Egzamin z Równań Różniczkowych, 22 VI 2011
1. Zadanie wstępne
Zadanie Odp.
1. Sprawdzić, czy funkcje f(x) = 1 + x oraz g(x) = 2 - x tworzą układ funda- tak
mentalny rozwiązań pewnego równania różniczkowego rzędu drugiego(tzn. czy
są liniowo niezależne)
Rozwiązanie:
f g 1 + x 2 - x
W (x) = = = -1 - x - 2 + x = -3 = 0
f g 1 -1
2. Rozwiązać równanie: y = cos2 y y = arc tg(x + C)
Rozwiązanie:
dy
= dx =! tg y = x + C rozdzielamy zmienne
cos2 y
tg y = x + C całkujemy
y = arc tg(x + C) + kĄ , k " Z
3. Wyznaczyć linie ortogonalne do rodziny krzywych tworzących całkę ogólną y2 = 2x + C
równania różniczkowego y + y = 0
Rozwiązanie:
1
- + y = 0 równanie linii ortogonalych
y
y dy = dx rozdzielamy zmienne
y2
= x + C =! y2 = 2x + C całkujemy
2
-
4. Wyznaczyć wektor binormalny do krzywj o równaniu r = [t , t2 , et] , dla [-2, -1, 2]
t = 0
Rozwiązanie:
- -
(t) = [1 , 2t , et] , (0) = [1, 0, 1]
Ł Ł
r r
- -
(t) = [0 , 2 , et] , (0) = [0, 2, 1]
r r
-
- -
Ł
b = r r = [1, 0, 1] [0, 2, 1] = [-2, -1, 2] wektor binormalny
"
p
5. Dla jakich wartości parametru p zachodzi równość = 6 p = 3
2n
n=0
Rozwiązanie:
"
p p
= = 2p suma szeregu geometrycznego
1
2n 1 -
n=0
2
2p = 6 =! p = 3
1
2. Rozwiązać zagadnienie Cauchy ego
y + y tg x = sin 2x
y(Ą) = 1
Rozwiązanie:
Jest to równanie liniowe. Rozwiązujemy równanie liniowe jednorodne:
y + y tg x = 0
Rozdzielamy zmienne:
dy
= - tg x dx
y
dy sin x
= - dx
y cos x
ln |y| = ln | cos x| + C
y = C cos x
Rozwiązujemy równanie niejednorodne:
y + y tg x = sin 2x
y = C(x) cos x uzmienniamy stałą
Wtedy:
y = C cos x - C sin x
sin x
C cos x - C sin x + C cos x = sin 2x wstawiamy do równania
cos x
C cos x = 2 sin x cos x
C = 2 sin x
C = 2 sin x dx = -2 cos x + C
Stąd:
y = (-2 cos x + C) cos x = -2 cos2 x + C cos x
y(Ą) = -2 - C = 1 =! C = -3
y = -2 cos2 x - 3 cos x
Odpowiedz:
y = -2 cos2 x - 3 cos x
2
3. Rozwiązać równanie: (y )2 + sin2 3x = 1
Rozwiązanie:
(y )2 = 1 - sin2 3x
(y )2 = cos2 3x
y = ą cos 3x
dy = ą cos 3x dx rozdzielamy zmienne
sin 3x
y = ą cos 3x dx = ą + C całkujemy: podstawienie liniowe t = 3x
3
Odpowiedz:
sin 3x
y = ą + C
3
3
4. Rozwiązać równanie: y - 4y = x + e3x
Rozwiązanie:
Rozwiązujemy równanie liniowe jednorodne:
y - 4y = 0
r3 - 4r = 0 równanie charakterystyczne
r(r2 - 4) = 0 =! r(r - 2)(r + 2) = 0
r1 = 0 , r2 = 2 , r3 = -2
y = C1 + C2e2x + C3e-2x rozwiązanie ogólne równania liniowego jednorodnego
Szukamy rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego:
y - 4y = x
Ponieważ r = 0 jest pierwiastkiem jednokrotnym wielomianu charakterystycznego,
więc rozwiązanie szczególne przewidujemy w postaci:
ys = (Ax + B)x = Ax2 + Bx
ys = 2Ax + B
ys = A
ys = 0
Wstawiamy do równania:
-8Ax - 4B = x
-8A = 1 A = -1
8
=!
-4B = 0 B = 0
ys = -1x2
8
Szukamy rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego:
y - 4y = e3x
Ponieważ r = 3 nie jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego, więc rozwią-
zanie szczególne przewidujemy w postaci:
ys = Ae3x
ys = 3Ae3x
ys = 9Ae3x
ys = 27Ae3x
Wstawiamy do równania:
27Ae3x - 12Ae3x = Ae3x
1
15A = 1 =! A =
15
1
ys = e3x
15
Odpowiedz:
1 1
y = C1 + C2e2x + C3e-2x - x2 + e3x
8 15
4
5. Korzystając z odpowiednich twierdzeń o całkowaniu i różniczkowaniu funkcji rozwinąć
w szereg Maclaurina funkcję f(x) = x arc tg x. Wyznaczyć zakres zbieżności szeregu.
Rozwiązanie:
g(x) = arc tg x
1
g (x) =
1 + x2
1 1
= = 1 + (-x2) + (-x2)2 + (-x2)3 + (-x2)4 + =
1 + x2 1 - (-x2)
1 - x2 + x4 - x6 + x8 + . . .
Przedział zbieżności tego szeregu: -x2 " (-1 , 1) =! x " (-1 , 1)
Skorzystaliśmy z rozwinięcia w szereg funkcji:
1
= 1 + x + x2 + x3x4 + . . . , x " (-1 , 1)
1 - x
Stąd:
g(x) = g (x) dx = 1-x2 +x4 -x6 +x8 +. . . dx = dx+ (-x2) dx+ x4 dx+
x3 x5 x7 x9
(-x6) dx + x8 dx + = x - + - + + + C
3 5 7 9
Promień zbieżności tego szeregu jest taki sam, więc x " (-1 , 1)
Podstawiamy x = 0
g(0) = C =! arc tg 0 = C =! C = 0
x3 x5 x7 x9
g(x) = x - + - + + . . .
3 5 7 9
Stąd:
x3 x5 x7 x9 x4 x6 x8 x10
f(x) = xg(x) = x x - + - + + . . . = x2 - + - + + . . .
3 5 7 9 3 5 7 9
x " (-1 , 1)
5
6. Wyznaczyć szereg Fouriera samych sinusów, którego suma na przedziale (0 , Ą) przyj-
Ą
muje wartości identyczne z funkcją f(x) = . Wypisać sumę trzech pierwszych wy-
4
razów szeregu. Wykorzystując otrzymany szereg, obliczyć sumę szeregu liczbowego:
"
sin(2n - 1)
2n - 1
n=1
Rozwiązanie:
Dla n = 1, 2, 3 . . .
Ą Ą Ą
2 2 Ą 1 1 - cos nx Ą
bn = f(x) sin nx dx = sin nx dx = sin nx dx = =
Ą Ą 4 2 2 n
0
0 0 0
1 1 - (-1)n
- cos nĄ + 1 =
2n 2n
Szereg Fouriera sinusów jest więc następujący:
" "
1 - (-1)n
S(x) = bn sin nx = sin nx
2n
n=1 n=1
Suma trzech pierwszych wyrazów szeregu:
1 - (-1) 1 - (-1)2 1 - (-1)3
S3(x) = sin x + sin 2x + sin 3x =
2 4 6
1 1
sin x + 0 sin 2x + sin 3x = sin x + sin 3x
3 3
1
Widać, że współczynniki parzyste: b2k = 0, a nieparzyste b2k-1 = . Stąd
2k - 1
"
sin(2k - 1)x
S(x) =
2k - 1
k=1
Podstawiamy x = 1
"
sin(2k - 1)
S(1) =
2k - 1
k=1
Stąd suma szeregu liczbowego:
"
sin(2k - 1) Ą
= S(1) = f(1) =
2k - 1 4
k=1
6
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
SIMR RR EGZ 2011 06 22SIMR RR EGZ 2011 06 27SIMR RR EGZ 2012 06 20b rozwSIMR RR EGZ 2012 06 20a rozwSIMR RR EGZ 2012 06 20a rozwSIMR RR EGZ 2013 06 28 rozwSIMR RR EGZ 2010 09 17 rozwSIMR RR EGZ 2009 06 18SIMR AN2 EGZ 2011 06 30SIMR AN2 EGZ 2011 06 16bSIMR RR EGZ 2010 06 22bSIMR RR EGZ 2009 06 25SIMR RR EGZ 2013 06 25SIMR RR EGZ 2012 06 28aSIMR AN2 EGZ 2012 06 29b rozwSIMR AN2 EGZ 2012 06 29b rozwSIMR AN2 EGZ 2013 06 26 rozwSIMR RR EGZ 2012 06 20aSIMR RR EGZ 2013 06 28więcej podobnych podstron