Egzamin z Algebry, 10 II 2012 godz. 12.00
1. Zadanie wstępne
Nr Zadanie Odp.
1 Obliczyć (1 + i)4 -4
RozwiÄ…zanie:
"
Ä„ Ä„
1 + i = 2(cos + i sin )
4 4
(1 + i)4 = 4(cos Ä„ + i sin Ä„) = -4
2 Rozwiązać równanie x1 = 3
x2 4 9
x2 = 2
x 2 3 = 0
1 1 1
RozwiÄ…zanie:
x2 4 9
x 2 3 = 2x2 + 12 + 9x - (18 + 3x2 + 4x) = -x2 + 5x - 6 = 0
1 1 1
-5 Ä… 1
" = 1 =Ò! x =
-2
3 Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P (7 , -5 , 1) , x+y+z-3 = 0
która odcina na osiach współrzędnych równe odcinki dodatnie.
RozwiÄ…zanie:
Ą : x + y + z + D = 0 płaszczyzna odcinająca równe odcinki
P " Ä„ =Ò! 7 - 5 + 1 + D = 0 =Ò! D = -3
4 Wyznaczyć równanie okręgu przechodzącego przez punkty P (3, 0) i Q(9, 0) (x - 6)2 + (y -
4)2 = 25
, którego środek leży na prostej y = 4 .
RozwiÄ…zanie:
x = 6 symetralna odcinka P Q
S(6, 4) środek okręgu
R = P S = 32 + (-4)2 = 5 promień okręgu
(x - 6)2 + (y - 4)2 = 25 równanie okręgu
- - - -
5 Dla jakich wartoÅ›ci parametru p wektor w = u × v , gdzie u = [1, 1, 1] , p = 0
-
v = [0, 1, p] jest równoległy do osi Oz ?
RozwiÄ…zanie:
i j k
-
w = 1 1 0 = [p, -p, 1]
0 1 p
[p, -p, 1] [0, 0, 1] Ð!Ò! p = 0
1
2. Rozwiązać równanie: z3 + z2 + z + 1 = 0 , z " C
RozwiÄ…zanie:
z2(z + 1) + z + 1 = 0
(z + 1)(z2 + 1) = 0 =Ò! z + 1 = 0 lub z2 + 1 = 0
z + 1 = 0 =Ò! z = -1
z2 + 1 = 0 =Ò! z2 = -1 =Ò! z = Ä…i
Odpowiedz:
z1 = -1 , z2 = i , z3 = i
2
3. Obliczyć wyznacznik
1 -1 1 -1
1 i -1 -1
1 1 1 1
1 2 4 8
RozwiÄ…zanie:
1 -1 1 -1 0 -1 1 -1
1 i -1 -1 0 i -1 -1
9
= {k1 = k1 + k4} = = {w4 = w4 - w3} =
2
1 1 1 1 2 1 1 1
1 2 4 8 9 2 4 8
0 -1 1 -1
-1 1 -1
0 i -1 -1
= {Rozw. Laplace a wzglÄ™dem k1} = 2·(-1)3+1 i -1 -1 =
2 1 1 1
-5 -1 7
2 2 2
0 -5 -1 7
2 2 2
-1 1 -1
{w3 = 2w3} = i -1 -1 = 7 + 5 + i - (-5 - 1 + 7i) = 18 - 6i
-5 -1 7
Odpowiedz:
Wyznacznik jest równy: 18 - 6i
3
4. Dla jakiej wartości D prosta
x + y - z + 2 = 0
l :
2x - y + z + D = 0
przecina oÅ› Ox ?
RozwiÄ…zanie:
Punkt leżący na osi Ox ma współrzędne: P (x, 0, 0) .
Ponieważ P " l więc:
x + y - z + 2 = 0 =Ò! x + 2 = 0 =Ò! x = -2
2x - y + z + D = 0 =Ò! -4 + D = 0 =Ò! D = 4
Odpowiedz:
Prosta przecina oÅ› Ox dla D = 4
4
5. Wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez punkt A(1, 0, -1), równoległej do
płaszczyzny Ą : 3x - 2y - 3z + 3 = 0 i przecinającej prostą
x - 2 y - 1 z + 2
l : = = .
1 -2 2
RozwiÄ…zanie:
Niech B(x, y, z) będzie punktem przecięcia prostej l i szukanej l1
Å„Å‚
ôÅ‚ x = t + 2
òÅ‚
B " l =Ò! y = -2t + 1
ôÅ‚
ół
z = 2t - 2
- -
- -
l1 Ä„ =Ò! AB Ä„" n =Ò! AB ć% n = 0
-
AB = [t + 1 , -2t + 1 , 2t - 1]
-
n = [3 , -2 , -3]
3(t + 1) - 2(-2t + 1) - 3(2t - 1) = 0 =Ò! t + 4 =Ò! t = -4
stÄ…d:
-
AB = [-3 , 9 , -9] [-1, 3, -3]
-
Wektor AB jest wektorem kierunkowym prostej.
Å„Å‚
ôÅ‚ -t + 1
x =
òÅ‚
l1 : y = 3t
ôÅ‚
ół
z = -3t - 1
Odpowiedz:
Równanie szukanej prostej:
Å„Å‚
ôÅ‚ -t + 1
x =
òÅ‚
l1 : y = 3t
ôÅ‚
ół
z = -3t - 1
5
6. Wyznaczyć równania płaszczyzn stycznych do sfery x2+y2+z2-10x+2y+26z-30 = 0
i równoległych do prostych
x + 5 y - 1 z + 13 x + 7 y + 1 z - 8
= = oraz = =
2 -3 2 3 -2 0
RozwiÄ…zanie:
- -
Ä„ l =Ò! n Ä„" v
Wektor normalny płaszczyzny jest więc prostopadły do obu wektorów kierunkowych
prostych, czyli:
- - -
n = v × v
1 2
v1 = [2 , -3 , 2] , v2 = [3 , -2 , 0]
i j k
- -
v × v = 2 -3 2 = [4, 6, 5]
1 2
3 -2 0
Równanie płaszczyzny Ą ma postać:
Ä„ : 4x + 6y + 5z + D = 0
Płaszczyzna Ą jest styczna do sfery gdy odległość d środka sfery O od Ą jest równa
promieniowi sfery.
x2+y2+z2-10x+2y+26z-30 = 0 =Ò! (x-5)2-25+(y+1)2-1+(z+13)2-169-30 =
0 =Ò! (x - 5)2 + (y + 1)2 + (z + 13)2 = 225
"
Środek sfery jest w punkcie O(5, -1, -13) , a jej promień R = 225 = 15
|20 - 6 - 65 + D| |D - 51|
" "
d = =
42 + 62 + 52 77
" "
|D - 51|
"
= 15 =Ò! |D - 51| = 15 77 =Ò! D - 51 = Ä…15 77
77
"
D1 = 51 + 15 77
"
D2 = 51 - 15 77
Odpowiedz:
Szukane płaszczyzny:
"
Ä„1 : 4x + 6y + 5z + 51 + 15 77 = 0
"
Ä„2 : 4x + 6y + 5z + 51 - 15 77 = 0
6
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
SIMR ALG1 EGZ 2012 02 03b rozwSIMR ALG1 EGZ 2012 02 10a rozwSIMR ALG1 EGZ 2012 02 03a rozwSIMR ALG1 EGZ 2008 02 07a rozwSIMR ALG1 EGZ 2014 02 07a rozw 1SIMR ALG1 EGZ 2013 02 05b rozwSIMR ALG1 EGZ 2007 02 08b rozwSIMR ALG1 EGZ 2013 02 05a rozw 1SIMR ALG1 EGZ 2014 02 07b rozw 1SIMR ALG1 EGZ 2013 02 11b rozwSIMR ALG1 EGZ 2013 02 11b rozwSIMR ALG1 EGZ 2013 02 11a rozw 1SIMR MAT1 EGZ 2006 02 08a rozwSIMR MAT1 EGZ 2006 02 01b rozwSIMR AN1 EGZ 2013 02 04b rozwSIMR AN1 EGZ 2013 02 12b rozwSIMR ALG1 EGZ 2007 01 30a rozwSIMR RR EGZ 2012 06 20b rozwwięcej podobnych podstron