Egzamin z Matematyki 1, 1 II 2006
1 - z
1. Narysować zbiór z " C : Re = 1
1 + z
RozwiÄ…zanie:
z = -1

z = x + iy , gdzie x, y " R
1 - z 1 - x - iy (1 - x - iy)(1 + x - iy) 1 - x2 - y2 - 2iy
Re = Re = Re = Re =
1 + z 1 + x + iy (1 + x)2 + y2 (1 + x)2 + y2
1 - x2 - y2
(1 + x)2 + y2
1 - x2 - y2
= 1
(1 + x)2 + y2
1 - x2 - y2 = (1 + x)2 + y2
2x2 + 2y2 + 2x = 0
x2 + y2 + x = 0
1 1
(x + )2 + y2 =
2 4
1
Szukany zbiór to okrąg, środek w (-1, 0) , promień , bez jedngo punktu: (-1, 0)
2 2
2. Ze wzoru Cramera wyznaczyć x4
x1 + x2 + x3 + x4 = -4
2x2 + 2x3 - 2x4 = 4
3x2 - 5x3 - 4x4 = -8
2x1 + 3x4 = -2
RozwiÄ…zanie:
Jeśli |A| = 0 to układ ma jedno rozwiazanie i

|A4|
x4 =
|A|


1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 -2 2 2 -2

0 2 2 -2 0 2 2 -2

|A| = = = 3 -5 -4 = 3 -5 -4 =

0 3 -5 -4 0 3 -5 -4

-2 -2 1 0 0 -1

2 0 0 3 0 -2 -2 1


2 2

- = 16
-5

3
|A| = 0 możemy więc korzystać ze wzoru Cramera.


1 1 1 -4 1 1 1 -4

2 2 4 2 2 4

0 2 2 4 0 2 2 4

|A4| = = = 3 -5 -8 = 3 -5 -8 =

0 3 -5 -8 0 3 -5 -8

-2 -2 6 0 0 10

2 0 0 -2 0 -2 -2 6


2 2

10 = -160
-5

3
-160
x4 = = -10
16
3. Dane są punkty A : (0, 0, 0) , B (1, 0, 0). Na prostej l wyznaczyć taki punkt C aby
":
2
pole trójkata ABC było równe
2
l : x - 1 = y = z
RozwiÄ…zanie:
Punkt C prostej l ma współrzędne C(t + 1, t, t)
Pole S trojkąta ABC jest równe:
- -

1
S = |AB × AC|
2
-

AB = [1, 0, 0]
-

AC = [t + 1, t, t]
- -

AB × AC = [0, -t, t]
"
"
1 2
S = 2t2 = |t|
2 2
" "
2 2
|t| =
2 2
|t| = 1
t1 = 1 ; t2 = -1
C1 = (2, 1, 1) ; C2 = (0, -1, -1)
(x-1)2
2
4. Zbadać przebieg funkcji f(x) = e-
RozwiÄ…zanie:
Dziedzina D = (-", ")
Funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta
Granice:
Brak asymptot pionowych
(x-1)2
2
lim e- = 0
x"
Funkcja ma asymptotÄ™ poziomÄ… w +" : y = 0
(x-1)2
2
lim e- = 0
x-"
Funkcja ma asymptotÄ™ poziomÄ… w -" : y = 0
Pochodna
(x-1)2
2
f (x) = -(x - 1)e-
f (x) > 0 a" x < 1 : funkcja rosnÄ…ca, w x = 1 f(x) ma maksimum lokalne
(x-1)2 (x-1)2 (x-1)2
2 2 2
f (x) = -e- + (x - 1)2e- = (x2 - 2x)e-
f (x) > 0 a" x2 - 2x > 0 a" x " (-", 0) *" (2, ") : fukcja wypukła, w x = 0 i x = 2 są
punkty przegięcia
x -" ... 0 ... 1 ... 2 ... "
f (x) + + + 0 - - -
f (x) + 0 - - - 0 +
1 1
" "
f(x) 0 1 0
e e

e
"
5. Obliczyć długość łuku krzywej y = x x , gdzie 0 x 3 i całkę ln x dx
1
RozwiÄ…zanie:
Długość łuku krzywej jest równa:


b
l = 1 + (y )2 dx
a
" "
3
3
2
(x x) = (x ) = x
2

3
3
9 8 9 3 1 3
2 2
l = 1 + x dx = (1 + x) = (31 - 8)
0 4 27 4 27
0

e
ln x dx
1
Całkujemy przez części:
Å„Å‚ üÅ‚
òÅ‚ f(x) = ln x g (x) = 1 żł
1
ół þÅ‚
f (x) = g(x) = x
x

e e
ln x dx = [x ln x]e - dx = e - [x]e = 1
1 1
1 1


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
SIMR MAT1 EGZ 2006 02 08a rozw
SIMR MAT1 EGZ 2006 02 01a rozw
SIMR MAT1 EGZ 2006 02 08b rozw
SIMR MAT1 EGZ 2006 04 20 rozw
SIMR MAT1 EGZ 2006 09 04 rozw
SIMR MAT1 EGZ 2006 06 14 rozw
SIMR AN1 EGZ 2013 02 04b rozw
SIMR ALG1 EGZ 2008 02 07a rozw
SIMR ALG1 EGZ 2012 02 10b rozw
SIMR AN1 EGZ 2013 02 12b rozw
SIMR ALG1 EGZ 2014 02 07a rozw 1
SIMR ALG1 EGZ 2013 02 05b rozw
SIMR ALG1 EGZ 2012 02 03b rozw
SIMR ALG1 EGZ 2007 02 08b rozw
SIMR ALG1 EGZ 2013 02 05a rozw 1
SIMR ALG1 EGZ 2012 02 10a rozw
SIMR ALG1 EGZ 2012 02 03a rozw
SIMR AN1 EGZ 2007 02 07b rozw
SIMR ALG1 EGZ 2014 02 07b rozw 1

więcej podobnych podstron