6 (28)
101
Zadania
MB. Niech/będzie dwukrotnie różniczkował na na %a, b},f(a) < 0 ,f(b) > 0 J'(x) > 5 > OorazO </"(*) < M ‘s. b). Niech £ będzie jedynym punktem odcinka (a, b), w którym /(£) = 0.
Łecpcłnić następujący plan metody Newtona znalezienia Ę:
I ii Wybrać xf e ({, b) i określić {x„}. Niech
m)
Sm
■terpretację geometryczną w terminach stycznej do wykresu funkcji/ li Wykazać, że x„+1 < x„ i że lim x„ =
n-* oo
c Wykorzystując twierdzenie Taylora pokazać, że
-i — JLh?Lix
? 2 /'(X„) ( ^ *
Hrf pm nych t„ e ((, x„).
[ Ą Wywnioskować, że przy A = M/28
jzA(x1-or.
Btascwnaj z zadaniem 16 i 18 z rozdziału 3.)
r t- Pokazać, że metoda Newtona sprowadza się do znajdowania punktu stałego funkcji g określonej przez
g(x) =
Muc, zachowuje się g'(x) dla x bliskich ę?
4 Niech f(x) = x1,a dla x 6 (— co, + oo) i zastosujmy metodę Newtona. Co się stanie?
26. Niech/będzie funkcją różniczkowalną na (a, b),/(a) = 0 oraz niech istnieje liczba rzeczywista A taka, że ■m < A\J(x)\ na (a, i). Udowodnić, że J(x) = 0 przy dowolnym xe (a, 6).
W skazówka. Ustalmy xa e <a, h) i niech M0 = sup|/(x)|, Mi = sup|/'(x)| na przedziale (a, x0>. Dla Anwolnego x e (a, x0)
l/(x)| ^ M,(x0-«) < A(x0—a)M0.
Wynika stąd, że M0 = 0, jeśli A(x0-a) < 1, tj.f = 0 na (a, x0>. Poprowadzić dalej to rozumowanie.
27. Niech <p będzie funkcją rzeczywistą określoną w prostokącie R na płaszczyźnie, określonym przez nierów-■Kd a<x<ó, ot<y</. Rozwiązaniem równania różniczkowego z danym warunkiem początkowym.
y~v(x,y), y(a) = c (uścśP) sazywamy funkcję/różniczkowalną na (a, b} taką, że f(a) = c,
a </(x) < P i /'(x) = y»(x,/(x)) (a < x < t).
Udowodnić, że istnieje nie więcej niż jedno takie rozwiązanie, o ile istnieje liczba A taka, że
I<p(x, y2)~ <f(x,yi)l ^ly2-yil
zj. dowolnych (x, y,) oraz (x, y2) należących do R.
W skazo wk a. Zastosować sposób z zadania 16 dla różnicy dwu rozwiązań. Zauważmy, że powyższe twierdzenie o jednoznaczności nie zachodzi dla zadania z wartością początkową / = y'12, y(0J = 0, które posiada dwa rozwiązania;/(x) = 0 i /(x) = x2/4. Znaleźć pozostałe rozwiązania.
28. Sformułować i udowodnić analogiczne twierdzenie o jednoznaczności w przypadku układu równań różniczkowych o postaci
yj= <Pj(x,yu...,yk), yj(a) = e, (j = 1,2.....k).
Zauważmy, że układ ten można napisać w postaci
y' = v(x, y), y(a) = c,
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
chądzyński2 14 2. FUNKCJE ZESPOLONE Zadanie 3. Niech f będzie funkcją M-różniczkowalną w punkcie a.
39655 PC043360 Rozdział:h Funkcje jednej zmiennejTWfKJtDZEME 3.35. Niech funkcja / będzie dwukrotnie
P051111 28 Definicja (minor macierzy) Niech A będzie dowolną macierzą wymiaru mxn oraz niech l<A
10 (33) 184 9. Funkcje wielu zmiennych 9.19. TWIERDZENIE. Niech f będzie funkcją różniczkowalną i ok
MAD 1. sprawdzian 3. grupa B Zadanie 1. Niech A = (2,3,5,6,15,25,30,150) i niech r będzie relacją po
Zadanie 7Zadanie 7 Niech f (x, y) będzie w pewnym języku zdefiniowana jako { if y>0 then x + &quo
8 (17) 143 Zadania 14. Niech/ będzie ciągłą funkcją rzeczywistą określoną na R mającą własności: 0
ASD k1 11 2005 4 Zadanie 4a Niech V będzie obustronnie nieskończonym wektorem liczb naturalnych, in
2 (6) 71 Zadania 22. Niech X będzie zupełną przestrzenią metryczną, a Gn - ciągiem
Niech f będzie funkcją określoną na pewnym zbiorze A należącym do R. Funkcją pierwotną F funkcji f n
str 1Wl/2Rozwiąz vw aiiic równań nieliniowych Niech f będzie funkcją określoną na przedziale [a.bj.
Obraz0 (101) Zadanie Wyznaczyć reakcje dla belki przedstawioną na rysunku poddanej działaniu obciąż
Def. 4.1.3 (całka powierzchniowa zorientowana) Niech F = (P,Q, R) będzie polem wektorowym na płacie
więcej podobnych podstron