągleń.
Drugą obszerną grupę metod przybliżonego rozwiązywania układów równań liniowych stanowią algorytmy gradientowe [19].
W rozdziale 2 zostały przedstawione dwie podstawowe metody dokładne rozwiązywania układów równań liniowych, oparte na algorytmach skończonych: metoda eliminacji Gaussa i metoda dekompozycji LU. Realizacja algorytmu każdej z tych metod wymaga dla otrzymania rozwiązania układu n równań liniowych z n niewiadomymi w przybliżeniu n2 miejsc w pamięci komputera i wykonania około «3/3 działań mnożenia i dzielenia, gdzie nie uwzględniono oszczędności wynikających z ewentualnej rzadkości macierzy współczynników układu. Z drugiej strony, dla rozwiązania tego samego układu równań z zastosowaniem jednego z algorytmów wykorzystujących metodę iteracji prostej, należy w każdym kroku iteracji wykonać n2 działań mnożenia. Wynika stąd, że omawiane w tym rozdziale algorytmy iteracyjne są porównywalne pod względem nakładu obliczeniowego z algorytmami dokładnymi w przypadku liczby niezbędnych iteracji nie większej niż n. Liczba działań mnożenia jest wówczas nie większa niż n ■ n~- r?. Jednak już najprostsze przykłady pokazują [8], że liczba iteracji potrzebnych do uzyskania zadowalającej dokładności jest na ogół, w przypadku omawianych algorytmów, bardzo duża, to znaczy znacznie większa od
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
s085 (2) Drukowanie plików 85 4. I Jpewnij się, że port szeregowy jest obsługiwany przez system - na
img296 Dowodzi się, że zmienne kanoniczne są niezmiennicze ze względu na liniowe przekształcenia zmi
img296 Dowodzi się, że zmienne kanoniczne są niezmiennicze ze względu na liniowe przekształcenia zmi
viewer16 reprezentują przynajmniej 62% łącznej liczby ludności Unii. Jeżeli okaże się, że warunek te
297 (14) 594 23. Obwody niestacjonarne Dowodzi się, że jeżeli elemety macierzy kwadratowej A(t) są f
zdjecie0032 34 Ciąg ten jest uogólnieniem ciągu rozważanego w punkcie 5 i dowodzi się. Ze ofn lin (1
Efekty sieciowe produkcji usług transportowych 13 dowodzi się, że korzyści masowości potoku przewozo
Matematyka 2 33 332 V Elementy rachunku />rauiopoJohuniwg Dowodzi się, że zbiór W punktów skokow
85 [1600x1200] i *:frem czasu -a gleby staje się m. -■ ż gruba, że mogę tam ■B:: krzewinki, na
Przygotowanie się do zajęć = 18 godz. Zapoznanie się ze wskazaną literaturą = 18 godz. Przygotowanie
gliniane statuetki. Przyjmuje się, że były one, w większości wytwarzane na miejscu. Datowane są na c
zdjęcia95 G. Kuschinsky:IHs „Gdy zapewnia się, że jakiś lek jest wolny od działań niepożądanych
więcej podobnych podstron