ÿþE g z a m i n z A l g e b r y , 7 I I 2 0 1 4 g o d z . 1 2 . 0 0
1 . Z a d a n i e w s t p n e
N r Z a d a n i e O d p .
1 D l a j a k i e g o a " R , R e ( 1 + a i ) 2 = 1 ? a = 0
R o z w i z a n i e :
R e ( 1 + a i ) 2 = R e ( 1 + 2 a i - a 2 ) = 1 - a 2
1 - a 2 = 1 = Ò! a 2 = 0 = Ò! a = 0
2 D l a j a k i e g o m w e k t o r p = [ m , 2 , - 1 ] j e s t r ó w n o l e g By d o p Ba s z c z y z n y m = 2
À : x + 2 y + 6 z - 1 = 0 .
R o z w i z a n i e :
n = [ 1 , 2 , 6 ] w e k t o r n o r m a l n y p Ba s z c z y z n y À
p æ% n = 0 = Ò! m + 4 - 6 = 0 = Ò! m = 2
x 1 0 1 0 0
3 D l a j a k i e g o x s p e Bn i o n a j e s t n i e r ó w n o [ 0 x 1 0 > 1 x > 1
0 0 x
R o z w i z a n i e :
x 1 0 1 0 0
0 x 1 0 = x 3 m a c i e r z t r ó j k t n a
0 0 x
x 3 > 1 = Ò! x > 1
4 W y z n a c z y r ó w n a n i a a s y m p t o t k r z y w e j K : x 2 - y 2 = 1 y = ± x
R o z w i z a n i e :
T a k r z y w a t o h i p e r b o l a , a = 1 , b = 1
y = ± x r ó w n a n i a a s y m p t o t
5 D l a j a k i e j w a r t o [c i p a r a m e t r u a p o w i e r z c h n i a w a l c o w a x 2 + ( y - a ) 2 = 2 5 a 1 = 1 1
j e s t s t y c z n a d o p Ba s z c z y z n y y - 6 = 0 a 2 = 1
R o z w i z a n i e :
"
P r o m i e D p o w i e r z c h n i w a l c o w e j R = 2 5 = 5
O d l e g Bo [ o s i o d p Ba s z c z y z n y j e s t r ó w n a d = | a - 6 | .
P o w i e r z c h n i a j e s t s t y c z n a d o p Ba s z c z y z n y , g d y :
d = R = Ò! | a - 6 | = 5 = Ò! a - 6 = ± 5
1
2 . R o z w i z a r ó w n a n i e ( z 3 + z 2 + z ) ( z 2 - ( 3 + 2 i ) z + 3 i + 1 ) = 0 , z " C
R o z w i z a n i e :
( z 3 + z 2 + z ) ( z 2 - ( 3 + 2 i ) z + 3 i + 1 ) = 0 = Ò!
z 3 + z 2 + z = 0 l u b z 2 - ( 3 + 2 i ) z + 3 i + 1 = 0
R o z w i z u j e m y r ó w n a n i e :
z 3 + z 2 + z = 0 = Ò!
z ( z 2 + z + 1 ) = 0 = Ò!
z 1 = 0
z 2 + z + 1 = 0
" "
" = - 3 = Ò! " = ± i 3
"
- 1 - i 3
z 2 =
2
"
- 1 + i 3
z 3 =
2
z 2 - ( 3 + 2 i ) z + 3 i + 1 = 0 = Ò!
" = ( - ( 3 + 2 i ) ) 2 - 4 ( 3 i + 1 ) = 9 + 1 2 i - 4 - 1 2 i - 4 = 1
"
" = 1
3 + 2 i - 1
z 4 = = 1 + i
2
3 + 2 i + 1
z 5 = = 2 + 1
2
O d p o w i e d z:
" "
- 1 - i 3 - 1 + i 3
z 1 = 0 , z 2 = , z 3 = , z 4 = 1 + i , z 5 = 2 + i
2 2
2
3 . R o z w i z a n i e r ó w n o [
1 1 1 1 2
1 2 1 x 2
3 3 x - 1 0 < 0
x x x x 2 0
1 1 1 1 1
R o z w i z a n i e :
O b l i c z a m y w y z n a c z n i k :
1 1 1 1 2 0 0 0 0 1
1 2 1 x 2 1 2 1 x 2
{ w 1 = w 1 - w 5 } { R o z w . L a p l a c e a w z g l . w 1 }
3 3 x - 1 0 3 3 x - 1 0
= =
x x x x 2 0 x x x x 2 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 1 x 0 2 1 x
3 3 x - 1 { k 1 = k 1 - k 3 } 3 - x 3 x - 1 { R o z w . L a p l a c e a w z g l . k 1 }
1 · ( - 1 ) 6
x x x x 2 = 0 x x x 2 =
1 1 1 1 0 1 1 1
2 1 x
( 3 - x ) · ( - 1 ) 3 · x x x 2 = ( x - 3 ) ( 2 x + x 2 + x 2 - x 2 - 2 x 2 - x ) = ( x - 3 ) ( - x 2 + x ) =
1 1 1
- x ( x - 1 ) ( x - 3 )
- x ( x - 1 ) ( x - 3 ) < 0
x " ( 0 , 1 ) *" ( 3 , ")
O d p o w i e d z:
x " ( 0 , 1 ) *" ( 3 , ")
3
4 . P r o s t a l p r z e c h o d z c a p r z e z p u n k t y A ( 0 , 1 , 3 ) i B ( 1 , 0 , 0 ) j e s t p r o s t o p a d Ba d o p Ba s z c z y -
z n y À p r z e c h o d z c e j p r z e z p u n k t C ( 1 , 2 , 3 ) . W y z n a c z y p u n k t w s p ó l n y t e j p r o s t e j i
p Ba s z c z y z n y .
R o z w i z a n i e :
O z n a c z m y w s p ó Br z d n e s z u k a n e g o p u n k t u D ( x , y , z ) .
- ’! - ’!
-
P o n i e w a | D " l w i c A D | | A B c z y l i
- ’! -
- ’!
A D = t A B
- ’! -
- ’!
P o n i e w a | C , D " À i À ¥" l w i c C D ¥" A B c z y l i
- ’! - ’!
-
C D æ% A B = 0
-
’!
A B = [ 1 , - 1 , - 3 ]
- ’!
-
A D = [ x , y - 1 , z - 3 ]
- ’!
-
C D = [ x - 1 , y - 2 , z - 3 ]
- ’! -
- ’!
A D = t A B = Ò! x = t , y = - t + 1 , z = - 3 t + 3 = Ò!
- ’!
-
C D = [ t - 1 , - t - 1 , - 3 t ]
- ’! - ’!
-
C D æ% A B = 0 = Ò! t - 1 + t + 1 + 9 t = 0 = Ò! t = 0 = Ò!
D ( 0 , 1 , 3 )
O d p o w i e d z:
S z u k a n y p u n k t D ( 0 , 1 , 3 )
4
5 . N a p i s a r ó w n a n i e p r o s t e j p r z e c h o d z c e j p r z e z p u n k t A ( 0 , 2 , 4 ) i p r o s t o p a d Be j d o p Ba s z -
c z y z n y À : x - 2 y + z - 6 = 0 o r a z w y z n a c z y w s p ó Br z d n e p u n k t u B s y m e t r y c z n e g o
d o p u n k t u A w z g l d e m t e j p Ba s z c z y z n y .
R o z w i z a n i e :
W e k t o r k i e r u n k o w y p r o s t e j j e s t p r o s t o p a d By d o p Ba s z c z y z n y , w i c
-
’!
v = [ 1 , - 2 , 1 ]
S t d :
ñø
ôø x = t
òø
l : y = - 2 t + 2
ôø
óø
z = t + 4
S z u k a m y p u n k t u p r z e c i c i a A ( x , y , z ) p r o s t e j l i p Ba s z c z y z n y À
t - 2 ( - 2 t + 2 ) + t + 4 - 6 = 0 = Ò! 6 t - 6 = 0 = Ò! t = 1 = Ò!
A = ( 1 , 0 , 5 )
P u n k t A s y m e t r y c z n y d o A w z g l d e m p Ba s z c z y z n y À z n a j d u j e m y z r ó w n a n i a :
- ’! - ’!
- -
A A = 2 A A = Ò!
- ’!
-
A A = [ 2 , - 4 , 2 ] = Ò! A ( 2 , - 2 , 6 )
O d p o w i e d z:
S z u k a n a p r o s t a :
ñø
ôø x = t
òø
l : y = - 2 t - 2
ôø
óø
z = t - 4
P u n k t s y m e t r y c z n y d o A : A ( 2 , - 2 , 6 )
5
6 . N a p i s a r ó w n a n i a p Ba s z c z y z n s t y c z n y c h d o s f e r y ( x + 1 ) 2 + ( y - 5 ) 2 + ( z + 2 ) 2 = 3 6
i r ó w n o l e g By c h d o p Ba s z c z y z n y À : 1 2 x - 3 y + 4 z - 8 = 0 .
R o z w i z a n i e :
Zr o d e k s f e r y j e s t w p u n k c i e O ( - 1 , 5 , - 2 ) , a j e j p r o m i e D R = 6 .
P Ba s z c z y z n a r ó w n o l e g Ba d o p i m a r ó w n a n i e :
1 2 x - 3 y + 4 z + D = 0
P Ba s z c z y z n a b d z i e s t y c z n a d o s f e r y , g d y o d l e g Bo [ [r o d k a s f e r y o d p Ba s z c z y z n y b d z i e
r ó w n a R
| - 1 2 - 1 5 - 8 + D | | D - 3 5 |
"
= 6 = Ò! = 6 = Ò! | D - 3 5 | = 7 8 = Ò! D - 3 5 = ± 7 8
1 6 9
1 2 2 + ( - 3 ) 2 + 4 2
D 1 = 1 1 3 , D 2 = 4 3
O d p o w i e d z:
À1 : 1 2 x - 3 y + 4 z + 1 1 3 = 0
À2 : 1 2 x - 3 y + 4 z + 4 3 = 0
6
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