DSC07303
28
Liczby zespolone
{
r € (0, oo)«
J + Ar = 0.1,2,3.
RoniąinniA równania i worzą więc dwie proste nachylone do osi rzeczywistej pod kątami j oraz — — i przechodzące przez punkt O, nie bez tego punktu (rysunek).
Przykład 1.16
Stosując wzory Eulera przedstawić cos5 x w postaci sumy sinusów i eosinusów wiełokrotności kąta x.
Rozwiązanie
Miar cos x =
. Stosując teraz wzór dwumianowy Newtona otrzymamy
= Ą [(o) (*“)s («-te)° + (i) (*")4 + (*) (cix)3 («•")’
+(3) (=fe)2 («*")' + (4) (O1 ('-“)* + © (^)° (c_,x)5]
= ^ (e5** + 5e3ix +- I0e** + 10e~,x + 5e",te + c~5,x)
2 2 2 y
= -^(eos5x + 5eos3x + 10 cos x).
Pierwiastkowanie liczb zespolonych
Przykład 1.17
Korzystając z definicji obliczyć podane pierwiastki:
a) V4i - 3; b)
Przykłady
29
Rozwiązanie
a) Niech x+iy* gdzie z, y € R, będzie szukanym pierwiastkiem. Wtedy (x+śy)2 = 4i -3. Stąd x7 -ł- 2ixy — y1 = 4£ - 3. Równanie to jest równoważne układowi równań
IBG | "3.
-^2xy = 4.
Rozwiązaniem tego układu równań są pary liczb: z = 1, y = 2; x = -1, y = -2. Zatem V3r^3 = {l + 2i,-i-2ś}.
b) Niech z + iy, gdzie x,y € R, będzie szukanym pierwiastkiem. Wtedy (z + iy)3 = 8. Stąd z3 -I- 3ix1y — 3xy — iy3 — 8. Równanie to jest równoważne układowi równań
I z3 - 3xy2 = 8,
13x2y - g? = 0.
Z drugiego równania tego układu wynika, że y = 0 lub 3x2 = y2. Wykorzystując te zależności w pierwszym równaniu układu otrzymamy z3 = 8 łub -8x3 = 8. Stąd z = 2 lub z = - i. Ostatecznie rozwiązaniem układu równań są pary liczb: z = 2, y = 0; X = -1, y = v/3; z = -1, y = — v/3- Zatem ^8 = {?, -1 + iy/5, -1 - iV3} .
• Przykład 1.18
Obliczyć i narysować na płaszczyźnie zespolonej podane pierwiastki: a) sf^Tiy b) \J-8 4- 8^*; c) #T.
Rozwiązanie
W rozwiązaniu wykorzystamy wzór na pierwiastki stopnia n z liczby zespolonej :^0o argumencie ip. Wzór ten ma postać: yz — {^>,ei,...(Zn~i} . gdzie
**= v^i(<
ip + 2kir . . ip + 2kx
2i =
Dla k = 0 mamy
w
^+2far J + 2fcr cos-- — *f i sin---
: A: = 0,1 > .
1 + t.
so = (cos2Ę +fsin^-) - '/5(wT + iT) ““
Dla 1* = 1 otrzymujemy
ti = y/2 (cos y +isin y) = ~*t) = 1"?*
Zatem = {-1 + i, 1 - i) .
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
DSC07303 28 Liczby zespolone { r € (0, oo)«J + Ar = 0.1,2,3. RoniąinniA równania i worzą więc dwie p
DSC07303 28 Liczby zespolone { r € (0, oo)«J + Ar = 0.1,2,3. RoniąinniA równania i worzą więc dwie p
liczby Z1 28 2. Liczby zespolone; _ ( _ *)) ) = /2 (cos -f j sin Ifi). = 26 ( cos 7rr + j sin ^7r)
DSC07307 36 Liczby zespolone a) argr = —; c) « < arg(i =) < 2w; e) j < arg(-z) < b) £ &l
4 (1377) 12 Liczby zespolone Uwaga. Liczby zespolone 0, —z, 1 oraz wprowadzone odpowiednio w punktac
DSC07305 32 Liczby zespolone**“*{“?+isi“¥)=“ (_5 + ^r*) =- /5~x*=*=*(“■? +,“,ę) = 2ł( i~ ^‘) = c)
DSC07302 26 Liczby zespolone Poszukiwany zbiór składa się a sześciu otwartych obszarów kątowych
DSC07304 30 Liczby zespolone V—8 + 8 V5i= < v^16 : * = 0,1,2,3 f,.. ¥+2fcr lak więc dla k = 0. L
Liczby Zespolone (2) ffl tt») C Xc) * ■* C 3 ~ *0 u( ~ A ~j %(/ ; ^3 ; <u ę*AJi«icLo>v.c •* &g
Liczby Zespolone (5) i ’ . cLd«m* c <1 i L j— CA.G,itu3 .
więcej podobnych podstron