Egzamin z Matematyki 1, 1 II 2006
1. W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać równanie:
z6 + z4 + 16z2 + 16 = 0
RozwiÄ…zanie:
(z4 + 16)(z2 + 1) = 0
z4 + 16 = 0 lub z2 + 1 = 0
z4 + 16 = 0
"
4
z = -16
-16 = 16(cos Ä„ + i sin Ä„)
Ą + 2kĄ Ą + 2kĄ
zk = 2(cos + i sin ) , k = 0, 1, 2, 3
4 4
" "
z0 = 2 + i 2
" "
z1 = - 2 + i 2
" "
z2 = - 2 - i 2
" "
z3 = - 2 - i 2
z2 + 1 = 0
"
z = -1
z4 = i
z5 = -i
2. Czy proste l1 i l2 sa współpłaszczyznowe? Jeżeli tak, wyznaczyć równanie płaszczyzny
zawierajÄ…cej te proste.
x + z = 0
l1 =
2x - y + 1 = 0
x - 1 y - 3 z + 1
l2 : = =
1 1 2
RozwiÄ…zanie:
Proste są współpłaszczyznowe jeśli się przecinają lub są równoległe. Szukamy punktu
przecięcia:
x = t + 1
y = t + 3
z = 2t - 1
t + 1 + 2t - 1 = 0
2(t + 1) - (t + 3) + 1 = 0
3t = 0
t = 0
Układ ma jedno rozwiązanie t = 0 więc proste przecinają się w jednym punkcie:
A(1, 3, -1) , a więc są współpłaszczyznowe.
Równanie płaszczyzny Ą zawierającej te proste:
PÅ‚aszczyzna zawierajÄ…ca prostÄ… l1 ma równanie: Ä…(x + z) + ²(2x - y + 1) = 0
Do tego równania podstawiamy dowolny punkt prostej l2 (różny op punktu przecięcia)
np. B(2, 4, 1)
3Ä… + ² = 0
RozwiÄ…zaniem tego równanie jest np. para: Ä… = 1 , ² = -3
Równaniem szukanej płaszczyzny jest więc:
Ä„ : (x + z) - 3(2x - y + 1) = 0
Ä„ : -5x + 3y + z - 3 = 0
3. Dla jakiego k funkcja f(x) określona na przedziale x "< 0, Ą > wzorem
Å„Å‚
ôÅ‚ sin3 x - 1 Ä„
ôÅ‚
òÅ‚
dla x =
| sin x - 1| 2
f(x) =
ôÅ‚ Ä„
ôÅ‚
ół
k dla x =
2
Ä„
jest ciągła w punkcie x0 =
2
RozwiÄ…zanie:
Ä„
Funkcja f(x) jest ciągła w punkcie x0 = wtedy i tylko wtedy, gdy lim f(x) = k
Ä„
x
2
2
sin3 x - 1 sin3 x - 1 (sin x - 1)(sin2 x + sin x + 1)
k = lim f(x) = lim = lim - = lim - =
Ä„ Ä„ Ä„ Ä„
x x x x
| sin x - 1| sin x - 1 sin x - 1
2 2 2 2
lim -(sin2 x + sin x + 1) = -3
Ä„
x
2
(mianownik jest ujemny)
4. Zbadać przebieg funkcji f(x) = x + 2 arc tg x
RozwiÄ…zanie:
Dziedzina D = (- ", ")
Funkcja jest nieparzysta: f(-x) = -f(x) a więc wystarczy zbadać funkcję na połowie
dziedziny: D1 =< 0, ") ; na drugiej czści dziedziny przebieg jest symetryczny.
Granice:
Brak asymptot pionowych.
f(0) = 0
lim (x + 2 arc tg x) = "
x "
Szukamy asymptoty ukośnej y = ax + b w + " .
f(x) 2 arc tg x
a = lim = lim 1 + = 1
x x
x " x "
b = lim (f(x) - ax) = lim 2 arc tg x = Ä„
x " x "
Funcja ma asyptotę ukośną w + " : y = x + Ą
2
f (x) = 1 +
1 + x2
f (x) > 0 na całej dziedzinie (funkcja rosnąca)
4x
f (x) = -
(1 + x2)2
f (x) < 0 dla x " (0, ") , f (0) = 0
f(x) jest wklęsła na przedziale (0, "). Na (- ", 0) f(x) jest wypukła, w x = 0 ma
punkt przegięcia
x - " ... 0 ... "
f (x) + + +
f (x) + 0 -
f(x) - " 0 "
5. Obliczyć dwie całki:
Ä„
"
4 1
tg x dx
cos2 x
0
e
ln2 x dx
1
RozwiÄ…zanie:
Ä„
"
4 1
tg x dx
0 cos2 x
1
Podstawienie t = tg x , dt = dx
cos2 x
Ä„ 1
1
"
"
4 1 2 3 2
2
tg x dx = t dt = t =
0 cos2 x 0 3 3
0
e
ln2 x dx
1
Całkujemy przez części:
Å„Å‚ üÅ‚
òÅ‚ f(x) = ln2 x g (x) = 1 żł
1
ół þÅ‚
f (x) = 2 ln x g(x) = x
x
e
e e e
ln2 x dx = x ln2 x - 2 ln xdx = e - 2 ln x dx
1
1 1 1
Całkujemy jeszcze raz przez części:
Å„Å‚ üÅ‚
òÅ‚ f(x) = ln x g (x) = 1 żł
1
ół þÅ‚
f (x) = g(x) = x
x
e e
ln x dx = [x ln x]e - dx = e - [x]e = 1
1 1
1 1
e
ln2 x dx = e - 2
1
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
SIMR MAT1 EGZ 2006 02 08a rozwSIMR MAT1 EGZ 2006 02 01b rozwSIMR MAT1 EGZ 2006 02 08b rozwSIMR MAT1 EGZ 2006 04 20 rozwSIMR MAT1 EGZ 2006 09 04 rozwSIMR MAT1 EGZ 2006 06 14 rozwSIMR AN1 EGZ 2013 02 04b rozwSIMR ALG1 EGZ 2008 02 07a rozwSIMR ALG1 EGZ 2012 02 10b rozwSIMR AN1 EGZ 2013 02 12b rozwSIMR ALG1 EGZ 2014 02 07a rozw 1SIMR ALG1 EGZ 2013 02 05b rozwSIMR ALG1 EGZ 2012 02 03b rozwSIMR ALG1 EGZ 2007 02 08b rozwSIMR ALG1 EGZ 2013 02 05a rozw 1SIMR ALG1 EGZ 2012 02 10a rozwSIMR ALG1 EGZ 2012 02 03a rozwSIMR AN1 EGZ 2007 02 07b rozwSIMR ALG1 EGZ 2014 02 07b rozw 1więcej podobnych podstron