10793 skanuj0009 (302)

j.2. Szeregi liczbowe 71

Będziemy teraz rozważać szeregi o wyrazach dowolnych.

OC

Definicja 4.48. Niech będzie dany szereg Y a_n o wyrazach rzeczywistych

n— 1

oo    oo

a_n 6 R. Szereg Y ^an nazywamy bezwzględnie zbieżnym, jeśli szereg Y |<i_n|

n=1    n—1

jest zbieżny.

oo

Twierdzenie 4.49. Niech (a_n)^^<L₁ C R. Jeśli Y a_n jest bezwzględnie zbieżny,

n=1 oo

to Y, ^an jest zbieżny.

n= 1

oo

Dowód. Niech szereg Y l^an| będzie zbieżny. Przedstawmy ciąg a_n w nastę-

n— 1

pujący sposób: a_n = a_n - (3_n, gdzie j3_n = O, jeśli a_n ^ O i a_n = O, jeśli a_n < 0. Wówczas O ^ a_n ^ |a_n| oraz O ^ (3_n ^ |a_n|. Stosując kryterium porównawcze

OO    OC

(twierdzenie 4.43) widzimy, że szeregi Y ^ani Y Pn są zbieżne. Zatem zbieżne

n=1    n=l

PN —    + ^a2 + • • * + &N, QN — Pl + @2 + • * ' + Pn-

Zbieżny jest również ciąg    — a] 4- ai + • • • + a/v — sn, co oznacza, że

oo

zbieżny jest także szereg Y ^an-    □

n=1

Następne dwa kryteria są podstawowymi kryteriami zbieżności bezwzględnej szeregów, jak również zbieżności szeregów.

Twierdzenie 4.50 (kryterium Cauchy’ego zbieżności szeregów). Niech

{^an)%Li c R.

OC

(1)    Jeśli lim wTaJ < 1, to szereg Y ^an i^esl bezwzględnie zbieżny.

ⁿ~*°°    _n= 1

oc

(2)    Jeśli lim y/\a_n\ > 1, to szereg Y ^an jest rozbieżny.

^n—>°°    _n=1

OO y    x 2;

Przykład 4.51. Szereg Y (t+5n ) J^est zbieżny, ponieważ:

n= 1 '    '

< 1.

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
skanuj0009 (302) j.2. Szeregi liczbowe 71 Będziemy teraz rozważać szeregi o wyrazach dowolnych. OC D
MATEMATYKA046 84 II. Ciągi i szeregi liczbowv KRYTERIUM DALEMBERTA (dla szeregów o wyrazach dowolnyc
2. Potęgi i pierwiastki Niech n będzie liczbą całkowitą dodatnią. Dla dowolnej liczby a definiujemy
SZEREG O WYRAZACH DODATNICH. SZEREG O WYRAZACH DOWOLNYCH 2. 1. Korzystając z kryterium porównawczego
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH Def. Szereg zbieżny nazywamy bezwzględnie zbieżnym, gdy jest zbieżny De
Rozwiązanie. Niech O będzie środkiem rozważanego okręgu stycznego do trzech danych okręgów i niech S
214(1) 4) Dla danego szeregu o wyrazach dowolnych nie jest spełniony warunek konieczny zbieżności, b
skanuj0011 (270) .2. Szeregi liczbowe 73 Twierdzenie 4.57. (kryterium Leibniza1 zbieżności szeregów)
89353 skanuj0010 (399) My = — Gr + G.V OA-Cl(OBf-C2(OAf (p, (D-13.20) i po podstawieniu danych liczb
346 XI. Szeregi nieskończone o wyrazach stałych a zatem x 1, gdy N -*■ oo. Niech teraz N będzie na t
skanuj0010 (302)
skanuj0012 (302) Jgglji^® ^O^^ceĆkaKć&Zsr/ót pS&r^cM ^

więcej podobnych podstron