54199 skanuj0010 (126)

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

Estymacja przedziałowa parametrów

• Przedział ufności dla średniej

Model 1

Badana cecha w populacji generalnej ma rozkład normalny N (p, a). Wartość średniej // jest nieznana,

odchylenie standardowe cr w populacji jest znane. Z populacji tej pobrano próbę o liczebności n elementów, wylosowanych niezależnie. Przedział ufności dla średniej p populacji otrzymuje się ze wzoru:

gdzie:

1-a - jest prawdopodobieństwem, przyjętym z góry i nazywanym współczynnikiem ufności (w

zastosowaniach praktycznych przyjmuje się wartość 1-a k 0,9) u„ - jest wartością zmiennej losowej U o rozkładzie normalnym standaryzowanym

X - średnia arytmetyczna z próby obliczona wg zależności:

Wartość u_a dla danego współczynnika ufności 1-a wyznacza się z rozkładu normalnego standaryzowanego N(0, 1), w taki sposób, by spełniona była relacja:

P{-u«< U < Ua} = 1-a

U_a jest taką wartością zmiennej losowej o rozkładzie normalnym standaryzowanym, że pole powierzchni pod krzywą gęstości w przedziale (-u«, u_a) wynosi 1 -a, a pole pod krzywą gęstości na prawo od u** i na lewo od -u* wynosi po a/2. (7_ajest można również wyznaczyć na podstawie dystrybuanty z zależności:

0(w_a) = l-(a/2)

(gdzie <£>(•) jest dystrybuantą rozkładu normalnego standaryzowanego), korzystając z tablic rozkładu normalnego. C/_ejest nazywane kwantylem rozkładu normalnego.

Model 11

Badana cecha w populacji generalnej ma rozkład normalny N(p, a). Nieznana jest zarówno wartość średnia jli, jak i odchylenie standardowe a w populacji.

Z populacji tej wylosowano niezależnie małą próbę o liczebności n (n<30) elementów. Przedział

ufności dla średniej p populacji otrzymuje się wówczas z wzoru:

gdzie:

jest odchyleniem standardowym z próby.

Wartość t_a oznacza wartość zmiennej / Studenta odczytaną z tablicy tego rozkładu dla n-1 stopni swobody w taki sposób, by dla danego z góry prawdopodobieństwa 1-a spełniona była relacja:

P{-t_a<t<t_a}=l-a

Sposoby wyznaczania wartości t_a są podobne jak w modelu I.

Model 111

Badana cecha w populacji generalnej ma rozkład normalny N(p, a) bądź dowolny inny rozkład o średniej p i skończonej wariancji o (nieznanej). Z populacji tej pobrano do próby n niezależnych obserwacji, przy czym liczebność próby jest duża (co najmniej kilkadziesiąt). Wtedy przedział ufności dla średniej p populacji wyznacza się ze wzoru jak w modelu 1, z tą tylko różnicą, że zamiast er we wzorze tym używamy wartości odchylenia standardowego s z próby.

Zadanie 1

Wytrzymałość materiału budowlanego jest zmienną losową o rozkładzie normalnym N(p, a). W celu oszacowania nieznanej średniej p, wytrzymałości tego materiału dokonano pomiaru wytrzymałości na n=5 wylosowanych niezależnie elementach z tego materiału. Otrzymano następujące wyniki: 20.4, 19.6,22.1,20.8,21.1.

Przyjmując współczynnik ufności l-a=0,99 zbudować przedział ufności dla średniej wytrzymałości ji tego materiału.

Zadanie 2

Chcemy oszacować średni staż pracy pracowników zatrudnionych przy obsłudze komputerów w Gliwicach. W tym celu, stosując losowanie nieograniczone, niezależne, wylosowano z populacji tych pracowników próbę liczącą n=100 osób i otrzymano następujące wyniki badania stażu pracy:

0-2	4
2-4	10
4-6	55
6-8	25
8-10	6

Przyjmując współczynnik ufności l-a=0.90 zbudować przedział ufności dla średniego stażu pracy badanej populacji pracowników.

Zadanie 3

Oszacować żywotność (w godzinach świecenia) wyprodukowanej partii świetlówek. Wiadomo, że czas świecenia świetlówek ma rozkład normalny z odchyleniem standardowym a=l20 godzin. Wylosowana niezależnie z tej partii próba n=25 świetlówek, dała następujące wyniki pomiarów czasu ich świecenia w godzinach:

2630, 2820, 2900, 2810, 2770,

2840, 2700, 2950, 2680, 2720,

2800, 2970, 2680, 2660, 2820,

2580, 2840, 3020, 2780, 2920,

3060, 2840, 2550, 2790, 2850.

Przyjmując współczynnik ufności 0.98 oszacować metodą przedziałową średni czas świecenia świetlówek tej partii.