Egzamin z Równań Różniczkowych, 20 VI 2012 godz. 9.00
1. Zadanie wstępne
Zadanie Odp.
1. Sprawdzić, czy funkcje f(x) = 1 oraz g(x) = x tworzą układ fundamentalny Tak
rozwiązań pewnego równania różniczkowego liniowego rzędu drugiego o stałych
współczynnikach (tzn. czy są liniowo niezależne).
Rozwiązanie:
f g 1 x
W (x) = = = 1 - 0 = 0 = 0 Wrońskian
f g 0 1
x(y + 1)y = y
y
2. Rozwiązać zagadnienie Cauchy ego: y + ln |x| = 1
y(1) = 1
Rozwiązanie:
dy (y + 1) dy dx
x(y + 1) = y =! = rozdzielamy zmienne
dx y x
y + ln |y| = ln |x| + C całkujemy
y
y + ln |x| = C
1 + 0 = C =! C = 1 podstawiamy x = 1 oraz y = 1
"
n
1 1
1
3. Wyznaczyć sumę szeregu -
2
2 3n
n=1
Rozwiązanie:
" " 1
n n n 1
1 1 1 " 1 2 1 1
3
- = - = - = 1 - =
1 1
2 3n 2 3 1 - 1 - 2 2
n=1 n=1 n=1
2 3
Korzystamy ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego
"
n
4. Zbadać zbieżność szeregu (-1)n Szereg rozbieżny
n + 1
n=1
Rozwiązanie:
n 1
lim |an| = lim = lim = 1 = 0
1
n " n " n "
n + 1 1 +
n
Nie jest spełniony warunek konieczny zbieżności szeregu.
-
(t)
5. Wyznaczyć równanie stycznej do krzywej o równaniu r = (t3, t2, t) w x = 0 , y = 0 , z = t
punkcie P (0, 0, 0) .
Rozwiązanie:
-
(t) = [3t2, , 2t , 1]
Ł
r
-
(0) = [0 , 0 , 1]
Ł
r wektor kierunkowy prostej stycznej
l : x = 0 , y = 9 , z = t równanie prostej stycznej
1
2. Rozwiązać równanie:
y = (x - y)2 + 1
Rozwiązanie:
Podstawiamy: u(x) = y - x
Wtedy: u = 1 - y =! y = 1 - u
1 - u = u2 + 1
u = -u2
du
= - dx rozdzielamy zmienne
u2
du
= - dx
u2
1
- = x + C
u
-1
u =
x + C
-1
y - x =
x + C
Odpowiedz:
1
y = x -
x + C
2
3. Rozwiązać zagadnienie Cauchy ego
ńł
xy x
ł
ł
y - =
ł
ł
2(x2 - 1) 2y
ł
ł
ł
ół
y(0) = 1
Rozwiązanie:
Jest to równanie Bernoulliego. Mnożymy obie strony przez y:
xy2 x
yy - =
2(x2 - 1) 2
Podstawiamy: z(x) = y2(x) , wtedy z = 2yy
z xz x xz
- = =! z - = x wstawiamy do równania
2 2(x2 - 1) 2 x2 - 1
Jest to równanie liniowe. Rozwiązujemy równanie jednorodne:
xz
z - = 0
x2 - 1
dz x
= dx Rozdzielamy zmienne
z x2 - 1
dz x
= dx
z x2 - 1
1
ln |z| = ln |x2 - 1| + C postawiamy t = x2 - 1
2
z = C |x2 - 1|
Ponieważ, dla x = 0 mamy |x2 - 1| = 1 - x2 więc
"
z = C 1 - x2
Rozwiązujemy równanie niejednorodne:
xz
z - = x
x2 - 1
"
z = C(x) 1 - x2 uzmienniamy stałą
"
-2x
"
Wtedy: z = C 1 - x2 + C
2 1 - x2
"
"
xC xC 1 - x2
C 1 - x2 - " - = x =!
x2 - 1
1 - x2
"
xC xC x
C 1 - x2 - " " "
+ = x =! C =
1 - x2 1 - x2 1 - x2
"
x 1 1
"
C = dx = {t = 1 - x2 , dt = -2x dx} = - "
dt = - t + D =
2
1 - x2 t
"
- 1 - x2 + D
" " "
Stąd: z = - 1 - x2 + D 1 - x2 = x2 - 1 + D 1 - x2
"
y = ą x2 - 1 + D 1 - x2 (Wybieramy znak + ponieważ y(0) = 1 > 0 )
"
1 = -1 + D =! D = 2 Wstawiamy x = 0 , y = 1
Odpowiedz:
"
y = x2 - 1 + 2 1 - x2
3
4. Rozwiązać układ równań
= y + t
Ź = 8x - t
Rozwiązanie:
y = - t obliczamy y z pierwszego równania
Ź = ć - 1 różniczkujemy
ć - 1 = 8x - t wstawiamy do drugiego równania
ć - 8x = -t + 1
Rozwiązujemy równanie liniowe jednorodne:
ć - 8x = 0
r2 - 8 = 0 równanie charakterystyczne
" "
r1 = 2 2 , r2 = -2 2
" "
x = C1e2 2t + C2e-2 2t rozwiązanie ogólne równania liniowego jednorodnego
Szukamy rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego:
ć - 8x = -t + 1
Ponieważ r = 0 nie jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego, więc rozwią-
zanie szczególne przewidujemy w postaci:
xs = At + B
s = A
ć s = 0
Wstawiamy do równania:
1
-8A = -1 A =
8
-8At - 8B = -t + 1 =! =!
-8B = 1 B = -1
8
1 1
xs = t -
8 8
" "
1 1
x = C1e2 2t + C2e-2 2t + t - rozwiązanie ogólne równania liniowego
8 8
niejednorodnego
" "
" "
1
= C12 2e2 2t - C22 2e-2 2t +
8
" "
" "
1
y = C12 2e2 2t - C22 2e-2 2t - t +
8
Odpowiedz:
" "
1 1
x = C1e2 2t + C2e-2 2t + t -
8 8
" "
" "
1
y = 2 2C1e2 2t - 2 2C2e-2 2t - t +
8
4
5. Rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję f(x) i określić przedział zbieżności tego szeregu.
x
f(x) =
(1 + x)2
Rozwiązanie:
1
Niech g(x) =
1 + x
1
Wtedy g (x) = - , więc
(1 + x)2
f(x) = -xg (x)
Rozwijamy g(x) w szereg Maclaurina:
1 1
g(x) = = = 1 + (-x) + (-x)2 + (-x)3 + (-x)4 + (-x)5 + =
1 + x 1 - (-x)
1 - x + x2 - x3 + x4 - x5 + . . .
dla | - x| < 1 =! x " (-1, 1) .
Skorzystaliśmy ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego. Różniczkujemy otrzymany
szereg potęgowy:
g (x) = -1 + 2x - 3x2 + 4x3 - 5x4 + . . . dla x " (-1, 1)
stąd:
f(x) = -x(-1 + 2x - 3x2 + 4x3 - 5x4 + . . . ) = x - 2x2 + 3x3 - 4x4 + 5x5 + . . .
dla x " (-1, 1)
Odpowiedz:
f(x) = x - 2x2 + 3x3 - 4x4 + 5x5 + . . .
Przedział zbieżności: (-1, 1)
5
6. Wyznaczyć szereg Fouriera funkcji:
ńł
ł 2 dla x " (-Ą, -Ą )
ł
2
Ą
f(x) = 4 dla x " (-Ą , )
2 2
ł
ół
2 dla x " (Ą , Ą)
2
Narysować wykres sumy szeregu dla x " [-Ą, Ą].
3
Podać wartość sumy tego szeregu dla x = Ą.
2
Rozwiązanie:
Funkcja f(x) jest parzysta, więc bn = 0 dla n = 1, 2, 3 . . .
Dla n = 1, 2, 3 . . .
Ą Ą
1 2
an = f(x) cos nx dx = f(x) cos nx dx = ponieważ f(x) jest parzysta
Ą Ą
-Ą 0
Ą
Ą
2 Ą
2
2 2 2 4 sin nx 2 2 sin nx Ą
4 cos nx dx + 2 cos nx dx = + =
Ą
Ą Ą Ą n Ą n
0
Ą 2
0
2
8(sin nĄ - 0) 4(sin nĄ - sin nĄ ) 4 sin nĄ
2 2 2
+ =
nĄ nĄ nĄ
Ą Ą
1 2
a0 = f(x) dx = f(x) dx = ponieważ f(x) jest parzysta
Ą Ą
-Ą 0
Ą
2 Ą
Ą
2 2 2 2 2 2
2
4 dx + 2 dx = [4x]0 + [2x]Ą = 2Ą + Ą = 4 + 2 = 6 .
Ą
2
Ą Ą Ą Ą Ą Ą
Ą
0
2
Szereg Fouriera funkcji f(x) jest więc następujący:
" "
a0 4 sin nĄ
2
S(x) = + an cos nx = 3 + cos nx
2 nĄ
n=1 n=1
Suma szeregu Fouriera jest równa f(x) w punktach ciągłości f(x) czyli:
Ą
x " (-Ą, -Ą ) *" (-Ą , ) *" (Ą , Ą)
2 2 2 2
f(-1Ą-) + f(-1Ą+) 2 + 4
2 2
S(-1Ą) = = = 3
2
2 2
f(1Ą-) + f(1Ą+) 4 + 2
2 2
S(1Ą) = = = 3
2
2 2
f(Ą-) + f(-Ą+) 2 + 2
S(-Ą) = S(Ą) = = = 2
2 2
ńł
2 dla x "< -Ą, -Ą )
ł
ł 2
ł
ł Ą
4 dla x " (-Ą , )
2 2
S(x) =
ł
2 dla x " (Ą , Ą >
ł
2
ł
ół
Ą
3 dla x " {-Ą , }
2 2
S(3Ą) = S(-1Ą) = 3
2 2
Korzystamy z okresowości szeregu Fouriera.
6
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
SIMR RR EGZ 2012 06 20b rozwSIMR RR EGZ 2012 06 20aSIMR RR EGZ 2012 06 28aSIMR AN2 EGZ 2012 06 29b rozwSIMR AN2 EGZ 2012 06 29b rozwSIMR RR EGZ 2011 06 22 rozwSIMR AN2 EGZ 2012 06 25b rozwSIMR AN2 EGZ 2012 06 25a rozwSIMR RR EGZ 2013 06 28 rozwSIMR RR EGZ 2012 06 28bSIMR ALG1 EGZ 2012 02 10b rozwSIMR RR EGZ 2010 09 17 rozwSIMR AN2 EGZ 2012 06 25bSIMR RR EGZ 2009 06 18SIMR AN2 EGZ 2012 06 29bSIMR RR EGZ 2011 06 27SIMR RR EGZ 2011 06 22więcej podobnych podstron