22064 MATEMATYKA189
368 Vn. Macierze. Wyznaczniki. Układy równań liniowych
368 Vn. Macierze. Wyznaczniki. Układy równań liniowych
|
'2 |
0 |
4 |
0 |
1 |
'2 |
0 |
1 | ||
|
R(B)* R |
0 |
1 |
0 -1 |
0 |
= R |
0 |
1 |
0 | |
|
1 -1 |
2 |
1 |
°J |
1 -1 |
0 | ||||
= 3.
Ponieważ R(A)*R(B), więc, zgodnie z twierdzeniem Kroneckcra-Capcllicgo, układ ten nic ma rozwiązań.
b) Dla danego układu
|
x-y+2u |
- 0, |
|
2x + y + 3z + u + 3v |
= 3, |
|
X + Z + U + V |
- l; |
(1)
obliczamy rzędy macierzy A i B:
R(A) = R
|
l -1 |
0 |
2 |
0" |
1 |
-1 |
0 |
2 | |
|
2 I |
3 |
1 |
3 |
= R |
2 |
1 |
3 |
1 |
|
1 0 |
1 |
1 |
1 |
ł |
0 |
I |
1 |
(tworzymy zera w 1-ej kolumnie] przy pomocy 1-ego wiersza J
•ii -j ; Jb
R(B)=R
1-10200 2 13 13 3
1 0 1111
{po opuszczeniu 6- tej kolumny 1 = Rz a ) —2 otrzymamy macierz A
Mamy zatem R(A)=R(B) = r=2, n = 5, czyli ren. Z twierdzenia Kroncckera - Capclliego wynika, źc układ ten ma nieskończenie wiele rozwiązań i są one zależne od n - r = 3 parametrów.
Aby znaleźć rozwiązania w takim przypadku należy' spośród równań układu (1) wybrać r ró\Vnań o r niewiadomych (pozostałe niewiadome traktujemy jako parametry) w ten sposób, aby wyznacznik główny otrzymanego układu pomocniczego (2) był różny od zera. (Jest to możliwe, gdyż R(A) = r, a to oznacza, że istnieje minor stopnia r macierzy A różny od zera). Układ (2) ma , zgodnie z twierdzeniem Cramera, dokładnie jedno rozwiązanie. Wykazuje się, że rozwiązanie układu (2), uzupełnione przez parametry, jest rozwiązaniem układu (1).
W naszym przykładzie przyjmijmy z = z0,u = uo,v = vo i z dwóch pierwszych równań danego układu utwórzmy pomocniczy układ z niewiadomymi x i y:
W»|] =0*0.
“ -2u0.
= 3-3/.o -Uq -3v0,
Rozwiązaniem układu (2) jest para liczb: x*l-Zfl-u() -v0,
y s 1- zo + u0 - v0. Natomiast rozwiązaniem danego układu (1) jest każda
piątka liczb: x = 1-zo-u0-v0, y = l-Zo+uo-v0, /m/o u = uo»
v - v0, gdzie z0.u0,v0 są dowolnymi liczbami rzeczywistymi.
c) Dla danego układu
|
2x+y » |
1. |
|
x + y = |
1, |
|
x-2y * |
-2. |
|
2x-y = |
-1 |
(1)
obliczamy rzędy macierzy A i B:
|
R(A) = R |
2 1 1 1 1 -2 |
= 2, R(B)= R |
2 1 1 1 1 1 1 -2 -2 |
= R |
2 I 1 1 1 -2 |
|
2 -1 |
2 -1 -1 |
2 -1 |
Mamy więc R(A) = R(B) = r = 2, n = 2, czyli r = n. Z twierdzenia Kroneckera - Capcllicgo wynika, że rozpatrywany układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Aby znaleźć to rozwiązanie w takim przypadku należy spośród równań danego układu (I) wybrać r równań o r (r = n) niewiadomych w ten sposób, aby wyznacznik główny otrzymanego układu pomocniczego (2) był różny od zera (wiemy już, że to jest możliwe, gdyż R(A) = r). Zgodnie z twierdzeniem Cramera układ (2) ma dokładnie jedno rozwiązanie. Wykazuje się, że jest to jednocześnie rozwiązanie układu (1).
W naszym przykładzie - utwórzmy układ pomocniczy (2) z dwóch pierwszych równań układu (1):
2x + y x + y
W =
2 1 1 1
* 0 .
Rozwiązaniem układu (2), a zatem i rozważanego układu (1), jest para liczb: x = 0, y = I.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
MATEMATYKA184 358 vn Macierze. Wyznaczniki. Układy równań liniowych ZADANIA DO ROZWIĄZANIA 0 0 0 0 0
47137 MATEMATYKA188 366 vn Macierze. Wyznaczniki. Układy równań liniowych (24) allxl a2lxl + a„x2 +
MATEMATYKA179 348 VII Macierze Wyznaczniki Układy równań liniowych --— x aII. ai2 at3, a2ly. a22,
MATEMATYKA183 356 VII. Macierze. Wyznaczniki. Układy równań liniowych kolumny tworzymy minory drugie
MATEMATYKA190 370 Vn Macierze. Wyznaczniki, ł/ kłady równań Urnowych d) Obliczamy rząd maccrz> A
20944 MATEMATYKA186 362 VII. Macierze. Wyznaczniki. Układy równań liniowychw, w2 wn _ a,,x,+a,2x2+ .
MATEMATYKA190 370 Vn Macierze. Wyznaczniki, ł/ kłady równań Urnowych d) Obliczamy rząd maccrz> A
MATEMATYKA191 372 VH Macierze. Wyznaczniki. Układy równań liniowych 2. e) 2x2 -6x3 + 2x4 2x,-x2+x3&n
MATEMATYKA192 374 VII Macierze. Wyznaczjńki. Układy równań liniowych Odpowiedzi. a) x»-^7,y--9/7.z»2
więcej podobnych podstron